জটিলতা তত্ত্বে সংরক্ষণ আইন আছে?

Question

আমাকে কিছু উদাহরণ দিয়ে শুরু করা যাক। সিভিপি পিতে দেখানো এত তুচ্ছ কেন তবে এলপিকে পি তে দেখানো এত শক্ত; উভয়ই সম্পূর্ণ সমস্যা।

বা আধ্যাত্মিকতা নিতে। এনপি-তে প্রাইমগুলির চেয়ে কমপ্লেক্সগুলি দেখানো আরও সহজ (যা প্র্যাটের প্রয়োজন হয়) এবং শেষ পর্যন্ত পি। কেন এটি এই অসম্পূর্ণতাটি একেবারেই প্রদর্শন করতে হয়েছিল?

আমি হিলবার্টকে জানি, সৃজনশীলতার জন্য প্রয়োজনীয়তা, প্রমানগুলি এনপি ইত্যাদিতে রয়েছে তবে এটি আমার চোখের সামনে মিলার চেয়ে আরও কিছু আছে এমন অনুভূতি বোধ থেকে বিরত হয়নি।

"কাজ" এর একটি পরিমিত ধারণা আছে এবং জটিলতা তত্ত্বে একটি "সংরক্ষণ আইন" আছে? এটি দেখায়, উদাহরণস্বরূপ, যদিও সিভিপি এবং এলপি উভয়ই পি-সম্পূর্ণ, তারা তাদের জটিলতাগুলি "বিভিন্ন জায়গায়" লুকিয়ে রাখে - হ্রাসের মধ্যে একটি (সিভিপি কি সহজ? কারণ সমস্ত কাজ হ্রাসে সম্পন্ন হয়েছে?) এবং ভাষার প্রকাশযোগ্যতা অন্যান্য।

পাশাপাশি আর কিছু অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে অন্য কারও কি কৌতূহল? অথবা আমরা সঙ্কোচ করে বলি / গ্রহণ করি যে এটি গণনার প্রকৃতি?

ফোরামে এটি আমার প্রথম প্রশ্ন: আঙ্গুলগুলি পেরিয়ে গেছে।

সম্পাদনা: সিভিপি হ'ল সার্কিট মান সমস্যা এবং এলপি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং। একটি বিভ্রান্তি নির্দেশের জন্য সাদেককে ধন্যবাদ।

Comments

প্রথমদিকে, আমি ক্লোজস্ট ভেক্টর সমস্যা (যা এনপি-হার্ড) এর জন্য সিভিপিকে ভুল করেছিলাম । তারপর আমি লক্ষনীয় এটা যে সার্কিট মূল্য সমস্যা । আমি ভেবেছিলাম এটি উল্লেখ করা সহায়ক হবে।

— এমএস দৌস্তি

আকর্ষণীয় প্রশ্ন। নিশ্চিত না হলেও এর একটি আকর্ষণীয় উত্তর আছে :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

কেবলমাত্র একটি পর্যবেক্ষণ: এনপি (বলুন) এর সদস্যপদ প্রমাণের অসুবিধা কোনও ভাষার সম্পত্তি নয়, তবে কোনও ভাষার বর্ণনার সম্পত্তি । উদাহরণস্বরূপ, প্রাইমগুলির সেটটি এনপিতে রয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য এটি কিছু প্রচেষ্টা প্রয়োজন তবে এটি তুচ্ছ যে প্র্যাট শংসাপত্র সম্পন্ন পূর্ণসংখ্যার সেটটি এনপিতে থাকে।

— Tsuyoshi Ito

সময়-স্থান ট্রেডঅফ লোয়ারবাউন্ডস এই প্রশ্নের শব্দটির অর্থে সংরক্ষণ আইন হিসাবে প্রযোজ্য নয়?

— ম্যাভেরিক উ

চার্লস বেনেটের গণ্য গভীরতার ধারণা (মূলত "যৌক্তিক গভীরতা") "একটি জটিলতার সত্যতা প্রদর্শনের জন্য প্রয়োজনীয় কাজ" এর অন্তর্দৃষ্টিটির অংশটি ধারণ করতে পারে।

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 1

এটি এমন একটি প্রশ্ন যা আমার মনের মাঝে বহুবার ছড়িয়ে পড়ে।

আমি মনে করি একটি জায়গা দেখার তথ্য তত্ত্ব। এখানে আমার একটি জল্পনা আছে। একটি সমস্যা দেওয়া হতে পারে আমরা ইনপুট হিসাবে প্রদত্ত তথ্য এবং অ্যালগরিদম থেকে প্রাপ্ত তথ্যের জন্য কিছু ধরণের এনট্রপি মান দিতে পারি। যদি আমরা এটি করতে পারি, তবে সেই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য অ্যালগরিদমের দ্বারা প্রয়োজনীয় কিছু ন্যূনতম পরিমাণে তথ্য প্রাপ্তি থাকতে হবে।

সম্পর্কিত একটি জিনিস আছে যা আমি বের করতে চেয়েছিলাম। কিছু এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যায় আপনি পি তে একটি সীমাবদ্ধ সংস্করণ খুঁজে পেতে পারেন; হ্যামিলটোনীয় পাথের সাথে যদি আপনি উল্লেখ করেন যে গ্রাফটি একটি ডিএজি হয় তবে এটি সমাধানের জন্য পি-টাইম অ্যালগরিদম রয়েছে is টিএসপির মতো অন্যান্য সমস্যাগুলির সাথে প্রায়শই পি-টাইম অ্যালগোরিদম থাকে যা সর্বোত্তম হতে পারে। আমার কাছে মনে হয়, পি-টাইম অ্যালগরিদমের সীমাবদ্ধতার জন্য, ধরে নেওয়া অতিরিক্ত তথ্য এবং রান-টাইম জটিলতা হ্রাসের মধ্যে কিছু আনুপাতিক সম্পর্ক থাকা উচিত। টিএসপি-র ক্ষেত্রে আমরা অতিরিক্ত তথ্য ধরে নিচ্ছি না, আমরা নির্ভুলতাটি শিথিল করছি, যা আমি যে কোনও ধরণের অ্যালগরিদমিক তথ্য লাভের ক্ষেত্রে একই রকম প্রভাব ফেলবে বলে আশা করি।

সংরক্ষণ আইন নোট

এর আগে 1900 এর দশকে এমিলি নোথার নামে খুব কম জার্মান-আমেরিকান গণিতবিদ ছিলেন। আইনস্টাইন এবং হিলবার্ট অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে তাঁকে গণিতের ইতিহাসে সর্বাধিক আমদানিকৃত মহিলা হিসাবে বর্ণনা করেছিলেন। 1915 সালে তিনি বর্তমানে নোথারের প্রথম উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত যা প্রকাশ করেছিলেন । উপপাদ্য সংরক্ষণের শারীরিক আইন সম্পর্কে ছিল এবং বলেছিল যে সমস্ত সংরক্ষণ আইনের শারীরিক ব্যবস্থায় একটি আলাদা ডিফারেন্সিয়াল প্রতিসাম্য রয়েছে। অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টামের সংরক্ষণ স্থান থেকে একটি ঘূর্ণমান প্রতিসাম্য থেকে আসে, লিনিয়ার মোমেন্টামের সংরক্ষণ স্থানটিতে অনুবাদ হয়, শক্তি সংরক্ষণ সময়মত অনুবাদ হয়। প্রদত্ত যে, একটি আনুষ্ঠানিক অর্থে জটিলতা সংরক্ষণের আইন হওয়ার জন্য ল্যাংগ্রিজিয়ান ফাংশনে কিছুটা সম্পর্কিত ডিফারেন্সিয়াল প্রতিসাম্য থাকা দরকার।

Comments

+1 দুর্দান্ত উত্তর! আমার প্রায়শই একই জাতীয় সংগীত ছিল (@ ম্যাটআরএস: আমাকে একটি ইমেল প্রেরণ করুন)। যাইহোক, আমি মনে করি না এমি নোথার "স্বল্প-পরিচিত", তবে বাস্তবে একেবারে বিপরীত, যদিও তিনি টিসিএসে সুপরিচিত নন। নোথারের প্রথম উপপাদ্য পদার্থবিদদের কাছে সুপরিচিত, এবং নোথেরিয়ান রিংগুলি ক্রমবর্ধমান বীজগণিত এবং বীজগণিত জ্যামিতিতে অধ্যয়নের একটি কেন্দ্রীয় বিষয়। বেশ কয়েকটি অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ উপপাদাগুলি, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে in অঞ্চলেও তার নাম রয়েছে।

— জোশুয়া গ্রাচো

হ্যাঁ আমি যা বোঝাতে চেয়েছি; কমপ্লেষক বিজ্ঞানের পক্ষে সুপরিচিত নয়। আমি সবসময় ভেবেছিলাম সিএসে বিমূর্ত বীজগণিতকে আরও ব্যাপকভাবে শেখানো উচিত।

— MattRS

$\alpha > 1$$\alpha - \epsilon$$\epsilon > 0$

Answer 2

আমি মনে করি কারণটি আমরা ব্যবহার করি লজিক্যাল সিস্টেমের মধ্যে। প্রতিটি আনুষ্ঠানিক সিস্টেমে অ্যাকোরিয়ামগুলির একটি সেট, এবং অনুমানের নিয়মের একটি সেট থাকে ।

একটি আনুষ্ঠানিক সিস্টেমে প্রমাণ হ'ল সূত্রগুলির একটি অনুক্রম মাত্র যে অনুক্রমের প্রতিটি সূত্র হয় একটি অট্টালিকা বা অনুক্রমের নিয়ম প্রয়োগ করে অনুক্রমের আগের সূত্রগুলি থেকে প্রাপ্ত হয়। প্রথাগত সিস্টেমের একটি উপপাদ্য একটি প্রমাণের মধ্যে কেবল শেষ সূত্র।

একটি উপপাদ্য প্রমাণ দৈর্ঘ্য অভিমানী এটা যৌক্তিক সিস্টেমের মধ্যে নির্ধার্য হল, সেটে সম্পূর্ণভাবে নির্ভর করে উপপাদ্য ব্যবহার এবং অনুমান নিয়ম ।

উদাহরণস্বরূপ, প্রস্তাবিত যুক্তি বিবেচনা করুন, যার জন্য কয়েকটি বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান: ফ্রেইজ (1879), নিকড (1917) এবং মেন্ডেলসন (1979)। ( আরও তথ্যের জন্য এই সংক্ষিপ্ত জরিপটি দেখুন))

$\varphi \to \varphi$

এই সমস্যাটিকে প্রমাণ জটিলতা হিসাবে অভিহিত করা হয় । বিম ও পিটাসির উদ্ধৃতি দিতে :

যুক্তির অন্যতম প্রাথমিক প্রশ্ন নিম্নলিখিত: সর্বজনীন সত্য বক্তব্য দেওয়া (টোটোলজি) কিছু স্ট্যান্ডার্ড অ্যাক্টিওমেটিক প্রুফ সিস্টেমটিতে বিবৃতিটির সংক্ষিপ্ত প্রমাণের দৈর্ঘ্য কত? এই প্রশ্নের প্রস্তাবনামূলক যুক্তি সংস্করণ কম্পিউটার বিজ্ঞানে বিশেষত তাত্ত্বিক প্রমাণীকরণ এবং জটিলতা তত্ত্ব উভয়ের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কিত অ্যালগরিদমিক প্রশ্নগুলি হ'ল এমন কোনও ই-সিিয়েন্ট অ্যালগরিদম রয়েছে যা কোনও টোটোলজির প্রমাণ তৈরি করবে? কোনও টোটোলজির সংক্ষিপ্ততম প্রমাণ তৈরি করার জন্য কি কোনও ই-সিিয়েন্ট অ্যালগরিদম রয়েছে? উপপাদ্য প্রমাণ ও জটিলতার এই জাতীয় প্রশ্নগুলি এনপি-সম্পূর্ণতার উপর কুকের সিমনাল পেপারকে অনুপ্রাণিত করেছিল, উল্লেখযোগ্যভাবে "তাত্ত্বিক প্রমাণিত পদ্ধতির জটিলতা" শিরোনাম এবং ভন নিউম্যানকে তার এখনকার সুপরিচিত চিঠিতে গুডেল এর আগেও ভাবা হয়েছিল।

Answer 3

আমি অন্য দিন এই একই প্রশ্নটি নিয়ে ভাবছিলাম, যখন আমি পদার্থবিজ্ঞানের উপর ফেনম্যানের কিছু বক্তৃতা পুনরায় চালাচ্ছিলাম এবং শক্তি সংরক্ষণের 4 নম্বরে এসেছি । লেকচারে ফেনম্যান একটি সাধারণ মেশিনের উদাহরণ ব্যবহার করেছেন যা কিছু লিভার বা পাল্লির মাধ্যমে বা যে কোনও কিছু দিয়ে) এক ইউনিটের ওজনকে কিছুটা দূরত্ব দ্বারা কমিয়ে দেয় এবং এটি দ্বিতীয় ইউনিটের দ্বিতীয় ওজন তুলতে ব্যবহার করে। ওজন কীভাবে উঠানো যায়? ফেনম্যান পর্যবেক্ষণ করে থাকেন যে মেশিনটি যদি বিপরীতমুখী হয় তবে আমাদের মেশিনের প্রক্রিয়া সম্পর্কে কিছু জানতে হবে না - আমরা এটি একটি কালো বাক্সের মতো আচরণ করতে পারি - এবং এটি সর্বদা ওজনকে সর্বোচ্চ সর্বাধিক দূরত্বকে বাড়িয়ে তুলবে ( এই ক্ষেত্রে এক্স / 3)।

গণনার ক্ষেত্রে এটির কোনও অ্যানালগ রয়েছে? বিপরীতমুখী গণনার ধারণাটি ল্যান্ডউয়ার এবং বেনেটের কাজকে মনে রাখে, তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি যে শব্দটিতে আমরা আগ্রহী সেটির অর্থে এটি। স্বজ্ঞাতভাবে, যদি আমাদের কিছু অনুকূল সমস্যার জন্য একটি অ্যালগরিদম থাকে, তবে বিটগুলি মন্থন করার কোনও নষ্ট "কাজ" হয় না; একই সমস্যাটির জন্য একটি দৃru় শক্তি প্রয়োগের সিপিইউ চক্রটি বাম এবং ডানদিকে ফেলে দেওয়া হবে। যাইহোক, আমি কল্পনা করি যে কোনও একটি অ্যালগোরিদমের জন্য একটি শারীরিকভাবে বিপরীতমুখী সার্কিট তৈরি করতে পারে।

আমি মনে করি গণনাগত জটিলতার জন্য একটি সংরক্ষণ আইন পৌঁছানোর প্রথম পদক্ষেপটি হ'ল কী সংরক্ষণ করা উচিত তা নির্ধারণ করা। স্থান এবং সময় প্রতিটি গুরুত্বপূর্ণ মেট্রিক, তবে স্থান / সময় বাণিজ্য-অফগুলির অস্তিত্ব থেকে এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে একটি অ্যালগরিদমের দ্বারা কতটা "কাজ" করা হচ্ছে তার পরিমাপ হিসাবে নিজেই কেউই পর্যাপ্ত হতে পারে না be অন্যান্য মেট্রিকগুলি যেমন টিএম হেড রিভার্সাল বা টেপ সেল ক্রসিংগুলি ব্যবহার করা হয়েছে। এর মধ্যে কোনটিই গণনা সম্পাদনের জন্য প্রয়োজনীয় "কাজের" পরিমাণ সম্পর্কে আমাদের অন্তর্দৃষ্টিগুলির খুব কাছাকাছি বলে মনে হয় না।

সমস্যার উল্টানো দিকটি সেই কাজটি কী রূপান্তরিত হয় ঠিক তা আবিষ্কার করছে। আপনি যখন একবার কোনও প্রোগ্রাম থেকে আউটপুট নিয়ে আসেন, আপনি ঠিক কী অর্জন করেছেন?

Answer 4

সংরক্ষণ আইনের অস্তিত্বের পরামর্শ দেয় এমন কিছু পর্যবেক্ষণ:

$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

$P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

Answer 5

তাও গণিতে অসুবিধাগুলি সংরক্ষণের আইনের অস্তিত্বের পরামর্শ দিয়েছিলেন : "কোনও সত্যই অ-তুচ্ছ ফলাফল প্রমাণ করার জন্য, কিছু কঠোর পরিশ্রম কোথাও করতে হবে"।

তিনি যুক্তি দিয়েছিলেন যে কয়েকটি গাণিতিক প্রমাণের অসুবিধাটি উপপাদ্য প্রমাণকারী প্রক্রিয়া দ্বারা প্রয়োজনীয় প্রচেষ্টার পরিমাণের একটি কম আবদ্ধ প্রস্তাব দেয়।