এর স্বতন্ত্র পার্থক্যের সংখ্যা

আমি আমার গবেষণার সময় নিম্নলিখিত ফলাফলের মুখোমুখি হয়েছি।

$lim_{n \to \infty} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] = 1$ $\lim\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n} \right] = 1$ $m=\omega(\sqrt n)$ $a_1,\cdots,a_m$ $[n]$

আমি একটি রেফারেন্স / প্রত্যক্ষ প্রমাণ খুঁজছি।

এমও-তে ক্রসপোস্ট করা

reference-request co.combinatorics pr.probability

— ঘু কাও
সূত্র

যদি , আপনি পেতে পারেন বিভিন্ন পার্থক্যের সর্বাধিক সংখ্যা হ'ল । সুতরাং এটি সত্য হওয়ার জন্য আপনার really than এর চেয়ে দ্রুত বাড়ার জন্য সত্যিই দরকার । আমি কি করতে হবে সম্ভাব্যতা হিসাব করা হবে যা নম্বর চেষ্টা হয় না একটা পার্থক্য।

m = \sqrt{n}

$m = \sqrt{n}$

m (m - 1) / 2 < n / 2

$m(m-1)/2 < n/2$

m

$m$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

d

$d$

d = | a_{i} - a_{j} |

$d = |a_i - a_j|$

— পিটার শর

@ শোর: ধন্যবাদ, আমি প্রশ্নটি আপডেট করেছি। আর যেহেতু , এটি একটি নির্দিষ্ট পার্থক্য নিরূপণ করা সহজ ।

E (\sum x_{i}) = \sum E (x_{i})

$\mathbb E(\sum x_i)=\sum \mathbb E(x_i)$

d

$d$

— ঝু কও

@ZhuCao, যখন আপনি বলে "বেছে নিন পূর্ণসংখ্যার এলোমেলোভাবে থেকে ", কি বন্টন আপনি ঠিক কি বোঝাতে চেয়েছেন? আমি IID অভিন্ন অভিমানী ছিল ।

m

$m$

a_{1}, . . ., a_{m}

$a_1,...,a_m$

[1, n]

$[1,n]$

{1, \dots, n}

$\{1,\dots,n\}$

— usul

@ আন্ড্রাস না, ঘটনাটি এটি নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি নম্বরটি নির্বাচিত না হয় (যা 0 থেকে সীমাবদ্ধতার সম্ভাবনার সাথে ঘটে) তবে পার্থক্যটি উপস্থিত হতে পারে না, এবং । তবে কেন এটি হওয়া দরকার? প্রশ্নটি কেবল জিজ্ঞাসা করে যে এর প্রত্যাশা 1 এর কাছাকাছি হয়, এমন নয় যে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সমান হয় না ।

1

$1$

n - 1

$n-1$

D_{n} < n

$D_n<n$

D_{n} / n

$D_n/n$

D_{n}

$D_n$

— জেমস মার্টিন

দয়া করে একাধিক স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ সাইটে ক্রস পোস্ট করবেন না। আমাদের সাইটের নীতি একইসাথে ক্রস পোস্টিং নিষেধ করে: এটিতে বলা হয়েছে, কমপক্ষে, এক সপ্তাহ অপেক্ষা করুন। এবং যদি আপনার কোনও ভাল উত্তর না পাওয়া যায় তবে আপনি মাইগ্রেট হওয়ার জন্য জিজ্ঞাসা করার জন্য আপনি সর্বদা এটির মাঝারি মনোযোগের জন্য পতাকাঙ্কিত করতে পারেন।

— DW

হিসাবে দেওয়া হিসাবে ধরে নিন । $m=\omega(\sqrt{n})$

যেকোন । আমরা সাথে । লক্ষ্য দেখাতে হবে যে হিসাবে উচ্চ সম্ভাবনা সঙ্গে রয়েছেন , পার্থক্যের সেটে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। $\epsilon>0$ $r\in[1,n]$ $r<(1-\epsilon)n$ $n\to\infty$ $r$

প্রথমে সেটটি বিবেচনা করুন । সংখ্যা সঙ্গে যেমন যে প্রায় প্রত্যাশা সঙ্গে দ্বিপদ হয় । সুতরাং হিসাবে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে , এই জাতীয় কমপক্ষে , যা বর্গ । তারপর (দাবি, "ব্যায়াম হিসাবে বাম", দেখানোর জন্য কঠিন নয়) হিসাবে উচ্চ সম্ভাবনা সঙ্গে , সেট আকার কমপক্ষে । আমাদের লিখুন যাক এই "ভাল ইভেন্ট", যে জন্য । $A=\{a_i:i<m/2\}\cap[1,\epsilon n]$ $i$ $i<m/2$ $a_i<\epsilon n$ $\epsilon m/2$ $n\to\infty$ $i$ $\epsilon m/4$ $\omega(\sqrt{n})$ $n\to\infty$ $A$ $\sqrt{n}$ $G$ $|A|\geq\sqrt{n}$

ধরুন যে প্রকৃতপক্ষে ঝুলিতে, অর্থাত্ অন্তত আছে স্বতন্ত্র মান কম , জন্য । নোট যেমন প্রতিটি মান জন্য, একটি মান যে যা অবিকল হয় বড় করা হয়েছে। জন্য এখন এর মান বিবেচনা করুন । এই স্বাধীন এবং প্রতিটি এক সম্ভাবনা আছে অন্তত দূরে হচ্ছে সেটের একটি উপাদান থেকে । কোনও পার্থক্য তৈরি না হওয়ার সম্ভাবনাটি তখন সর্বাধিক $G$ $\sqrt{n}$ $a_i$ $\epsilon n$ $i<m/2$ $k\in [1,n]$ $r$ $a_i$ $i\geq m/2$ $\sqrt{n}/n=1/\sqrt{n}$ $r$ $A$ $r$ $(1-1/\sqrt{n})^{m/2}$ যা পরে হিসাবে 0 হয় । সুতরাং প্রকৃতপক্ষে, সম্ভাব্যতা ধারণ করে কিন্তু আকার এর কোনও পার্থক্য নেই 0 টি হিসাবে থাকে । $n\to\infty$ $m=\omega(\sqrt{n})$ $G$ $r$ $n\to\infty$

সুতরাং (অবিশেষে মধ্যে ) সম্ভাব্যতা যে পার্থক্যের সেট মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় 1 থেকে যেমন থাকে । সুতরাং প্রত্যাশার লিনিয়ারিটি ব্যবহার করে, যেহেতু নির্বিচারে, সীমাটি পছন্দসই হিসাবে 1। $r<(1-\epsilon)n$ $r$ $n\to\infty$

\underset{n \to \infty}{lim inf} E [\frac{# {| a_{i} - a_{j} |, 1 \leq i, j \leq m}}{n}] \geq 1 - ϵ .

$\liminf \limits_{n\to \infty} \mathbb{E}\left[ \frac{\#\{|a_i-a_j|,1\le i,j\le m \}}{n}\right] \geq 1-\epsilon.$

ϵ

$\epsilon$

— জেমস মার্টিন
সূত্র

আপনি কি the অভিব্যক্তিতে প্রতিটি পার্থক্যকে স্বাধীন হিসাবে বিবেচনা করছেন এবং যদি তা হয় তবে তা কি ন্যায়সঙ্গত?

1 - (1 - ϵ / n)^{ω (n)}

$1-(1-\epsilon/n)^{\omega(n)}$

— usul

@James ওহ, এখন আমি দেখি আমি কোথায় যে মিস । ধন্যবাদ.

n

$n$

— ড্যানিয়েল সোল্টেজ

@ ইউসুল: সত্যই, ক্ষমা চাই, আমার যুক্তিটি ছিল ম্লান এবং অসম্পূর্ণ। আমি এটি প্রসারিত করেছি - আমার মনে হয় এটি এখন জল ধরেছে।

— জেমস মার্টিন