প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে ত্রিভুজ গণনা করার সময় জটিলতা

Question

সাধারণ গ্রাফগুলিতে ত্রিভুজগুলি গণনা সময়ে তুচ্ছভাবে করা যেতে পারে এবং আমি মনে করি যে খুব বেশি দ্রুত করা শক্ত (রেফারেন্স স্বাগত)। প্ল্যানার গ্রাফগুলির কী হবে? নিম্নলিখিত সোজা পদ্ধতিটি ও ( এন লগ এন ) সময়ে করা যেতে পারে shows আমার প্রশ্ন দ্বিগুণ:$O(n^3)$$O(n\log{n})$

• এই পদ্ধতির জন্য একটি রেফারেন্স কি?
• সময় কি রৈখিক করা যায়?

লিপটন-টার্জনের পরিকল্পনাকারী বিভাজক উপপাদ্যের আলগোরিদিমিক প্রমাণ থেকে আমরা গ্রাফের আকারের সাথে লিনিয়ারে, গ্রাফের শীর্ষাংশকে তিনটি সেট যেমন একটি প্রান্তের বিন্দু সহ কোন প্রান্ত নেই। এবং অন্য, , এর আকার দ্বারা আবদ্ধ এবং উভয়ই upper by দ্বারা আকারের আছে । লক্ষ্য করুন যে গ্রাফের যে কোনও ত্রিভুজ পুরোপুরি ভিতরে বা সম্পূর্ণ অভ্যন্তরে অবস্থিত বা অন্য দুটি উল্লম্বের সাথে কমপক্ষে একটি শীর্ষবিন্দু ব্যবহার করে$A,B,S$$A$$B$$S$$O(\sqrt{n})$$A,B$$\frac{2}{3}$$A$$B$$S$$A \cup S$ বা উভয়ই । সুতরাং এটা উপর গ্রাফে ত্রিভুজ সংখ্যা গণনা করার জন্য যথেষ্ট এবং প্রতিবেশীদের এ (এবং একইভাবে জন্য )। লক্ষ্য করুন যে এবং এর লেইউবার্স একটি আউটার প্ল্যানার গ্রাফকে প্ররোচিত করে (উল্লিখিত গ্রাফ ব্যাসের প্ল্যানার গ্রাফের অনুচ্ছেদ$B \cup S$$S$$S$$A$$B$$S$$A$$k$$4$)। সুতরাং এই জাতীয় গ্রাফে ত্রিভুজগুলির সংখ্যা গণনা করা গতিশীল প্রোগ্রামিং বা কর্সেলের উপপাদকের প্রয়োগ দ্বারা করা যেতে পারে (আমি নিশ্চিতভাবে জানি যে এলবারফেল্ড এট আল দ্বারা লগস্পেস বিশ্বে এ জাতীয় একটি গণনা সংস্করণ বিদ্যমান রয়েছে এবং অনুমান করছি যে এটি উপস্থিত রয়েছে) লিনিয়ার টাইম ওয়ার্ল্ডে) যেহেতু একটি অনির্দেশিত ত্রিভুজ গঠন করা একটি সম্পত্তি এবং যেহেতু একটি আবদ্ধ প্রস্থের গাছের পচন একটি এম্বেডড আউটার প্ল্যানার গ্রাফ থেকে পাওয়া সহজ ।$\mathsf{MSO}_1$$k$

সুতরাং আমরা সমস্যাটিকে একজোড়া হিসাবে কমিয়েছি যা প্রতিটি রৈখিক সময় পদ্ধতির ব্যয়ে একটি ধ্রুবক ভগ্নাংশ ছোট।

লক্ষ্য করুন যে সময়ে কোনও ইনপুট গ্রাফের মধ্যে কোনও স্থির সংযুক্ত গ্রাফের উদাহরণগুলির সংখ্যা অনুসন্ধান করার জন্য পদ্ধতিটি বাড়ানো যেতে পারে ।$O(n\log{n})$

Comments

আপনি সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স এবং কম্পিউটিং টি আর ( এ 3 ) / 6 নিয়ে সাধারণ গ্রাফগুলিতে ত্রিভুজগুলি গণনা করতে পারেন । এটিতে n ω সময় লাগে , যেখানে ω < 2.373 ম্যাট্রিক্সের গুণ গুণ। $A$$tr(A^3)/6$$n^{\omega}$$\omega < 2.373$

— রায়ান উইলিয়ামস

@ রায়ানউইলিয়ামস আপনি অবশ্যই সঠিক! আমি প্রশ্ন আপডেট করব।

— সামিডি

Answer 1

প্ল্যানার গ্রাফ জি-তে যে কোনও নির্দিষ্ট সাবগ্রাফ এইচ এর সংখ্যার সংখ্যা ও (এন) সময়ে গণনা করা যায়, এমনকি যদি এইচটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়। এটি এবং বিভিন্ন সম্পর্কিত ফলাফল, ১৯৯৯ সালের ডেভিড এপস্টিনের দ্বারা প্ল্যানার গ্রাফস এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলিতে কাগজ সাবোগ্রাফ আইসোমর্ফিিজমে বর্ণিত হয়েছে ; উপপাদ্যটি দেখুন ১। কাগজটি প্রকৃতপক্ষে বৃক্ষদ্বীপের কৌশলগুলি ব্যবহার করে।

Answer 2

যদিও বার্ট জেনসেনের উত্তর সাবগ্রাফ গণনার সাধারণ ক্ষেত্রে সমাধান করে, প্ল্যানার গ্রাফের সমস্ত ত্রিভুজ গণনা করা (বা তালিকাবদ্ধকরণের সমস্যা) (বা আরও সাধারণভাবে কোনও চৌম্বকীয় আর্বোরিসিটির কোনও গ্রাফ) দীর্ঘ সময়ের জন্য লিনিয়ার সময় হিসাবে পরিচিত। দেখা

সি। পাপাদিমিট্রিও এবং এম। ইন্নাকাকিস, প্ল্যানার গ্রাফের জন্য চক্রের সমস্যা, অবহিত। Proc। পত্র 13 (1981), পৃষ্ঠা 131–133।

এবং

এন। চিবা এবং টি.নিশিজেকি, আরবোরিসিটি এবং সাবগ্রাফের তালিকাভুক্ত অ্যালগরিদম, সিয়াম জে.কম্পুট। 14 (1985), পৃষ্ঠা 210-2223।