কোলমোগোরভ জটিলতার পক্ষে প্রমাণ হ্রাস ব্যবহার করে আপত্তিজনক

Question

আমি একটি প্রমাণ খুঁজছি যে কলমোগোরভ জটিলতা অন্য অপ্রয়োজনীয় সমস্যা থেকে হ্রাস ব্যবহার করে আপত্তিজনক। সাধারণ প্রমাণ হ'ল হ্রাসের পরিবর্তে বেরির প্যারাডক্সের আনুষ্ঠানিককরণ, তবে হ্যালটিং সমস্যা বা পোস্টের চিঠিপত্রের সমস্যার মতো কিছু থেকে হ্রাস করে একটি প্রমাণ থাকা উচিত।

Answer 1

আপনি দুটি ভিন্ন প্রমাণ খুঁজে পেতে পারেন:

গ্রেগরি জে চেইটিন, আসাত আরস্লানভ, ক্রিশ্চিয়ান ক্যালুড: প্রোগ্রাম-আকারের জটিলতা হুলিং সমস্যা গণনা করে। ইএটিসিএস 57 (1995) এর বুলেটিন

ইন লি মিং, Vitányi, পল মেগাবাইট; কলমোগোরভ জটিলতা এবং এর প্রয়োগগুলির একটি পরিচিতি এটি একটি অনুশীলন হিসাবে উপস্থাপিত হয়েছে (এটি কীভাবে সমাধান করা যায় তার একটি ইঙ্গিত সহ ডাব্লু। গার্সকে ব্যক্তিগত যোগাযোগে 13 ফেব্রুয়ারি, 1992-এ) দেওয়া হয়েছিল।

** আমি এটির একটি বর্ধিত সংস্করণ আমার ব্লগে প্রকাশ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি ।

Comments

তদ্ব্যতীত, চাইটিনের প্রমাণ (সেই লিঙ্কে) দেখায় যে ওরাকল অনুসন্ধানগুলি সমান্তরালে তৈরি করা যেতে পারে। $\;\;\;\;$

এই প্রমাণগুলি কি আসলেই হ্রাস ঘুরিয়ে দিচ্ছে (এক থেকে এক (বা) অনেকের কাছে)? আমি দ্বিধান্বিত !! দয়া করে আমাকে সহায়তা করুন

— কৃষ্ণ চিক্কাল

@ কৃষ্ণচিক্কাল: প্রথমটি অবশ্যই টুরিং হ্রাস । আমি এটি এতটা পরিষ্কার দেখতে পাইনি, তাই আমি আমার ব্লগে এটির একটি বর্ধিত সংস্করণ প্রকাশ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি । আপনি যদি এটি একবার দেখতে চান (এবং ইমেল দ্বারা আমাকে বলুন আপনি যদি ভাবেন যে এটি উন্নত করা যায়)। এছাড়াও নোট করুন যে টুরিং হ্রাস অনেকগুলি ওয়ান হ্রাস (যা "শক্তিশালী" হ্রাস) থেকে পৃথক; প্রকৃতপক্ষে জো বেবেলের উত্তর প্রমাণ করেছে যে এই ধরনের হ্রাস থাকতে পারে না।

— মারজিও দে বায়াসি

Answer 2

এটি ভাবতে মজাদার প্রশ্ন ছিল। অন্য উত্তর এবং নীচের মন্তব্যে বর্ণিত হিসাবে, কোলমোগোরভ জটিলতা গণনা করার ক্ষেত্রে হ্যালটিং সমস্যা থেকে একটি টিউরিং হ্রাস রয়েছে, তবে উল্লেখযোগ্যভাবে কমপক্ষে 'কমপিউটিং কোলমোগোরভ জটিলতার' সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য এই ধরণের বহু-একটি হ্রাস নেই।

আসুন আমরা কী বিষয়ে কথা বলছি তা আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করি। যাক বোঝাতে টি এম মান ভাষা স্থগিত যখন ইনপুট হিসাবে নিজেদের একটি বিবরণ দেওয়া হয়েছে। যাক বোঝাতে ।$HALT$$KO$$\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$

অনুমান করুন যে একাধিক এক-এক হ্রাস দ্বারা। আসুন এই হ্রাস গণনা করে এমন ফাংশনটি বোঝায়। ভাবমূর্তি বিবেচনা অধীনে , যা আমি নির্দেশ করবে ।$HALT \le KO$$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$$HALT$$f$$f(HALT)$

নোট ফর্মের স্ট্রিংগুলি নিয়ে রয়েছে যেখানে সাথে কোলমোগোরভ জটিলতা হ'ল । আমি দাবি করি যে সংঘটিত হয় তা সীমাহীন, কারণ কোলমোগোরভ জটিলতার সাথে সীমাবদ্ধ সংখ্যক স্ট্রিং রয়েছে ঠিক , এবং অসীম।$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$x$$k$$k$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$

যেহেতু পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য (কিছু বইয়ে ওরফে টিউরিং-স্বীকৃত) এটি অনুসরণ করে যে পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য। সত্য যে সাথে মিলিত এর সীমাবদ্ধ, আমরা গনা করতে যতক্ষণ না আমরা এটি কিছু সঙ্গে মত বৃহৎ আমরা চাই হিসেবে; অর্থ্যাৎ এখানে একটি টিএম যা ইনপুট কিছু উপাদান আউটপুট দেয় ।$HALT$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$k$$M$$k$$\langle x,k \rangle \in f(HALT)$

একটি নতুন টিএম লিখুন যা নিম্নলিখিতগুলি করে: প্রথম, গণনাক্লিনির পুনরাবৃত্তি উপপাদ্য ব্যবহার করে। ইনপুট দিয়ে জিজ্ঞাসা করুন পেতে । আউটপুট ।$M'$$|M'|$$M$$|M'|+1$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$$x$

স্পষ্টত আউটপুট এর সর্বাধিক Kolmogorov জটিলতা সঙ্গে একটি স্ট্রিংতবে যা একটি বৈপরীত্য।$x$$M'$$|M'|$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$

আমি বিশ্বাস করি আপনি "কোলমোগোরভ জটিলতা হ'ল " সমস্যাটিও "কোলমোগোরভ জটিলতা কমপক্ষে " এর সাথে সামান্য পরিবর্তন সহ প্রতিস্থাপন করতে পারেন believe$k$$k$

Comments

তবে ট্যুরিং হ্রাস সম্পর্কে কী বলা যায়?

— সাশো নিকোলভ

আমাকে একটি মন্তব্যে এই ধারণাটি ফেলে দিতে দাও কারণ আমি ধারণার মাধ্যমে ভাবিনি। যেমন সিদ্ধান্ত সমস্যা একই হতে দিন কিন্তু হ্রাস এখন একটি টুরিং কমানো । সেট বিবেচনা সব মধ্যে কিছু টি এম অস্তিত্ব আছে যেমন যে যে কারণগুলো ক্যোয়ারীতে ইনপুটের ওরাকল । আমি দাবি করি যে এর একই আনবাউন্ডেড সম্পত্তি রয়েছে (এটি আমি বলার চেয়ে আরও কিছুটা ন্যায়সঙ্গত হওয়া দরকার) এবং জাতীয় সীমাহীন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা সর্বদা একটি বৈপরীত্য is $R$$S$$\langle x,k\rangle \in KO$$HALT$$R$$KO$$\langle x,k\rangle \in KO$$S$$k$$R$$\langle x,k\rangle$

— জো বেবেল

আসলে আমি প্রত্যাখ্যান করি যে সেভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। টুরিং হ্রাস প্রসঙ্গে এটি এতটা পরিষ্কার নয়। $R$

— জো বেবেল

কয়েকটি জায়গার দাবি, কোলমোগোরভ জটিলতা হুরিটিং সমস্যার সমতুল্য টিউরিং , উদাহরণস্বরূপ মিলটারসেনের নোটগুলি দ্যিমি.ও.ডাক / ব্রোমিল / ডিডিসি 5 / কোলমোগোরভ.পিডিএফ । যদি এটি সত্য হয় তবে অবশ্যই একটি ট্যুরিং হ্রাস থাকতে হবে। উপায় দ্বারা কোলমোগোরভ জটিলতা থেকে হাল্টিং সমস্যায় টুরিং হ্রাস সহজ এবং এটি একটি পৃথক প্রমাণ দেয় যে থামানো অনস্বীকার্য।

— সাশো নিকোলভ

$HALT\le_T KO$অন্যান্য উত্তরে লিঙ্কে প্রদত্ত যুক্তিগুলি থেকে অনুসরণ করে। প্রকৃতপক্ষে, অন্যান্য হ্রাস যেহেতু (প্রায়) তুচ্ছ, তাই আমাদের কাছে । $HALT\equiv_T KO$