সীমাবদ্ধ "বাধা" সহ ভেক্টর সংযোজন সিস্টেমগুলি

Question

একটি ভেক্টর সংযোজন সিস্টেম (VAS) হ'ল ক্রিয়াকলাপগুলির একটি সীমাবদ্ধ সেট । সমীকরণ হল চিহ্ন । একটি রান হ'ল চিহ্নগুলির একটি খালি খালি শব্দ নয় st$A \subset \mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$ । এই ধরনের একটি শব্দ বিদ্যমান আমরা বলে যে যদি $m_n$ হয় পৌঁছানো থেকে $m_0$ ।

ভিএএস-এর জন্য পুনঃপ্রকাশের সমস্যাটি নির্ণয়যোগ্য হিসাবে পরিচিত (তবে এটির জটিলতা একটি উন্মুক্ত সমস্যা)।

এখন ধরে নেওয়া যাক নিষিদ্ধ চিহ্নগুলির একটি সীমাবদ্ধ সেট ( বাধা ) দেওয়া হয়েছে। আমি জানতে চাইব যদি পুনঃব্যবহারের সমস্যাটি এখনও স্থির হয় কিনা।

স্বজ্ঞাতভাবে, বাধা সীমাবদ্ধ সেটগুলি কেবল স্থানীয়ভাবে পাথগুলিতে হস্তক্ষেপ করা উচিত, সুতরাং সমস্যাটি স্থিতিশীল হওয়া উচিত। তবে এটি প্রমাণ করা তুচ্ছ মনে হয় না।

সম্পাদনা । আমি @ Jôrôme এর উত্তরকে গৃহীত উত্তর হিসাবে রাখব, তবে আমি একটি ফলো-আপ প্রশ্ন যুক্ত করতে চাই: যদি চিহ্নগুলির সেটটি $\mathbb{Z}^d$ ?

Comments

ক্ষয়ক্ষতির প্রমাণের পিছনে ধারণাগুলির অন্তর্দৃষ্টি পেতে আপনার কাছে কি ভাল রেফারেন্স রয়েছে? (উদাহরণস্বরূপ স্লাইডগুলি)

— ডেনিস

এখানে স্লাইডগুলি: lsv.ens-cachan.fr/Events/Pavas/slides-Leroux.pdf ; এবং একটি সাম্প্রতিক নিবন্ধ: hal.archives-ouvertes.fr/hal-00674970 ; মূলত, পুনঃব্যবহারযোগ্যতা একটি গণনা অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা হয়, এই ভিত্তিতে যে যদি থেকে এক্স থেকে পৌঁছানো যায় না , তবে সেখানে দুটি বিচ্ছিন্ন প্রেসবার্গার সেট উপস্থিত রয়েছে যা কোনওরকমে অ-প্রতিক্রিয়াশীলতার প্রমাণ দেয়। আরও কিছু স্লাইড: automata.rwth-aachen.de/movep2010/abstracts/slides-leroux.pdf । $y$$x$

— নিকোলাস পেরিন

এম প্রভীন সমস্যার দুটি প্রধান পন্থা বেশ কয়েকটি আলোচনা দিয়েছেন cmi.ac.in/~praveenm/talks

— সিলভাঁ

সীমাবদ্ধ বাধা (যেমন সীমাবদ্ধ মাত্রা সহ) সহ সমস্যার সাব-কেসগুলির জন্য, মনে হয় সিদ্ধান্তগ্রহণের প্রমাণ একটি "জিগজ্যাগ-এলিমিনেশন" সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে হতে পারে। এই কাগজটি দেখুন: Labri.fr/perso/leroux/pubLive-papers/LS-concur04.ps , এবং এই স্লাইডগুলি: Labri.fr/perso/sutre/Talks/Documents/… ।

— নিকোলাস পেরিন

আমি বুঝতে পেরেছি যে শূন্য অবধি অ-শূন্য অ্যাকশন থাকা অবস্থায় কেন সমস্যাটি সমাধান করা হয়, তবে যখন এই জাতীয় ক্রিয়াকলাপগুলির অস্তিত্ব না থাকে তখন কী ঘটে? আপনার উত্তরের অংশটি মন্তব্য থেকে কেটে দেওয়া হয়েছে :)

— নিকোলাস পেরিন

Answer 1

এই ধারণাটি আজ বিকেলে গ্রাগোয়ার সুত্রের সাথে যে আলোচনার ভিত্তিতে হয়েছিল তার ভিত্তিতে।

সমস্যাটি নিম্নরূপ নির্ধারিত।

একটি পেট্রি নেট হ'ল N d × N d এর একটি সীমাবদ্ধ সেট যা ট্রানজিশন বলে। ট্রানজিশন দেওয়া টন = ( → তোমার দর্শন লগ করা , → বনাম ) , আমরা দ্বারা বোঝাতে টি → বাইনারি সম্পর্ক কনফিগারেশনের সেট সংজ্ঞায়িত এন ঘ দ্বারা → এক্স টি → → Y একটি ভেক্টর অস্তিত্ব আছে যদি → z- র ∈ এন ঘ যেমন যে → এক্স = → u + → z এবং$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$ । আমরা দ্বারা বোঝাতে টি → এক ধাপ reachability সম্পর্ক⋃টি∈টি টি → । এই সম্পর্ক আত্মবাচক এবং সকর্মক অবসান দ্বারা প্রকাশ করা হয় টি * → ।$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$

যাক উপর শাস্ত্রীয় componentwise আংশিক অর্ডার হতে এন ঘ এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত → তোমার দর্শন লগ করা ≤ → এক্স যদি অস্তিত্ব আছে → z- র ∈ এন ঘ যেমন যে → এক্স = → তোমার দর্শন লগ করা + + → z- র । একটি সেটের উর্ধ্বগামী অবসান → এক্স এর এন ঘ সেট ↑ → এক্স ভেক্টর { → বনাম ∈ এন ঘ | ∃ → এক্স ∈ → $\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$। একটি সেটের নিম্নগামী অবসান → এক্স সেট↓ → এক্স ভেক্টর{ → বনাম ∈এনঘ|∃ → এক্স ∈ → এক্স$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$।$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

লক্ষ্য করুন যে যদি কিছু সসীম সেট → বি এর এন ঘ এবং যদি টি একটি Petri নেট, আমরা গনা করতে একটি নতুন Petri নেট টি → বি এমন প্রত্যেকটি কনফিগারেশনের জন্য যে → এক্স , → Y , আমরা → x T → → y এবং → x , → y ∈ → U যদি, এবং কেবল যদি, → x T → B → → $\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$। বস্তুত, যদি একটি রূপান্তর হয়, তাহলে প্রত্যেকের জন্য → খ ∈ → বি যাক টন → খ = ( → তোমার দর্শন লগ করা + + → z- র , → বনাম + + → z- র ) যেখানে → z- র বাহক মধ্যে এন ঘ দ্বারা componentwise সংজ্ঞায়িত → z- র ( আমি ) = সর্বোচ্চ { → খ ( আমি $t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ জন্য প্রতি 1 ≤ আমি ≤ ঘ । লক্ষ্য করুন যে T → U = { t → b ∣ t ∈ $\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$সন্তুষ্ট প্রয়োজন।$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

এখন, ধরে নিন যে একটি পেট্রি নেট, → হে বাধার সেট। আমরা সসীম সেট পরিচয় করিয়ে → ডি = ↓ → হে । পালন যে আমরা কার্যকরভাবে একটি নির্দিষ্ট সেট গনা করতে → বি এর এন ঘ যেমন যে ↑ → বি = এন ঘ ∖ → ডি । যাক আর বাইনারি সম্পর্ক উপর সংজ্ঞায়িত হতে এন ঘ ∖ → হে দ্বারা → এক্স আর → Y যদি → এক্স = $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$ , অথবা অস্তিত্ব আছে → এক্স ', → Y '∈এনঘ∖ → হে যেমন যে → এক্স টি → → এক্স ' টি * → বি → → Y ' টি → → Y ।$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$

এখন, কেবলমাত্র মান্য যে যদি সেখানে প্রাথমিক কনফিগারেশন থেকে একটি রান বিদ্যমান চূড়ান্ত এক → Y এড়াতে বাধা → হে , তারপর এক যে বাধা এড়াতে বিদ্যমান → হে এবং কনফিগারেশনের দ্বারা যে পাস → ডি ∖ → ও এই সেটটির বেশিরভাগ কার্ডিনাল। অত: পর, সমস্যা অ deterministically স্বতন্ত্র নির্বাচন করতে হ্রাস করা কনফিগারেশনের → গ 1 , ... , → গ এন মধ্যে → ডি ∖ → হে , ফিক্স → গ$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$প্রারম্ভিক কনফিগারেশন যেমন , গ N + + 1 চূড়ান্ত এক হিসাবে → Y , এবং চেক যে → গ ঞ আর → গ ঞ + + 1 যে জন্য ঞ । এই শেষ সমস্যাটি পেট্রি নেটের জন্য ধ্রুপদী পুনঃচঞ্চলতার প্রশ্নগুলিকে হ্রাস করে।$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$$j$

Comments

দুর্দান্ত, অনেক অনেক ধন্যবাদ !! এই প্রশ্নটি মাঝেমধ্যে আমার মনে ফিরে আসছিল!

— নিকোলাস পেরিন

এখন, এটি সুস্পষ্ট হতে পারে তবে আমি নিশ্চিত হয়ে একটি ফলো-আপ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে চাই। আমরা যদি চিহ্নিতকরণের সেট হতে পারি তবে কী হবে? সেক্ষেত্রে ঠিক একই নির্মাণ কাজ করে না। কোনও সাধারণ যুক্তি যা ফলাফলকে প্রসারিত করে? $\mathbb{Z}^d$

— নিকোলাস পেরিন

Answer 2

আমি রাজ্যগুলির সাথে ভেক্টর সংযোজন সিস্টেমগুলির জন্য আপনার প্রশ্নটি সম্পর্কে ভাবছিলাম (ভ্যাস) যা ভাসের সমতুল্য এবং এই সমাধানটি নিয়ে এসেছি। এখন, আমি জারুমের সুন্দর উত্তরটি পড়েছি এবং আমার বলতে হবে যে আমার উত্তরটি খুব অনুরূপ, সুতরাং আপনি যদি আমার সঠিকটিকে বিবেচনা করেন তবে দয়া করে তাঁর উত্তরটি গ্রহণ করুন।

---

আইডিয়া: এটি একটি VASS রূপান্তর করা সম্ভব একটি VASS মধ্যে ভী ' যে নিষেধের ভেক্টর ছোট বা অবমুক্ত সমান। এটি আমরা যা চাই ঠিক তা নয়, যেহেতু ভেক্টরগুলি ছোট তবে বাধাগুলির সমান নয়। তবে চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি ভেক্টর রয়েছে। এই finitely অনেক রান যে হয় একটি রূপান্তরটি ভাগে ভাগ করা minimals রানের একটি পচানি পারবেন ভী অথবা একটি সমতুল্য রান ভী ' । সুতরাং, হ্যাঁ , সমস্যাটি নির্ধারণযোগ্য।$V$$V'$$V$$V'$

---

বিশদ: যাক কে ডি- ভিএএসএস হোক, অর্থাত্ ভী একটি সীমাবদ্ধ লেবেলযুক্ত গ্রাফ যেমন টি ⊆ কিউ × জেড ডি × কিউ । যাক হে ⊆ এন d অবমুক্ত সেট করা। যাক π ∈ টি * এবং এক্স ⊆ এন ঘ , আমরা লিখতে পি ( U ) π → এক্স কুই ( বনাম ) যখনই $V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$থেকে একটি রান হয় থেকে কুই ( বনাম ) প্রতিটি মাধ্যমিক কনফিগারেশন সঙ্গে প্রশ্ন × এক্স । আমরা বোঝাতে ↓ এক্স = { Y : Y ≤ এক্স  কিছু  এক্স ∈ এক্স } ।$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$

যাক একটি ন্যূনতম রান যেমন যে হতে পি ( U ) π → এন ঘ ∖ হে কুই ( বনাম ) , অর্থাত্ একটি ন্যূনতম রান যে অবমুক্ত এড়াতে। তারপর, পায়রার খোপ নীতি দ্বারা, π একটি রান করে প্রবেশ করে যেমন factorized যাবে ↓ হে ∖ হে শুধুমাত্র finitely অনেকবার। আরো আনুষ্ঠানিকভাবে, বিদ্যমান আছে টি 1 , T ' 1 ... , টি এন + + 1 , T ' এন + + 1 ∈ টি $\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$ , পাইয়ের মান 1 , ... , π এন + + 1 ∈ টি * এবং { P আমি ( তোমার দর্শন লগ করা আমি ) , কুই আমি ( বনাম আমি ) , r আমি ( W আমি ) } আমি ∈ [ 0 , এন + + 1 ] ⊆ প্রশ্ন । N d এরকম$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• ,$\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• ,$p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$
• ।$\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$
• ।$n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$

অতএব, এটি , টি 1 , টি ′ 1 , … , টি এন + 1 , টি ′ এন + 1 এবং মধ্যবর্তী কনফিগারেশনগুলি অনুমান করার পক্ষে যথেষ্ট । পরীক্ষা করিয়া পি ( এক্স ) * → এন ঘ ∖ ↓ হে কুই ( Y ) রূপান্তর দ্বারা সম্পন্ন করা যেতে পারে ভী একটি নতুন মধ্যে ঘ -VASS ভী ' যেখানে প্রতিটি রূপান্তরটি টি ∈ $n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$ গ্যাজেট দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় ও | + 1 রূপান্তর। উদাহরণস্বরূপ, যদি ও = { ( 1 , 5 ) , ( 2 , 3 ) } তবে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি প্রতিস্থাপন করা হয়:$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$

Comments

ধন্যবাদ !! 2 দিনেরও কম সময়ে দুটি সঠিক উত্তর, আমাকে বলতে হবে যে এই সম্প্রদায়টি ভালভাবে কাজ করে :)

— নিকোলাস পেরিন