দুটি সিএনএফ একই সংখ্যার সমাধান রয়েছে কিনা তা যাচাইয়ের জটিলতা

দুটি সিএনএফ দেওয়া, তাদের সত্য করার জন্য যদি তাদের একই সংখ্যক অ্যাসাইনমেন্ট থাকে তবে "হ্যাঁ" উত্তর দিন, অন্যথায় "না" উত্তর দিন।

এটি দেখতে সহজ , যেহেতু আমরা যদি এই দুটি সিএনএফের সমাধানের সঠিক সংখ্যাটি জানি তবে আমরা কেবল তাদের শিবির স্থাপন করি এবং "হ্যাঁ" বা "না" উত্তর দিই answer $P^{\#P}$

এই সমস্যাটির জটিলতা কী?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— মাইক চেন
সূত্র

উত্তর:

সমস্যা coNP -hard; আপনি এই সমস্যাটি সহজেই ইউএনএসএটি সমস্যা হ্রাস করতে পারেন।

আরও সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য হ'ল সমস্যাটি সি ₌ পি- কমপ্লিট। প্রকৃতপক্ষে, সি ₌ পি শ্রেণীর একটি সংজ্ঞাটি হ'ল এটি এমন সমস্যাগুলির শ্রেণি যা বহু-কালীন বহু-এক সময় এই সমস্যার খুব কম হয়ে যায় (সাধারণত এই সংজ্ঞাটি গ্যাপের ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে বলা হয় )। তবে যেহেতু এটি বেশি কিছু বলে না, আমাকে এই ক্লাসটিকে অন্য উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যাক।

সি ₌ পি সমস্যাগুলির শ্রেণীর হয়ে উঠুন যা বহু-সময়কালীন নিম্নলিখিত সমস্যার থেকে এক-এক হ্রাসযোগ্য: একটি বুলিয়ান সার্কিট দেওয়া হয়েছে φ এবং একটি পূর্ণসংখ্যা কে (বাইনারি মধ্যে), কিনা তা স্থির নিয়োজন পরিতৃপ্ত সংখ্যা φ সমান কে । একটি স্ট্যান্ডার্ড হ্রাস দ্বারা যা # 3SAT এর # পি-সম্পূর্ণতা দেখায়, আমরা ক্লাসকে প্রভাবিত না করে φ কে 3CNF সূত্র হিসাবে সীমাবদ্ধ করতে পারি । সি ₌ পি ক্লাসে ইউএস নামে একটি শ্রেণি রয়েছে, এতে ইউপি এবং কোএনপি উভয়ই থাকে ।

এই সংজ্ঞা সহ, আপনার সমস্যা সি ₌ পি সম্পূর্ণ। আসলে, সি ₌ পি-কঠোরতা ক্লাস সি ₌ পি (যা 3 সিএনএফ সূত্র ব্যবহার করে) এর সংজ্ঞা থেকে দেখতে সহজ to

সি ₌ পিতে সদস্যতা প্রমাণের জন্য , ধরুন যে আমরা সিএনএফ প্রদত্ত দুটি সূত্র φ ₁ এবং φ ₂ তে একই সংখ্যক সন্তোষজনক কার্যনির্বাহী রয়েছে কি না তা আমরা স্থির করে নিই । সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া আমরা অনুমান করতে পারেন যে দুটি সূত্র ভেরিয়েবল একই নম্বর আছে, বলতে এন । একটি বুলিয়ান বর্তনী আঁকো φ যা লাগে এন ইনপুট হিসাবে +1 টি বিট যাতে নিয়োজন পরিতৃপ্ত সংখ্যা φ সমান গ ₁ + + (2 ^এন - গ ₂ ), যেখানে গ ₁ এবং গ ₂যথাক্রমে φ ₁ এবং φ ₂ এর সন্তোষজনক কার্যভারের সংখ্যা হোন । তারপরে φ এর সন্তোষজনক কার্যের সংখ্যা 2 ^{এন এর} সমান এবং যদি কেবল c ₁ = c _{2 হয়} ।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

@ কাভেঃ আপনি কি বিস্তারিত বলতে পারবেন?

— Tsuyoshi Ito

@ কাভেঃ না, আমরা যা চাই তা তা নয়। আমরা সিদ্ধান্ত নিতে চাই যে φ_1 এবং φ_2 এর সন্তুষ্টিজনক কার্যভার একই সংখ্যার নয়, অগত্যা একইরকম সন্তোষজনক কার্যভার রয়েছে।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি:

আপনার সংজ্ঞার ভিত্তিতে জিআই কি

? আমি মনে করি কমপক্ষে জিআই

।

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— মাইক চেন

@ মাইক: আকর্ষণীয় মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আপনি কি ফলাফলের বিষয়ে কথা বলছেন যে গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম ∈ এসপিপি (অরবিন্দ এবং কুরুর 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002 )? যদি তাই হয়, আপনি ঠিক বলেছেন; SPP মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয়

, সুতারং গ্রাফে Isomorphism ∈

।

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

@ মাইক: আমি শিখেছি যে গ্রাফআইএসওএসপিপি ফলাফলের আগে, এটি গ্রাফিসো ∈ এলডাব্লুপিপি : কেবলার , শেকিং এবং টোর্ন 1992-এ জানা ছিল । যেহেতু এলডাব্লুপিপি ⊆ ডাব্লুপিপি ⊆

, আমাদের গ্রাফিকস

বলার জন্য আরবিন্দ এবং কুরুর দ্বারা শক্তিশালী ফলাফলের প্রয়োজন হয়নি ।

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito

মূল প্রশ্নের উপর এখানে একটি ছোট পার্থক্য। যাক ওর্যাকল ইনপুটের হতে 1 আউটপুট যদি CNF গেছে আরো CNF চেয়ে সমাধান । $O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

এই ওরাকল দেওয়া, আমরা একটি পলি-টাইম মেশিন বানাতে যা একটি প্রদত্ত CNF সমাধান সংখ্যা কম্পিউটিং মধ্যে # পি-সম্পূর্ণ সমস্যার সমাধান করতে পারে । নোট করুন যে দ্রষ্টব্যগুলির একটি ক্ষতিকারক সংখ্যা থাকতে পারে। $M$ $\varphi$ $\varphi$

হিসাবে কাজ করে অনুসরণ করে: এটা সমাধানগুলো পরিচিত নম্বর, এবং বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার এবং সবচেয়ে বহুপদী প্রশ্নের এ জিজ্ঞাসা করে সূত্র তৈরি করে , এটি একটি সূত্র খুঁজে বের করে যা হয়েছেএকইহিসাবে সমাধান সংখ্যার । এটি অবশেষে সন্ধান পাওয়া সমাধানের সংখ্যা আউটপুট করে। $M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

এটি দেখায় যে এর জটিলতা # পি রয়েছে। $M^O$

— এমএস দৌস্তি
সূত্র

আমার অজ্ঞতা ক্ষমা করুন, তবে আপনি কীভাবে একটি পূর্বনির্ধারিত সংখ্যক সমাধান সহ একটি সূত্র তৈরি করবেন?

— জর্জিও ক্যামেরানী

এম হতে একটি (ট + 1 টি) -বিট সংখ্যা যাক

, আর দিন

সূচকের হতে

যেখানে

।

এবং

দিয়ে একটি সূত্র তৈরি করুন । প্রত্যেকের জন্য

যাক

নিম্নলিখিত subformula হতে: "সমস্ত

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

সত্য এবং মধ্যে

শুধুমাত্র

সত্য "।

হয়েছে

পরিতৃপ্ত বরাদ্দকরণ (ভেরিয়েবল

মুক্ত ), এবং

এবং

এরসন্তোষজনক কার্যভারগুলি

কারণে বিরক্তি প্রকাশ করেছে

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$ ভেরিয়েবল। সূত্র

করেছে

বরাদ্দকরণ পরিতৃপ্ত।

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$

M

$M$

— মিকেরো

নোট করুন যে দুটি সিএনএফ সূত্র এফ -_1 এবং এফ_2 কে প্রদত্ত, এটি পিপি-সম্পূর্ণ কিনা, f_1 এর f_2 এর চেয়ে বেশি সন্তোষজনক কার্য রয়েছে কি না।

— Tsuyoshi Ito

@ মিকেরো: আহ, আমাকে বোকা! আমি এটা কল্পনা করা উচিত ছিল। আপনার আলোকিত ব্যাখ্যার জন্য ধন্যবাদ।

— জর্জিও ক্যামেরানি

দেখে মনে হচ্ছে এটি ন্যূনতম এনপি-হার্ড হিসাবে সহজেই একটি মাত্র সমাধান দিয়ে একটি স্যাট সূত্র তৈরি করতে পারে। তারপরে ভ্যালিয়েন্ট-বাজিরানী উপপাদ্য অনুসারে, প্রতিটি স্যাট সূত্র থেকে অনন্য-স্যাট সমস্যার একটি সেট (একটি সূত্রের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করে) এবং সেই অনন্য-স্যাট সমস্যাগুলি কেবলমাত্র একটি সমাধানের সাথে নির্মিত স্যাট সূত্রের সাথে তুলনা করে a বিবেচনাধীন SAT সূত্রের সন্তোষজনকতা নির্ধারণ করতে আপনাকে সক্ষম করে।

— মনোনীত করা
সূত্র

সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, প্রথম বাক্যে "এলোমেলোভাবে হ্রাসযোগ্যতার অধীনে" উল্লেখ করা উচিত (যদিও আপনি এটি দ্বিতীয় বাক্যে উল্লেখ করেছেন)।

— Tsuyoshi Ito