প্ল্যানার স্যাটের জন্য সুব্যাপসোনসিয়াল অ্যালগরিদম জানা আছে কি?

কিছু এনপি-হার্ড সমস্যাগুলি যা সাধারণ গ্রাফগুলিতে ক্ষতিকারক হয় প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে সূক্ষ্মভাবযুক্ত কারণ গাছের প্রস্থটি সর্বাধিক বর্গক্ষেত্র এবং সেগুলি গাছের প্রস্থে ক্ষতিকারক । $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

মূলত আমি আগ্রহী যদি প্ল্যানার স্যাট-এর জন্য সুপ এক্সফোনশিয়াল অ্যালগরিদম থাকে যা এনপি-সম্পূর্ণ।

আসুন ভেরিয়েবলের একটি সিএনএফ সূত্র হতে হবে এবং ধারাটি । $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

ঘটনা গ্রাফ পি। এর 5 রয়েছে এবং প্রান্তগুলি iff বা । $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

$\phi$ idence প্ল্যানার স্যাটে থাকে যদি ঘটনা গ্রাফ প্ল্যানার হয়।

প্ল্যানার স্যাট-এর জন্য ফাইয়ের ক্ষেত্রে স্যুপ এক্সফোনশিয়াল অ্যালগরিদম রয়েছে ? $\phi$

এটি সম্ভব করার জন্য আমি প্ল্যানার স্যাট-তে সম্ভাব্যতা হ্রাস স্যাটকে বাদ দিই না, যদিও স্যাটটি এখনও ক্ষতিকারক হতে হবে এবং আকার বাড়ার কারণে সুব্যাক্সফেনশিয়াল। $\phi$

graph-theory sat reductions

— joro
সূত্র

প্ল্যানার স্যাট এর সংজ্ঞাটিতে একটি অতিরিক্ত শর্ত রয়েছে, ভেরিয়েবলগুলি অবশ্যই তাদের মাধ্যমে একটি চক্রের সাথে সংযুক্ত থাকতে হবে। আপনি যা বর্ণনা করেছেন তা PLANAR * SAT হিসাবে পরিচিত।

— ডোমোটরপ

@ ডমোটরপ আমি মনে করি আমি সঠিকভাবে উদ্ধৃত করেছি এবং কাগজ দাবি করেছে যে গ্রাফটি দ্বিপক্ষীয়। অন্য কাগজপত্রগুলিতে একই নামটি অন্য কোনও কিছুর জন্য ব্যবহৃত হয়।

— জোড়ো

ভাল, আপনি ডায়নামিক প্রোগ্রামিংয়ের সাথে প্ল্যানার বিভাজক উপপাদাকে একত্রে প্রয়োগ করতে পারেন এবং চলমান সময় , যেখানে গ্রাফের উল্লম্ব সংখ্যা। আমি ধরে নিচ্ছি আপনি আরও কিছু চান?

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— সারিল হার-পিল্ড

@ সরিয়েলহর-পিলড আপনার উত্তর হবে, এর চেয়ে ভাল আর কিছু লাগবে না (যদিও এটি স্বাগত স্বাগত)। বাগগুলি আমার বিভিন্ন সূত্রগুলিতে একই গ্রাফ থাকতে পারে - একটি আক্ষরিককে অস্বীকার করুন।

— জোড়ো

স্যাট থেকে প্ল্যানার স্যাট-এর স্ট্যান্ডার্ড হ্রাসটি দেখায় যে ক্ষণস্থায়ী সময় অনুমানের অধীনে, impossible অসম্ভব, সুতরাং সরিলের মন্তব্য থেকে প্রাপ্ত অ্যালগরিদম ব্যয়কারীর ধ্রুবকগুলির পক্ষে সর্বোত্তম। (এটি যদিও ডমোটরপ প্লানার * স্যাটকে কল করে, তবে আমি নিশ্চিত যে নীচের দিকের আবহাওয়াও প্লান্যাট স্যাটকে দেখানো যেতে পারে)

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$

— ড্যানিয়েলো

ভাল, আপনি ডায়নামিক প্রোগ্রামিংয়ের সাথে প্ল্যানার বিভাজক উপপাদাকে একত্রে প্রয়োগ করতে পারেন এবং চলমান সময় , যেখানে গ্রাফের উল্লম্ব সংখ্যা। ধারণাটি হ'ল যে আপনি বিভাজকের উপরের ভেরিয়েবলের জন্য প্রতিটি সম্ভাব্য অ্যাসাইনমেন্ট চেষ্টা করেছেন এবং বিভাজক (দফায় প্রতিটি অনুচ্ছেদে কনস্টনেট সংখ্যক ভেরিয়েবল রয়েছে) উল্লেখ করা হয়েছে। $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

যদি একটি ক্লজ নোড বড় হয়, তবে আপনাকে আরও চালাক হতে হবে - আপনাকে এটি অনুমান করতে হবে যে এটি বাম দিকে বা ডান পাশের সাবপ্রব্লেমকে নির্ধারণ করা হবে কিনা। এই জাতীয় জিনিসের বিশদটি অগোছালো এবং তাত্ক্ষণিকভাবে প্রবণতাযুক্ত, তাই আমি আরও বিশদ দিতে যাচ্ছি না। আমি মনে করি লিপটন এবং টারজানের মূল কাগজপত্র একই ধরণের ধারণাগুলি ব্যবহার করে একই সমস্যার সমাধান করেছে, যদি আমার স্মৃতি আমাকে সঠিকভাবে পরিবেশন করে।

— সারিল হার-প্লেড
সূত্র

আরও সাধারণভাবে এটি সুপরিচিত যে কোনও স্যাট সূত্রের ঘটনা গ্রাফের সর্বাধিক গাছের প্রস্থে থাকে তবে যে কেউ সময়ে সন্তোষজনকতা পরীক্ষা করতে পারে । সঙ্গে প্ল্যানার গ্রাফ ছেদচিহ্ন treewidth আছে গ্যারান্টী আছে প্ল্যানার বিভাজক উপপাদ্য কারণে। যে কোনও স্থির গ্রাফ বাদ দেয় এমন আরও সাধারণত গ্রাফগুলিতে একটি নাবালিকের ট্রিউইথ যেখানে ধ্রুবকটি আকারের উপর নির্ভর করে ।

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

— চন্দ্র চেকুরি

প্রকৃতপক্ষে, যদি সূত্রে ভেরিয়েবল এবং ক্লজ থাকে তবে গাছের প্রস্থটি সর্বাধিক (আরও ক্রুড বিপরীতে )। উপরের আবদ্ধ আসলে টুপি থেকে অনুসরণ করে ভেরিয়েবল আকারের একটি প্রান্তবিন্দু আচ্ছাদন সহ ঘটনা গ্রাফ একটি প্রান্তবিন্দু কভার, এবং প্ল্যানার গ্রাফ হয় treewidth আছে ।

n

$n$

m

$m$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— ড্যানিয়েলো

এটি এনপি-হার্ড সমস্যার জন্য ওওইঞ্জারের 2003 এর সঠিক অ্যালগরিদমগুলির 41 টি অনুশীলন : একটি সমীক্ষা । dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— আন্দ্রে সালামন