বিপরীত একারম্যানের সাথে মজা করুন


11

আলগোরিদিম বিশ্লেষণ করার সময় বিপরীত একারম্যান ফাংশন প্রায়শই ঘটে। এর দুর্দান্ত উপস্থাপনাটি এখানে: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann । এবং [দ্রষ্টব্য: [x]) এর অর্থ হল লগ করার সময় আমরা এক্সটিকে নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় পরিণত করি ∗ এখানে পুনর্বিবেচিত লগ ফাংশন: http://en.wikedia.org/wiki/Iterated_logarithm ]α 1 ( এন ) = [ এন / 2 ]

α1(n)=[n/2]
α 2 ( এন ) = [ লগ 2 এন ]
α2(n)=[log2n]
α 3 ( এন ) = লগ n
α3(n)=logn
...
α কে ( এন ) = 1 + α কে ( α কে - 1 ( এন ) )
αk(n)=1+αk(αk1(n))
α ( এন ) = মিনিট { কে: Α ( এন ) 3 }
α(n)=min{k:αk(n)3}

আমার প্রশ্ন হ'ল কে ( এন ) = মিনিট { কে : α কে ( এন ) কে }

k(n)=min{k:αk(n)k}
স্পষ্টত 1 কে ( এন ) α ( এন )1k(n)α(n)কে (এন) এর উপর কোন কঠোর সীমানা দিতে পারে কে ( এন )k(n)? হয় কে ( এন ) লগ α ( এন )k(n)logα(n) ?

আমি জানি কেন কেন , তবে কেন আপনি ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন ? কে ( এন ) α ( এন ) কে ( এন ) α ( এন )k(n)α(n)k(n)α(n)
jbapple

ঠিক আছে, বিতর্কিত সম্পাদিত । কে ( এন ) < α ( এন )k(n)<α(n)
ডানা মোশকভিত্জ

3
@ ডানামোশকোভিটস: আমি যার সাথে পরিচিত আমি অ্যাকারম্যান হায়ারার্কি ব্যবহার করে সংজ্ঞাগুলি প্রায় অনুমান করেছিলাম: pha এবং । অ্যাকারম্যান ফাংশনগুলির একটি সাধারণ সংজ্ঞা সহ, । অতএব যদি তবে , অর্থাৎ, । (আমি আশা করি সেখানে আমি কোনও ভুল করিনি।)α ( n ) = মিনিট { কে : কে ( 1 ) n } কে ( এন ) = মিনিট { কে : কে ( কে ) n } কে + 1 ( 1 ) = কে ( কে ( 1 ) ) কে ( কে ) কে ( কে )α(n)=min{k:Ak(1)n}k(n)=min{k:Ak(k)n}Ak+1(1)=Ak(Ak(1))Ak(k)) n কে + 1 ( 1 ) n কে ( এন ) α ( এন ) - 1Ak(k)nAk+1(1)nk(n)α(n)1
সিলভাইন

1
@ ডানামোশকোভিটস: স্পষ্ট করে বলতে, আমি A_1 এবং , যা আপনার সংজ্ঞার চেয়ে কিছুটা দ্রুত গতিতে বৃদ্ধি পায়, যেমন, পরিবর্তে । যদিও এর ফলাফল খুব বেশি হওয়া উচিত নয়: এবং বেশ একই জিনিস। 1 ( এন ) = 2 এন কে + 1 ( এন ) = এন + 1 কে ( 1 ) 2 ( এন ) = 2 এন + 1 2 এন α ( এন ) কে ( এন )A1(n)=2nAk+1(n)=An+1k(1)A2(n)=2n+12nα(n)k(n)
সিলভাইন

1
@ ডানামোশকভিত্জ: কেন কেন দেখছি না । অসীম অনেকগুলি মানগুলির জন্য আপনার কাছে , অর্থাত্ যখনই ; যেহেতু দ্রুত বৃদ্ধি পায়, আপনার এই ধরণের ক্রম দীর্ঘ এবং দীর্ঘতর হয়। আপনার সংজ্ঞা দিয়ে : অতএব তবে । কে ( এন ) < α ( এন ) এন α ( এন ) = কে ( এন ) কে ( কে ) < এন কে + 1 ( 1 ) < কে + 1 ( কে + 1 ) কে + 1 ( 1) ) - কে ( কে ) α ( এন )k(n)<α(n)nα(n)=k(n)Ak(k)<nAk+1(1)<Ak+1(k+1)Ak+1(1)Ak(k)< কে ( এন ) α 2 ( 8 ) = 3 > 2 α ( 8 ) = 2 কে ( 8 ) = 3α(n)<k(n)α2(8)=3>2α(8)=2k(8)=3
সিলভাইন

উত্তর:


12

যাক বিপরীত হতে । । আমি দাবি করি যে ।কে α কে 1 ( এক্স ) = 2 এক্স , 2 ( এক্স ) = 2 এক্স , কে - 1 ( এক্স ) = x ( এক্স )AkαkA1(x)=2x,A2(x)=2x,k1(x)=Ax(x)

যেহেতু এবং যেহেতু , । ফলস্বরূপ ।x = α x ( A x ( x ) ) z , α y ( z ) > α x ( z ) α y ( A x ( x ) ) > α x ( A x ( x ) ) = x k ( A x ( x ) ) = xx=αx(Ax(x))z,αy(z)>αx(z)αy(Ax(x))>αx(Ax(x))=xk(Ax(x))=x

এখন এর মান বিবেচনা করুন । সংজ্ঞামতে , এই । আমরা জানি যে , সুতরাং । আমি দাবি করি যে । । এখন , সুতরাং । যেহেতু , , তাই । সুতরাং,α ( কে - 1 ( এন ) ) = α ( এন ( এন ) ) α মিনিট জেড { α z ( এন ( এন ) ) 3 } α एन ( এন ( এন ) ) = এন α ( এন ( n ) ) > n α ( এন ( এন)α(k1(n))=α(An(n))αminz{αz(An(n))3}αn(An(n))=nα(An(n))>n) ) এন + + 2 α এন + + 1 ( একটি এন ( N ) ) = 1 + + α এন + + 1 ( এন ) α ( এন ) = মিনিট z- র { α z- র ( এন ) 3 } α α ( এন ) ( N ) 3 এন + 1 > α ( এন )α(An(n))n+2αn+1(An(n))=1+αn+1(n)α(n)=minz{αz(n)3}αα(n)(n)3n+1>α(n)α এন + + 1 ( এন ) 3 α এন + + 1 ( একটি এন ( N ) ) 4 α এন + + 2 ( একটি এন ( N ) ) = 1 + + α এন + + 2 ( α এন + + 1 ( এন ) ) 1 + α n + 2 ( 4 ) 3αn+1(n)3αn+1(An(n))4αn+2(An(n))=1+αn+2(αn+1(n))1+αn+2(4)3

সুতরাং, আমাদের , সুতরাং এবং মূলত সমান।n < α ( কে - 1 ( এন ) ) n + 2 কে αn<α(k1(n))n+2kα


9
এবং আমাকে যোগ করতে দিন যে এই সমস্ত ফাংশনগুলি 4 নম্বর লেখার বিভিন্ন জটিল উপায়
সারিল হার-প্লেড

0

এটি ভুল; মন্তব্য দেখুন।

এটির খুব কাছাকাছি একটি ক্রিয়াকলাপটিকে " " বলা হত এবং এটি পেটির "স্প্লে ট্রি, ডেভেনপোর্ট-শিনজেল সিকোয়েন্সস এবং ডেক কনজেকচার" ব্যবহার করা হত , যেখানে তিনি দেখিয়েছিলেন যে " ডেক অপারেশন [স্প্লে ট্রি"] গ্রহণ করেছে শুধুমাত্র সময়, যেখানে বিপরীত-Ackermann ফাংশন ম্যাপিং অ্যাপ্লিকেশন ন্যূনতম নম্বর একটি ধ্রুবক হয়। "α *αn O ( n α ( n ) ) α ( n ) nnO(nα(n))α(n)n

এই ফাংশনটি খুব ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পাচ্ছে, এবং চেয়ে ধীর গতিতে বাড়ছে । ফাংশনটি বিবেচনা করুনলগ α ( এন ) এফ : এনএনlogα(n)f:NN

f ( n ) = { 1  n = 0 2 f ( n - 1 )  n> 0

f(n)={12f(n1) n = 0 n > 0

এই ফাংশনটি মোটামুটি মতো দ্রুত বর্ধমান , সুতরাং চেয়ে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পাচ্ছে । এখন আমি মূল্যায়ন করব এবং উপর :A ( 4 , n ) A ( n ) = A ( n , n ) লগ α ( n ) α ( n ) A ( f ( n ) )A(4,n)A(n)=A(n,n)logα(n)α(n)A(f(n))

লগ α ( ( ( এন ) ) ) = লগ ( এন ) = ( এন - 1 )

logα(A(f(n)))=logf(n)=f(n1)

α ( ( ( এন ) ) ) = 1 + α ( ( এন ) ) < 1 + α ( ( এন ) ) < 2 + α ( এন )

α(A(f(n)))=1+α(f(n))<1+α(A(n))<2+α(n)

যেহেতু , faster চেয়ে অনেক দ্রুত বৃদ্ধি পাচ্ছে ।f(n1)ω(2+α(n))f(n1)ω(2+α(n))logα(n)logα(n)α(n)α(n)


আলফা ^ * এবং কে (এন) এর মধ্যে কী সম্পর্ক? (দ্রষ্টব্য যে কে (এন) এর সংজ্ঞায় আমি প্রশ্নটিতে আমার যে লিঙ্কটি ছিল তাতে সংজ্ঞায়িত আলফা_ ক (এন) ব্যবহার করেছি)
ডানা মোশকোভিটজ

ওহ, আমি দুঃখিত, আমি আপনার কে হিসাবে পড়েছি ! αkαkαkαk
jbapple
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.