কেন যুক্তিযুক্ত "আবদ্ধ ভেরিয়েবল" নির্মূল করার বিষয়ে শানফিনকেলের কাজ এত গুরুত্বপূর্ণ?

Question

আফাইক, উচ্চতর অর্ডার ফাংশন ব্যবহারের প্রথম প্রমাণ শানফিনকেলের ১৯২৪ সালের গবেষণাপত্রে ফিরে আসে: "গাণিতিক যুক্তির বিল্ডিং ব্লকগুলিতে" - যেখানে তিনি একজনকে অন্য কার্যক্রমে যুক্তি হিসাবে কাজ সম্পাদনের অনুমতি দিয়েছিলেন।

এটি আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে। যাইহোক, আমি তাঁর কাজের সম্পর্কে যা কিছু পড়ছি (এবং কারির সম্প্রসারণের মাধ্যমে) তা কোনও না কোনও রূপে একটি জিনিসকে বোঝায় বলে মনে হচ্ছে: [উচ্চতর আদেশের ক্রিয়াগুলি] ... এটি আবদ্ধ ভেরিয়েবলের প্রয়োজনীয়তা দূর করে ...

আমি যে আমার মাথাটি চারপাশে মুড়ে রাখতে সক্ষম হইনি তা হ'ল - বড় ব্যাপার কী? তৎকালীন লজিস্টিয়ান এবং গণিতবিদগণ কেন এ বিষয়ে যত্নশীল ছিলেন? এবং আমরা কি তাত্ত্বিক হিসাবে, আজ এই সম্পর্কে যত্নশীল? আবদ্ধ ভেরিয়েবলগুলি থেকে মুক্তি পেতে কেন এটি "গ্রাউন্ডব্রেকিং" ছিল এবং এটি আমরা কীভাবে জানি ততই কম্পিউটিংয়ের (তাত্ত্বিকভাবে) কী প্রভাব ফেলেছে?

পিএস: আমি জানি যে কীভাবে তাঁর কাজ ক্যালকুলাসের পক্ষে প্রশস্ত হয়েছে এবং সাধারণভাবে কম্পিউটিং এবং ফাংশনাল প্রোগ্রামিংয়ের উপর "এটি" এর প্রভাব কী তা সম্পর্কে আমি সচেতন । আমার প্রশ্ন বেশিরভাগই সৃষ্টি করতে "পূর্বে" সময় পরিচালিত হয় λ -calculus এবং Schönfinkel এর কাগজ "পরে"। কারি স্বাধীনভাবে সেই কাজটির পংক্তিটি তুলে নিয়েছিল, যা পরবর্তীকালে "কম্বিনেটরি লজিক" নামে পরিচিত, এটি শানফিনকেলের কাজের গুরুত্বকেও বোঝায়।$\lambda$$\lambda$

Comments

শানফিনকেলের কাগজটি এখানে পাওয়া যাবে ।

— মার্টিন বার্গার

Answer 1

টি এল; ডিআর। বাইন্ডিংয়ের রূপকগুলি সূক্ষ্ম : এগুলি তুচ্ছ মনে হয় তবে তা নয় - আপনি (উচ্চ-অর্ডার) লজিকগুলি বা 𝜆-ক্যালকুলাসের সাথে ডিল করেন কিনা। এগুলি এত সূক্ষ্ম যে বাধ্যতামূলক উপস্থাপনাগুলি কয়েক বছর আগে একটি প্রতিযোগিতা ( পপলমার্ক চ্যালেঞ্জ ) সহ একটি মুক্ত গবেষণার ক্ষেত্র গঠন করে । এমনকি রসিকতা আছে বাইন্ডিংয়ের পদ্ধতির জটিলতার বিষয়ে ক্ষেত্রের লোকদের দ্বারা ।

সুতরাং, আপনি যদি মেটামেথিম্যাটিক্স (এবং বেশিরভাগ গণিতবিদ না) সম্পর্কে যত্নশীল হন তবে আপনাকে বাইন্ডিংয়ের সাথে ডিল করতে হবে। তবে অনেক গণিতবিদ বাঁধাইয়ের আনুষ্ঠানিককরণটিকে নিরাপদে চিকিত্সা করতে পারেন যেন এটি একটি "ফাউন্ডেশনাল" সমস্যা।

আর একটি বিষয় হ'ল উচ্চতর অর্ডার ফাংশনযুক্ত ভাষায় বাঁধাই ছিল একমাত্র "নতুন" সমস্যা, কারণ বাইন্ডিং সহ ভাষার তত্ত্বটি কেবল বীজগণিত (ধ্রুবকগুলির জন্য) + বাইন্ডিং। মিচেলের "প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজসের ফাউন্ডেশনস" আসলে এই ক্রমে জিনিসগুলি উপস্থাপন করে এবং বরং আলোকিত করে তোলে।

আমি জানি যে কীভাবে তাঁর কাজটি λ-ক্যালকুলাসের পক্ষে প্রশস্ত হয়েছে এবং সাধারণভাবে কম্পিউটিং এবং ফাংশনাল প্রোগ্রামিংয়ের উপর "এটি" এর প্রভাব কী তা নিয়ে আমি সচেতন। আমার প্রশ্নটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে prior-ক্যালকুলাস তৈরির আগে "সময়" এবং শানফিনকেলের কাগজের "পরে" নির্দেশিত।

আমি অবশ্যই কিছু অনুপস্থিত, তবে এই মন্তব্যটি কোনও পার্থক্য বলে মনে হচ্ছে না। উচ্চ-অর্ডার লজিকগুলিতে বাঁধাই এবং calc-ক্যালকুলাসে বাঁধাই যতটা কঠিন বলে মনে হয়, তাই যতক্ষণ না লোকেরা উচ্চ-অর্ডার লজিকগুলির যত্ন করে, তাদের বাধ্যতামূলক মোকাবেলা করতে হয়েছিল। আমি কারি-হাওয়ার্ড-আইসোমরফিজম-ভিত্তিক উপপাদ্য প্রবাদগুলি ব্যবহার করে পক্ষপাতিত্ব করি যা কেবল একটি টাইপ থিওরি প্রয়োগ করে যুক্তি প্রয়োগ করে (যেখানে প্রকারগুলি সূত্র এবং প্রোগ্রামগুলি প্রমাণ শর্তাদি), যাতে আমি কেবল একবার বাঁধাইয়ের সাথে ডিল করি।

অন্যদিকে, আইআইআরসি, প্রকৃতপক্ষে খুব কম লোকই শানফিনকেলের কাজ সম্পর্কে যত্নবান ছিল - কারণ তিনি কীভাবে প্রকাশ করেছিলেন (প্রকাশ করেননি) - কাগজপত্রগুলি বেশিরভাগ তাঁর গবেষণার ভিত্তিতে সহকর্মীরা লিখেছিলেন (দেখুন এখানে) , পৃষ্ঠা 4) ; কারি তখন তত্ত্বটি স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করে।

ক্যাভ্যাট: আমি কোনও historতিহাসিক নই, তবে পিএলএইচএইচডি শিক্ষার্থী, তাই আমার বিষয়টি সম্পর্কে একটি আধুনিক (এবং আশাবাদী সঠিক) দৃষ্টিভঙ্গি।

সম্পাদনা করুন:

সূক্ষ্ম কেন বাধ্যতামূলক, কিছুটা আরও দৃ concrete়ভাবে

এর দুটি দিক রয়েছে - প্রথমত, এটি কার্যকর করা শক্ত। দ্বিতীয়ত, মেটামেথিম্যাটিক্স হ'ল প্রুফ হেরফেরের গণিত: এই ম্যানিপুলেশনটি সাধারণত স্বয়ংক্রিয় হয়, এটি একটি অ্যালগরিদম - সুতরাং মূলত, আপনি বাস্তবায়নের সমস্ত অসুবিধাগুলির মুখোমুখি হন, এবং সেগুলি সম্পর্কে প্রমাণ তৈরি করে। নীচে আমি উদাহরণ দিতে। উদাহরণগুলির একটি আধুনিক দৃষ্টিকোণ রয়েছে - এগুলি আসলে আনুষ্ঠানিক প্রমাণ হিসাবে হয়। তবে, কিছু অসুবিধাগুলি সঠিক ম্যানুয়াল প্রমাণগুলিতে প্রসারিত হতে পারে - যতক্ষণ না আপনি বিবরণে প্রতারণা করেন না।

এটি দেখায় যে শানফিনকেল কেবল প্রথমটি দিয়েছিলেন এই সমস্যার সমাধান ছিল না।

তা বাস্তবায়নের কারণে সূক্ষ্ম ছায়া

$(\lambda f. f~1 + f~2) (\lambda x . x)$$(\lambda x . x)~1 + (\lambda x . x)~2$$(\lambda f x. f (f x))\ (\lambda g y . g~y)\ z$$(\lambda g y . g~y)\ (\lambda g y . g~y)\ z$$(\lambda y . (\lambda g y . g~y)~y)\ \ z$

$\lambda x y. x$$y$$\lambda y. y$$\lambda y'. y$ (একটি ধ্রুবক ক্রিয়া)।

সবচেয়ে খারাপটি হ'ল নিষ্পাপ আলগোরিদিমগুলির প্রতিদানগুলি তৈরি করা শক্ত যখন আপনি ইতিমধ্যে সমস্যাটি জানেন তখন, যখন আপনি না করেন তখনই ছেড়ে দিন। প্রায় সঠিক অ্যালগরিদমে বাগগুলি প্রায়শই বছরের পর বছর ধরে ধরা পড়ে। আমি শুনেছি এমনকি ভাল ছাত্ররা সাধারণত ক্যাপচার-এড়ানো বিকল্পটির সঠিক সংজ্ঞা দিয়ে (তাদের নিজেরাই) সামনে আসতে ব্যর্থ হয়। আসলে পিএইচডি শিক্ষার্থীরা (আমাকে অন্তর্ভুক্ত) এবং অধ্যাপকরা এই সমস্যা থেকে রেহাই পাচ্ছেন না।

কিছু কারণ (প্রোগ্রামিং ভাষা, প্রকার এবং প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজের সেরা পাঠ্যপুস্তকগুলির মধ্যে একটি সহ) এটি reason বেনিয়ামিন পিয়ার্সের ) অজ্ঞাতনীয় উপস্থাপনের প্রস্তাব দেয় (যদিও এটি ব্যবহার করা হয়েছে তবুও যথেষ্ট সংযুক্তি যুক্তি নয়), তবে ডি ব্রুজিন সূচকগুলি।

এটি সম্পর্কে প্রমাণ সূক্ষ্ম হয়

দেখা গেছে যে বাঁধাই সম্পর্কে প্রমাণগুলি উপরোক্ত হিসাবে প্রয়োগের চেয়ে সহজ কিছু নয়। অবশ্যই, সঠিক অ্যালগরিদম বিদ্যমান এবং সেগুলি সম্পর্কে প্রমাণ উপস্থিত রয়েছে - তবে উন্নত যন্ত্রপাতি ছাড়াই, প্রতিটি ভাষার জন্য বাইন্ডিং ব্যবহারের জন্য আপনাকে প্রমাণগুলি পুনরাবৃত্তি করতে হবে এবং আপনি যদি কলম এবং কাগজে বাঁধার জন্য সংজ্ঞাগুলি ব্যবহার করেন তবে সেই প্রমাণগুলি খুব বড় এবং বিরক্তিকর are ।

$B$$A$$A$$B$$B$

এরপরে, "আপনি যদি স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞাটিকে আনুষ্ঠানিকভাবে চেষ্টা করার চেষ্টা করেন তবে কী ভুল হয়" এর আমার সেরা উদাহরণটি আমি সন্ধান করেছি। রাসেল ও'কনর (যিনি এই সাইটে আছেন) কোক-এর প্রথম গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদনের আনুষ্ঠানিকতা করেছিলেন (উপরে বর্ণিত ধরণের একটি উপপাদ্য প্রবাদ) - এবং এই উপপাদ্যটি একটি যুক্তিতে (সমস্ত প্রাসঙ্গিক আলগোরিদিম সহ) অন্য যুক্তিতে জড়িত (এর সিনট্যাক্স সহ) সংখ্যা হিসাবে কোডেড প্রথম যুক্তি)। তিনি যে সংজ্ঞাগুলি কাগজে ব্যবহৃত হয় তা ব্যবহার করেছিলেন এবং সেগুলি সরাসরি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রবর্তন করেছিলেন। "প্রতিস্থাপন" বা "পরিবর্তনশীল" অনুসন্ধান করুন এবং একটি ছাপ পেতে সমস্যার ক্ষেত্রে তারা কতবার উপস্থিত হয় তা গণনা করুন। http://r6.ca/Goedel/goedel1.html

আমি কখনই এই সংজ্ঞাগুলি আমার কাজে ব্যবহার করি না, তবে প্রতিটি বিকল্প পদ্ধতির কিছুটা খারাপ দিক রয়েছে।

Comments

আমি কারি-হাওয়ার্ড-আইসোমরফিজম-ভিত্তিক উপপাদ্য প্রবাদগুলি ব্যবহার করে পক্ষপাতদুষ্ট, যাতে আমি কেবল একবার আবদ্ধ হওয়ার সাথে মোকাবিলা করি - আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন দয়া করে দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— পিএইচডি

আপনি বলছেন এটি সূক্ষ্ম তবে কখনই বলবেন না এটি ঠিক কী করে তোলে এবং কেন আপনি যদি রূপান্তরকারী হন তবে কেন এটির যত্ন করবেন? আমি যে দৃষ্টিকোণটি সন্ধান করছি।

— পিএইচডি

আপনার প্রথম মন্তব্যে: আমি কারি-হাওয়ার্ডের সাথে সংযোগটি স্পষ্ট করে দিয়েছি, তবে আপনাকে উইকিপিডিয়া বা অন্য কোনও প্রশ্নে উল্লেখ করতে হবে। আমি আপনার দ্বিতীয় মন্তব্যে একমত; আমি ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসের সাথে অপরিচিত লোকদের জন্য বিস্তারিত জানাব।

— ব্লেজারব্লেড

@ পিএইচডি: আমি আশা করি আমি যা যুক্ত করেছি তা কিছুটা সাহায্য করবে যদিও এটি এই উপাদানটিতে কোনও ভাল বক্তৃতাকে প্রতিস্থাপন করে না (এবং দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি যে উপাদানটি কাটিয়েছি তা সাধারণত অন্যান্য পিপিএল সম্পর্কিত উপাদানগুলির মধ্যে বিতরণ করা হয়)।

— ব্লেজারব্লেড

অসংখ্য ধন্যবাদ! এটা সত্যিই সহায়ক ছিল। এই লিঙ্কটি আপনাকেও আগ্রহী করে তুলতে পারে: home.uchicago.edu/~wwtx/Varfreelogic_revised.pdf - বাউন্ড ভেরিয়েবল ছাড়াই প্রথম অর্ডার যুক্তি।

— পিএইচডি