রেডবো ত্রিভুজগুলিতে এজ-পার্টিশন করা

Question

আমি ভাবছি যে নিম্নলিখিত সমস্যাটি এনপি-হার্ড কিনা।

ইনপুট: $G = (V,E)$একটি সাধারণ গ্রাফ এবং একটি রঙিন প্রান্তগুলির (( কোনও নির্দিষ্ট সম্পত্তি যাচাই করে না)।$f : E \to \{1,2,3\}$$f$

প্রশ্ন: কে ত্রিভুজগুলিতে ভাগ করা সম্ভব , যেমন প্রতিটি ত্রিভুজের প্রতিটি রঙের একটি প্রান্ত থাকে?$E$$|E|/3$

আমি জানি যে রঙগুলি ছাড়াই কে-এন- কোনও গ্রাফকে "এজ পার্টিশন" করার সমস্যা নেই , হ'ল এনপি-হার্ড ( কিছু এজ-পার্টিশন সমস্যার এনপি- দেখুন ) তবে আমি জানি না এমন রঙগুলির সাথে।$K_n$$n \geq 3$

আমি একটি ফলাফলে প্রান্ত partitioniong জন্য রামধনু মধ্যে আগ্রহী হতে চান সঙ্গে, একটি ধ্রুবক। অবশ্যই, এই ক্ষেত্রে সমস্যাটি হয়ে ওঠে:$K_c$$c$

ইনপুট: একটি সহজ গ্রাফ, এবং একটি শোভা প্রান্ত এর ( কোনো নির্দিষ্ট সম্পত্তি যাচাই করে না) ।$G = (V,E)$$f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$$f$

প্রশ্ন: কে মধ্যে বিভাজন করা সম্ভব , যেমন প্রতিটি চক্র এর প্রতিটি রঙের এক প্রান্ত থাকে?$E$$|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$$K_c$

Answer 1

আমি প্রশ্নের লিঙ্কটি অনুসরণ করেছি এবং সেখানে হ্রাস আসলে গ্রাফ তৈরি করে যার প্রান্তগুলিতে প্রতিটি প্রাকৃতিক রঙিন রয়েছে $K_n$ গ্রাফ উপস্থিত একটি "রংধনু $K_n$"(প্রতিটি বর্ণের হুবহু এক প্রান্ত রয়েছে)। অন্য কথায়, আমরা সহজেই সেই কাগজটির হ্রাস সামঞ্জস্য করতে পারি যাতে এটি আপনার সমস্যা হ্রাস করার পরিবর্তে বিভাজনকে কমিয়ে দেয় $K_n$s সমস্যা: কেবলমাত্র প্রতিটি প্রান্তকে এই প্রাকৃতিক রঙ অনুসারে একটি রঙ নির্ধারণ করুন এবং তারপরে গ্রাফটিকে "রংধনুতে বিভক্ত করা যায় $K_n$s "যদি এবং কেবলমাত্র এটিতে বিভাজন করা যায় $K_n$মোটেও এস।

সেই কাগজ হ্রাসের প্রাথমিক কাঠামোটি নিম্নলিখিত 3 টি পদক্ষেপের সাথে সম্পন্ন করা যেতে পারে:

1. একটি নির্দিষ্ট গ্রাফের অনেকগুলি অনুলিপি তৈরি করুন $H_{n,p}$।
2. এর কয়েকটি কপির কয়েকটি টুকরো চিহ্নিত করুন $H_{n,p}$ একে অপরের সাথে (যেমন একাধিক বিভিন্ন অনুলিপিগুলির মধ্যে উল্লম্ব / প্রান্তগুলি মার্জ করুন $H_{n,p}$)।
3. কিছু অনুলিপিগুলি থেকে নির্দিষ্ট শীর্ষে / প্রান্তগুলি সরান।

গ্রাফ $H_{n,p}$ এটির দৈর্ঘ্যের সেটটি শীর্ষে রয়েছে$n$ ভেক্টর মডুলো $p$ যার জন্য উপাদানগুলি যুক্ত করে $0$ গেলিক ভাষার $p$। প্রান্তগুলি প্রতি দুটি উল্লম্বকে সংযুক্ত করে যা এর মাত্রার পার্থক্য সহ মাত্র দুটি উপাদানগুলিতে পৃথক হয়$+1$ এবং $-1$ এই দুটি উপাদান।

আমি এই গ্রাফটির জন্য নিম্নলিখিত বর্ণনার প্রস্তাব করছি: এর প্রান্ত অনুযায়ী প্রতিটি প্রান্তে একটি রঙ নির্ধারণ করুন। যদি$x$ এবং $y$ পার্শ্ববর্তী শীর্ষে, তারপর $x-y$ একটি ভেক্টর সঙ্গে $n-2$ সমান উপাদান $0$সমান একটি উপাদান $1$ এবং একটি উপাদান সমান $-1$। অন্য কথায়, প্রতিটি প্রান্তের জন্য$(x, y)$ সেখানে ${n \choose 2}$ যে উপাদানগুলির জন্য বিকল্পগুলি $x-y$শূন্য নয়। যদি আমরা এই বিকল্পগুলির প্রত্যেকটির জন্য একটি অনন্য রঙ নির্ধারণ করি তবে আমাদের কাছে সমস্ত প্রান্তের জন্য একটি রঙ রয়েছে যাতে একই দিকের প্রতিটি প্রান্তের রঙ একই থাকে। এটি যাচাই করা খুব সহজ যে একটিতে দুটি প্রান্ত নেই$K_n$ ভিতরে $H_{n,p}$একই দিকে আছে। সুতরাং প্রতিটি$K_n$ ভিতরে $H_{n,p}$ একটি রংধনু $K_n$ এই রঙের অধীনে।

যখন আমরা হ্রাস অনুসরণ করি, আমরা প্রতি কপির জন্য এই রঙটি ব্যবহার করি $H_{n,p}$। সুতরাং উপরের তালিকার 1 ধাপের শেষে, প্রতিটি$K_n$ গ্রাফে একটি রংধনু হয় $K_n$।

উপরের তালিকার ২ য় ধাপে আমরা একে অপরের সাথে কয়েকটি শীর্ষে / প্রান্ত চিহ্নিত করি। বিশেষত, হ্রাস আমরা সর্বদা একটি চিহ্নিত$K_n$ অন্যের সঙ্গে $K_n$। তবে এই পরিস্থিতিতে (যেখানে সমস্ত$K_n$গুলি একটি অনুলিপি থেকে হয় $H_{n,p}$), প্রতি $K_n$ হয় হয় "স্ট্যান্ডার্ড" এর অনুবাদ $K_n$"যা কাগজ কল করে $K$ বা একটি অনুবাদ $-K$। সুতরাং, আমরা হয় দুটি সমান্তরাল সনাক্ত$K_n$দুটি বা দুটি $K_n$যেগুলি একে অপরের "ফ্লিপ"। উভয় ক্ষেত্রেই, দুটি প্রান্তে চিহ্নিত হওয়া প্রান্তগুলি$K_n$গুলি সমান্তরাল এবং তাই একই রঙ। উদাহরণস্বরূপ, কাগজে চিত্র 2 দেখুন; প্রান্তগুলি যা সনাক্ত করা হয় তা সর্বদা সমান্তরাল। সুতরাং, যেহেতু আমরা কখনই বিভিন্ন বর্ণের দুটি প্রান্ত চিহ্নিত করার চেষ্টা করি না, উপরের তালিকার 1 ধাপের শেষে রঙটি স্বাভাবিকভাবেই দ্বিতীয় ধাপের শেষে একটি বর্ণের মধ্যে প্রসারিত করা যেতে পারে certain নতুন কিছু$K_n$s, সুতরাং এই পদক্ষেপের শেষে এখনও এটি কেস যে প্রতিটি $K_n$ একটি রংধনু $K_n$।

অবশেষে ৩ য় ধাপে আমরা কয়েকটি শীর্ষে / প্রান্তগুলি সরিয়ে ফেলি যা কোনও নতুন তৈরি করে না $K_n$গুলি। সুতরাং, আমরা আমাদের পছন্দসই সম্পত্তি আছে: আমি সরবরাহ প্রতিটি রঙের অধীনে$K_n$ এই হ্রাস দ্বারা উত্পন্ন গ্রাফে একটি রংধনু $K_n$।