উদাহরণস্বরূপ যেখানে এনকোডিংয়ের ক্ষেত্রে বর্ণমালার আকার ( ) ব্যবহৃত হয়

Question

আসুন হ'ল একটি বর্ণমালা, অর্থাত্ একটি দুর্দান্ত সীমাবদ্ধ সেট। একটি স্ট্রিং থেকে উপাদানগুলির (অক্ষরগুলির) সীমাবদ্ধ ক্রম । উদাহরণ হিসাবে, বাইনারি বর্ণমালা এবং এই বর্ণমালার একটি স্ট্রিং।$\Sigma$$\Sigma$$\{0, 1\}$$0110$

সাধারণত, যতক্ষণ না 1 টিরও বেশি উপাদান থাকে ততক্ষণ উপাদানগুলির সঠিক সংখ্যাটি বিবেচনা করে না: আমরা কোথাও একটি ভিন্ন ধ্রুবক দিয়ে শেষ করি। অন্য কথায়, যদি আমরা বাইনারি বর্ণমালা, সংখ্যা, লাতিন বর্ণমালা বা ইউনিকোড ব্যবহার করি তবে এটি আসলেই গুরুত্বপূর্ণ নয়।$\Sigma$$\Sigma$

বর্ণমালার আকার কত বড় তা বিবেচনা করে এমন পরিস্থিতিতে আছে কি?

আমি এতে আগ্রহী হওয়ার কারণটি হ'ল আমি এরকম একটি উদাহরণে হোঁচট খেয়েছি:

কোনো বর্ণমালা জন্য আমরা র্যান্ডম ওরাকল সংজ্ঞায়িত একটি ওরাকল হতে যে থেকে আয় র্যান্ডম উপাদান , প্রতিটি উপাদান ফিরে হচ্ছে একটি সমান সুযোগ (হয়েছে যেমন যাতে প্রতিটি উপাদান জন্য সুযোগ )।$\Sigma$$O_{\Sigma}$$\Sigma$$\frac{1}{|\Sigma|}$

কিছু বর্ণমালার জন্য এবং - বিভিন্ন আকারের সম্ভবত - অ্যাক্সেস ওরাকল মেশিনে বর্গ বিবেচনা । আমরা এই ক্লাসে ওরাকল মেশিন প্রতি আগ্রহ দেখিয়েছেন যে একই আচরণ । অন্য কথায়, আমরা একটি ট্যুরিং মেশিন ব্যবহার করে একটি ওরাকল কে ওরাকল রূপান্তর করতে চাই । আমরা এই জাতীয় টিউরিং মেশিনকে রূপান্তর প্রোগ্রাম বলব।$\Sigma_1$$\Sigma_2$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$

যাক এবং । রূপান্তর একটি ওরাকল মধ্যে সহজ: আমরা ক্যোয়ারী দুইবার, ফলাফল রূপান্তর নিম্নরূপ: , , , । স্পষ্টতই, এই প্রোগ্রামটি সময়ে চলে।$\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2, 3 \}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$00 \rightarrow 0$$01 \rightarrow 1$$10 \rightarrow 2$$11 \rightarrow 3$$O(1)$

এখন দিন এবং । এই দুই ভাষার জন্য, সমস্ত রূপান্তর প্রোগ্রাম চালানোর সময়, IE থেকে কোন রূপান্তর প্রোগ্রাম আছে থেকে মধ্যে যে run সময়।$\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$$O(\infty)$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$

এটি দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে: ধরুন সময়ে চলমান from থেকে তে রূপান্তর প্রোগ্রাম রয়েছে । এই উপায়ে আছে একটি যেমন যে সর্বাধিক তোলে শব্দতে ।$C$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$$d \in \mathbb{N}$$C$$d$$\Sigma_1$

$C$ নির্দিষ্ট নির্বাহের পথে চেয়ে কম অনুসন্ধান করতে পারে । আমরা সহজেই একটি রূপান্তর প্রোগ্রাম করতে পারি যা , ওরাকল ক্যোয়ারীটি কতবার করা হয়েছিল তার উপর নজর রেখেযাক ওরাকল প্রশ্নের সংখ্যা হতে হবে। তারপর তোলে অতিরিক্ত ওরাকল প্রশ্নের, ফলাফল খারিজ, ফিরে কি ফিরে যাবে।$d$$C'$$C$$k$$C'$$d-k$$C$

এইভাবে, ঠিক জন্য কার্যকরকরণের পথ রয়েছে । ঠিক এই সঞ্চালনের পথগুলিতে পরিণাম ডেকে আনবে ফিরে । তবে, একটি পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা নয়, তাই আমাদের একটি বৈপরীত্য রয়েছে। অতএব, এই জাতীয় কোন প্রোগ্রাম বিদ্যমান।$|\Sigma_1|^d = 2^d$$C'$$\frac{1}{|\Sigma_2|} = \frac{1}{3}$$C'$$0$$\frac{2^d}{3}$

আরো সাধারণভাবে, যদি আমরা বর্ণমালার আছে এবং সঙ্গে এবং , তারপর সেখান থেকে একটি রূপান্তর প্রোগ্রাম বিদ্যমান থেকে যদি এবং কেবল যদি সব প্রধান factorisation প্রদর্শনে মৌলিক এছাড়াও প্রধান factorisation প্রদর্শিত (তাই factorisation মধ্যে মৌলিক সংখ্যার বহিঃপ্রকাশ ব্যাপার না)।$\Sigma_1$$\Sigma_2$$|\Sigma_1|=n$$|\Sigma_2|=k$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$n$$k$

এই একটি পরিণতি হবে এই যে, যদি আমরা একটি র্যান্ডম সংখ্যা উত্পাদক দৈর্ঘ্যের একটি বাইনারি স্ট্রিং উৎপাদিত হয় , আমরা যে র্যান্ডম সংখ্যা উত্পাদক ব্যবহার করতে পারবেন না একটি নম্বর জেনারেট করতে ঠিক সমান সম্ভাবনা থাকে।$l$$\{0, 1, 2\}$

রাতের খাবারের জন্য কী কী আছে তা চিন্তা করে সুপার মার্কেটে দাঁড়িয়ে আমি উপরের সমস্যাটি ভেবেছিলাম। আমি ভাবলাম যে আমি ক, ক এবং বি সি এর মধ্যে সিদ্ধান্ত নিতে কয়েন টস ব্যবহার করতে পারি, এটি যেমন অসম্ভব, তেমন অসম্ভব।

Comments

পিসিপি উপপাদ্যের ডিনুরের প্রমাণটি বর্ণমালার আকারের হেরফেরের উপর নির্ভর করে, এটি নির্দিষ্টভাবে ফুটিয়ে তোলে এবং তারপরে বার বার পিসিপি রচনা দিয়ে এটি হ্রাস করে। পদক্ষেপের দ্বিতীয় অংশ ছাড়াই (বর্ণমালার আকারটি আবার নীচে টানতে) প্রমাণটি কার্যকর হয় না।

— ড্যানিয়েল আপন

@ ড্যানিয়েল আপন: উত্তর হিসাবে কেন পুনরায় পোস্ট করবেন না?

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া, উফ! অবশ্যই। :)

— ড্যানিয়েল আপন

Answer 1

আনুষ্ঠানিক ভাষা তত্ত্বের কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে যেখানে 2-চরিত্র এবং 3-অক্ষরের বর্ণমালা গুণগতভাবে পৃথক আচরণ দেয়। কোজেন নিম্নলিখিত সুন্দর উদাহরণটি দিয়েছেন (প্যারাফ্রেসড):

বর্ণমালা হতে দিন $\Sigma$= {1, .., কে the স্ট্যান্ডার্ড সংখ্যাসূচক অর্ডিং সহ, এবং সাজ্ট (এক্স) কে x শব্দের ক্রমবিন্যাস হতে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে x এর বর্ণগুলি সাজানো ক্রমে উপস্থিত হয়। প্রসারিত সাজান (A) = {সাজানো (এক্স) | এক্স$\in$ এ}, এবং নিম্নলিখিত দাবি বিবেচনা করুন:

যদি ক প্রসঙ্গ-মুক্ত হয় তবে বাছাই করুন (এ) প্রসঙ্গমুক্ত।

এই দাবিটি কে = 2 এর পক্ষে সত্য, তবে কে-এর পক্ষে মিথ্যা $\ge$ 3।

Answer 2

ডিনুরের পিসিপি উপপাদ্যের প্রমাণ বর্ণমালার আকারের হেরফেরের উপর অনেক বেশি নির্ভর করে।

বিশেষত, প্রমাণটির সামগ্রিক কাঠামো গ্রাফের ক্ষমতার কৌশলটির একটি পুনরাবৃত্ত অ্যাপ্লিকেশন যা গ্রাফের আকারের সংখ্যার বারে লোগারিদম হয়। প্রতিটি পুনরাবৃত্তির উপর, গ্রাফটি একটি প্রাকৃতিক প্রসারণ গ্রাফে প্রাক-প্রক্রিয়াজাত করা হয়, একটি শক্তি দ্বারা প্রসারিত হয় (যা বর্ণমালার আকারটি ফুটিয়ে তোলে) এবং তারপরে একটি পিসিপি রচনা প্রয়োগ করা হয় (একটি বৃহত্তর বর্ণমালার উপরে প্রতিটি সীমাবদ্ধতাকে বাধার ব্যবস্থায় পরিণত করে) একটি ছোট বর্ণমালা)।

প্রক্রিয়াটির অন্তর্নিহিত লক্ষ্যটি হল ইউএনএসএটি মান একটি ধ্রুবক ভগ্নাংশ (পিসিপি উপপাদ্য প্রমাণ করে) না হওয়া অবধি প্রশস্তকরণের পদক্ষেপটি পুনরায় ব্যবহারের উপায় খুঁজে পাওয়া। মূল বক্তব্যটি হ'ল প্রতিবার বর্ণমালার আকারটি না টানলে, ফলাফল গ্রাফ চূড়ান্ত হ্রাসের জন্য প্রয়োজনীয় নয়।

Answer 3

আপনার উদাহরণের প্রয়োজনীয়তাগুলি বেশ কঠোর। যদি আপনি এটিকে শিথিল করেন তবে কেবল রূপান্তরটি কাজ করে require$O(1)$মধ্যে প্রত্যাশা । এ থেকে সমানভাবে নমুনা দেওয়া সম্ভব$\{0,1,2\}$ প্রত্যাশায়, মুদ্রা টস একটি ধ্রুবক সংখ্যা ব্যবহার করে।

আমি এটিতে বিশেষজ্ঞ নই তবে একটি দুর্দান্ত উদাহরণ হ'ল বর্ণনাকারীর আকারটি হ'ল কোডিং এবং সুসংগত ডেটা স্ট্রাকচার are ভাবুন আপনি বর্ণমালার উপরে কোনও বার্তা উপস্থাপন করতে চান$\{0,1,2\}$ বর্ণমালায় $\{0,1\}$(যেমন এটি আপনার বাইনারি কম্পিউটারে সঞ্চয় করা)। আপনি প্রয়োজনীয় স্থানটি ছোট করতে চান তবে একই সাথে আপনি বার্তার স্বতন্ত্র অক্ষরগুলি দ্রুত পড়তে এবং লিখতে সক্ষম হতে চান (আসুন আমরা বলতে পারি)$O(1)$)। এই জাতীয় সমস্যাগুলি বেশ কিছুদিন ধরে অধ্যয়ন করা হয়েছে। এটি সম্পর্কে ডডিস, প্যাট্রাস্কু এবং থারুপের সাম্প্রতিক কাগজ এবং এর উল্লেখগুলি, শুরু করার জন্য ভাল পয়েন্ট হওয়া উচিত।

Answer 4

কোডগুলি সংশোধন করার ক্ষেত্রে ত্রুটিযুক্তভাবে, বাইনারি কোড এবং কোডগুলির মধ্যে বৃহত্তর বর্ণমালার মধ্যে একটি মৌলিক পার্থক্য রয়েছে যে গিলবার্ট ভারশামভের কোডগুলির জন্য গিলবার্ট ভার্সামভ উদাহরণগুলি যা ত্রুটির একটি ভগ্নাংশকে সংশোধন করে (যা মূলত লোভী বা এলোমেলো উদাহরণ রয়েছে) কিছুকে বিশ্বাস করা হয় বাইনারি ক্ষেত্রে শক্ত থাকুন এবং বীজগণিত-জ্যামিতি কোডের মাধ্যমে একটি বড় বর্ণমালার উপরে শক্ত না বলে পরিচিত। এটি কিছুকে অনুমান করতে পরিচালিত করেছিল যে একটি বড় বর্ণমালার জন্য কোড সংশোধন করার ত্রুটির মানক সংজ্ঞাটি বাইনারি ত্রুটি সংশোধনকারী কোডগুলির সঠিক এনালগ নয়।

Answer 5

বর্ণমালার আকারের ক্ষুদ্রতর পার্থক্য সম্পর্কে ফলাফলের তত্ত্বটিতে নাটকীয় পার্থক্য তৈরির বিষয়ে আমার নিজের গবেষণায় আমি একটি আকর্ষণীয় মামলার মুখোমুখি হয়েছি। প্রোব্যাবিলিস্টিক সার্কিটগুলি শেখার সমস্যার একটি মোটামুটি বর্ণনা নিম্নরূপ: একজন শিক্ষার্থী একটি গোপন সার্কিটের গেটগুলি ওভাররাইড করতে পারে এবং ফলস্বরূপ আউটপুটটি পর্যবেক্ষণ করতে পারে এবং লক্ষ্যটি একটি "কার্যকরী সমতুল্য" সার্কিট তৈরি করা। বুলিয়ান সার্কিটগুলির জন্য, যখনই কোনও গেটের আউটপুটটিতে "প্রভাব" থাকে, তখন কেউ সেই গেট থেকে সার্কিটের আউটপুট পর্যন্ত একটি প্রভাবশালী পথকে আলাদা করতে পারে। বর্ণমালা আকারের সার্কিটগুলির জন্য$\ge 3$এটি আর কেস হয়ে যায় না - যেমন, এমন সার্কিট রয়েছে যাদের আউটপুট মূল্যের উপর বড় প্রভাব রয়েছে, তবে আউটপুট পর্যন্ত কোনও এক পথ ধরে কোনও প্রভাব নেই! আমরা এই ফলাফলটি বেশ অবাক করেছিলাম।

ফলাফলটি কিছুটা প্রযুক্তিগত, তবে আপনি যদি আগ্রহী হন তবে প্রাসঙ্গিক তাত্ত্বিক বক্তব্যের জন্য আপনি লেমমা 8 টি বিভাগ 4.1 এর সাথে আলাদা করতে পারেন।

Comments

এটি খুব আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে। আপনি বুলিয়ান ক্ষেত্রে অনুরূপ কিছু পেতে পারেন কিনা তা দেখার জন্য আপনি প্রভাবটির সংজ্ঞা সংশোধন করার চেষ্টা করেছেন?

— কাভেহ

আমাদের প্রভাবের সংজ্ঞাটি বেশ প্রাকৃতিক - আপনি লক্ষ্যটির বিভিন্ন সেটিংস প্রদত্ত আউটপুট নোডের সম্ভাব্যতা বন্টনের দিকে তাকান। যদি সমস্ত সেটিংস একই রকম সম্ভাব্যতা বিতরণ দেয় তবে আমরা বলি লক্ষ্যটির কোনও প্রভাব নেই। আপনি যদি আগ্রহী হন তবে আমরা যে মডেলটির অধীনে কাজ করেছি তাকে ভিআইকিউ মডেল বলা হয়, যা আমি মনে করি সবচেয়ে আকর্ষণীয় সার্কিট লার্নিং মডেল। এটি অ্যাংলুইন এট আল দ্বারা ( cs.yale.edu/homes/aspnes/… ) এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল । স্টক '06 এ।

— লেভ রেইজিন