বিপরীত একারম্যানের সাথে মজা করুন

আলগোরিদিম বিশ্লেষণ করার সময় বিপরীত একারম্যান ফাংশন প্রায়শই ঘটে। এর দুর্দান্ত উপস্থাপনাটি এখানে: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann । এবং [দ্রষ্টব্য: [x]) এর অর্থ হল লগ করার সময় আমরা এক্সটিকে নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় পরিণত করি ∗ এখানে পুনর্বিবেচিত লগ ফাংশন: http://en.wikedia.org/wiki/Iterated_logarithm ]

α 1 (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α 2 (n) = [log 2 n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α 3 (n) = log * n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α k (n) = 1 + α k (α k - 1 (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α k (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

আমার প্রশ্ন হ'ল

k (n) = min {k : α k (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$ স্পষ্টত

1≪k(n)≤α(n) $1\ll k(n) \leq \alpha(n)$ ।

উপর কোন কঠোর সীমানা দিতে পারে

k(n) $k(n)$ ? হয়

k(n)≤logα(n) $k(n) \leq \log\alpha(n)$ ?

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— ডানা মোশকভিত্জ
সূত্র

আমি জানি কেন কেন , তবে কেন আপনি ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন ?

k(n)≤α(n) $k(n) \leq \alpha(n)$

k(n)≪α(n) $k(n) \ll \alpha(n)$

— jbapple

ঠিক আছে, বিতর্কিত সম্পাদিত ।

k(n)<α(n) $k(n)<\alpha(n)$

— ডানা মোশকভিত্জ

@ ডানামোশকোভিটস: আমি যার সাথে পরিচিত আমি অ্যাকারম্যান হায়ারার্কি ব্যবহার করে সংজ্ঞাগুলি প্রায় অনুমান করেছিলাম: pha এবং । অ্যাকারম্যান ফাংশনগুলির একটি সাধারণ সংজ্ঞা সহ, । অতএব যদি তবে , অর্থাৎ, । (আমি আশা করি সেখানে আমি কোনও ভুল করিনি।)

α(n)=min{k:Ak(1)≥n} $\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k(n)=min{k:Ak(k)≥n} $k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

Ak+1(1)=Ak(Ak(1))≥Ak(k) $A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

Ak(k)≥n $A_k(k)\geq n$

Ak+1(1)≥n $A_{k+1}(1)\geq n$

k(n)≥α(n)−1 $k(n)\geq\alpha(n)-1$

— সিলভাইন

@ ডানামোশকোভিটস: স্পষ্ট করে বলতে, আমি A_1 এবং , যা আপনার সংজ্ঞার চেয়ে কিছুটা দ্রুত গতিতে বৃদ্ধি পায়, যেমন, পরিবর্তে । যদিও এর ফলাফল খুব বেশি হওয়া উচিত নয়: এবং বেশ একই জিনিস।

A1(n)=2n $A_1(n)=2n$

Ak+1(n)=An+1k(1) $A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A2(n)=2n+1 $A_2(n)=2^{n+1}$

2n $2^n$

α(n) $\alpha(n)$

k(n) $k(n)$

— সিলভাইন

@ ডানামোশকভিত্জ: কেন কেন দেখছি না । অসীম অনেকগুলি মানগুলির জন্য আপনার কাছে , অর্থাত্ যখনই ; যেহেতু দ্রুত বৃদ্ধি পায়, আপনার এই ধরণের ক্রম দীর্ঘ এবং দীর্ঘতর হয়। আপনার সংজ্ঞা দিয়ে : অতএব তবে ।

k(n)<α(n) $k(n)<\alpha(n)$

n $n$

α(n)=k(n) $\alpha(n)=k(n)$

Ak(k)<n≤Ak+1(1)<Ak+1(k+1) $A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

Ak+1(1)−Ak(k) $A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α(n)<k(n) $\alpha(n)<k(n)$

α2(8)=3>2 $\alpha_2(8)=3>2$

α(8)=2 $\alpha(8)=2$

k(8)=3 $k(8)=3$

— সিলভাইন

উত্তর:

যাক বিপরীত হতে । । আমি দাবি করি যে । $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

যেহেতু এবং যেহেতু , । ফলস্বরূপ । $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

এখন এর মান বিবেচনা করুন । সংজ্ঞামতে , এই । আমরা জানি যে , সুতরাং । আমি দাবি করি যে । । এখন , সুতরাং । যেহেতু , , তাই । সুতরাং, $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ ।

সুতরাং, আমাদের , সুতরাং এবং মূলত সমান। $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
সূত্র

এবং আমাকে যোগ করতে দিন যে এই সমস্ত ফাংশনগুলি 4 নম্বর লেখার বিভিন্ন জটিল উপায়

— সারিল হার-প্লেড

এটি ভুল; মন্তব্য দেখুন।

এটির খুব কাছাকাছি একটি ক্রিয়াকলাপটিকে " " বলা হত এবং এটি পেটির "স্প্লে ট্রি, ডেভেনপোর্ট-শিনজেল সিকোয়েন্সস এবং ডেক কনজেকচার" ব্যবহার করা হত , যেখানে তিনি দেখিয়েছিলেন যে " ডেক অপারেশন [স্প্লে ট্রি"] গ্রহণ করেছে শুধুমাত্র সময়, যেখানে বিপরীত-Ackermann ফাংশন ম্যাপিং অ্যাপ্লিকেশন ন্যূনতম নম্বর একটি ধ্রুবক হয়। " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

এই ফাংশনটি খুব ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পাচ্ছে, এবং চেয়ে ধীর গতিতে বাড়ছে । ফাংশনটি বিবেচনা করুন $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {1 2 f (n - 1) n = 0 n > 0

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

এই ফাংশনটি মোটামুটি মতো দ্রুত বর্ধমান , সুতরাং চেয়ে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পাচ্ছে । এখন আমি মূল্যায়ন করব এবং উপর : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

log α (A' (f (n))) = log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α * (A' (f (n))) = 1 + α * (f (n)) < 1 + α * (A' (n)) < 2 + α * (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~যেহেতু , faster চেয়ে অনেক দ্রুত বৃদ্ধি পাচ্ছে । $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
সূত্র

আলফা ^ * এবং কে (এন) এর মধ্যে কী সম্পর্ক? (দ্রষ্টব্য যে কে (এন) এর সংজ্ঞায় আমি প্রশ্নটিতে আমার যে লিঙ্কটি ছিল তাতে সংজ্ঞায়িত আলফা_ ক (এন) ব্যবহার করেছি)

— ডানা মোশকোভিটজ

ওহ, আমি দুঃখিত, আমি আপনার কে হিসাবে পড়েছি !

αk $\alpha_k$

αk $\alpha^k$

— jbapple