কয়েকটি মুদ্রা টস ব্যবহার করে একটি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রা সন্ধান করা

Question

গবেষণাকালে নিম্নলিখিত সমস্যাটি উপস্থিত হয়েছিল এবং এটি আশ্চর্যরকমভাবে পরিষ্কার:

আপনার মুদ্রার উত্স আছে। প্রতিটি মুদ্রার একটি পক্ষপাত রয়েছে, সম্ভবত এটি সম্ভবত "মাথার" উপর পড়ে। প্রতিটি মুদ্রার জন্য স্বাধীনভাবে সম্ভাবনা 2/3 রয়েছে যে এটির কমপক্ষে 0.9 পক্ষপাত রয়েছে এবং বাকী সম্ভাবনার সাথে তার পক্ষপাতটি [0,1] এ যে কোনও সংখ্যা হতে পারে। আপনি মুদ্রার পক্ষপাতিত্ব জানেন না। যে কোনও পদক্ষেপে আপনি যা করতে পারেন তা হ'ল একটি মুদ্রা টস এবং ফলাফলটি পর্যবেক্ষণ করা।

প্রদত্ত এন এর জন্য, আপনার কাজটি কমপক্ষে সম্ভাব্যতার সাথে কমপক্ষে 0.8 পক্ষপাত সহ একটি মুদ্রা সন্ধান করা । আপনি কি কেবল ও (এন) মুদ্রা টস ব্যবহার করে তা করতে পারেন?$1-\exp(-n)$

Comments

আমার কাছে খুব অপ্রত্যাশিত বলে মনে হচ্ছে , যেহেতু টসসগুলি কেবল নির্ধারণের জন্য প্রয়োজনীয় প্রদত্ত মুদ্রা উচ্চ-পক্ষপাতী কিনা বা আত্মবিশ্বাসের সাথে 1 - এক্সপ্রেস ( - এন ) হিসাবে প্রয়োজনীয় বলে মনে হচ্ছে । (আমরা পাশাপাশি অনুমান হতে পারে প্রতিটি মুদ্রা পক্ষপাত আছে পারেন 0.9 বা 0.8 - ε ।) আপনি কি এর চেয়ে ভাল কিছু আছে হে ( ঢ 2 ) tosses? $O(n)$$1-\exp(-n)$$0.9$$0.8-\epsilon$$O(n^2)$

— usul

আমি গণিতটি পরীক্ষা করিনি, তবে নিম্নলিখিত ধারণাটি আশাব্যঞ্জক বলে মনে হচ্ছে: প্রতিটি কয়েনের জন্য (ধারাবাহিকতায়) নিম্নলিখিত পরীক্ষাটি করুন। একটি প্যারামিটার বাছুন , 0.85 বলুন এবং মুদ্রাটি ব্যবহার করে লাইনে একটি এলোমেলো হাঁটা করুন। এ যে পদক্ষেপ আমি , যদি ড্রিফট থেকে দূরে 0 চেয়ে কম হয় পি ⋅ আমি , মুদ্রা বাতিল। পক্ষপাতিত্ব .9 সহ কয়েনগুলি ধ্রুব সম্ভাবনার সাথে এই পরীক্ষাটি পাস করা উচিত, এবং ব্যর্থ কয়েনগুলি প্রত্যাশার হে (1) পদক্ষেপের পরে ব্যর্থ হওয়া উচিত, পি এর খুব কাছের বায়াসযুক্ত মুদ্রা ব্যতীত । প্রতিটি মুদ্রার জন্য .84 এবং .86 এর মধ্যে এলোমেলোভাবে পি বাছাই করা এটি ঠিক করতে পারে।$p$$0.85$$i$$0$$p \cdot i$$p$$p$$.84$$.86$

— ড্যানিয়েলো

হায় ঠিক হয়ে যাবে? আপনি ও ( এন 2 ) টসস সহ একটি সমাধান জানেন ? $O(n\log n)$$o(n^2)$

— রবিন কোঠারি

পর্যবেক্ষণ # 1: আপনি যদি জানতেন যে সমস্ত মুদ্রার মধ্যে কমপক্ষে 0.9 বা সর্বোচ্চ 0.8 টি পক্ষপাত রয়েছে, তবে O (n) টস ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা 1-এক্সপ্রেস (-n) সহ কমপক্ষে 0.9 বায়াস সহ একটি মুদ্রা পাওয়া সম্ভব হত : i = 1,2,3, ... এর জন্য একটি মুদ্রা নিন, 2 ^ i বার মুদ্রাটি টস করুন এবং মাথাগুলির ভগ্নাংশ কমপক্ষে 0.89 কিনা তা পরীক্ষা করুন। যদি তা না হয় তবে নতুন মুদ্রা দিয়ে পুনরায় চালু করুন। মূল লিমা: প্রথম পর্যায়ে পুনরায় চালু হলে, তারপরে 2 ^ {i + 1 than কয়েনেরও কম টেসস থাকত এবং প্রোবটি সর্বাধিক এক্সপ্রেস হয় (- \ ওমেগা (i))।

— ডানা মোশকভিত্জ

এটি সম্পূর্ণ সম্ভব যে ও (নলগন) ফ্লিপগুলি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত - তবে আমাদের কাছে এখনও এর পক্ষে প্রমাণ নেই।

— দানা মোশকভিত্জ

Answer 1

নিম্নলিখিতটি একটি বরং সরাসরি-ফরওয়ার্ড $O(n \log n)$ টস অ্যালগরিদম।

ধরে নিন $1-\exp(-n)$ হ'ল ত্রুটি হওয়ার সম্ভাবনা যা আমরা লক্ষ্য করছি। যাক $N$ কিছু শক্তি হতে $2$ বলে মধ্যবর্তী যে $100n$ এবং $200n$ (শুধু কিছু বড় যথেষ্ট ধ্রুবক বার $n$ )। আমরা মুদ্রার একটি প্রার্থী সেট বজায় রাখি, $C$ । প্রাথমিকভাবে, আমরা সি তে $N$ কয়েন রাখি ।$C$

এখন জন্য $i=1,\dots,\log N$ , কি করুন:
টস প্রতিটি মুদ্রা $C$ জন্য $D_i = 2^i 10^{10}$ বার (শুধু কিছু বড় যথেষ্ট ধ্রুবক)। বেশিরভাগ মাথা দিয়ে N / 2 আই কয়েন
রাখুন ।$N/2^i$

প্রমাণ চেরনফ সীমানা এক দম্পতির উপর ভিত্তি করে। মূল ধারণাটি হ'ল আমরা প্রতিবার প্রার্থীর অর্ধেক সংখ্যক এবং এভাবে প্রতিটি মুদ্রার দ্বিগুণ টস বহন করতে পারি।

Comments

(1) প্রমাণটি আরও বিস্তারিতভাবে লিখে ভাল লাগবে - এই সমস্যার বেশিরভাগ অসুবিধা হ'ল চেরনফের আবদ্ধ হওয়ার জন্য প্রান্তিক স্থানটি কোথায় রাখবেন (0.9 বায়াস কয়েনগুলি থেকে আপনি কতটি মাথা প্রত্যাশা করবেন?) । (২) আপনি কি দেখাতে পারেন যে নলোগন কয়েন টসসগুলি প্রয়োজনীয়?

— দানা মোশকভিত্জ

সূক্ষ্মতাটি হ'ল: আপনি এন কয়েন দিয়ে শুরু করুন, এবং এন-তে প্রব এক্সপ ছোট ছোট ব্যতীত কমপক্ষে 0.6n কয়েন বায়াস 0.9 রয়েছে। এখনই স্থির সমস্যা রয়েছে যে 0.9 পক্ষপাতের মুদ্রাগুলি প্রতিযোগিতাটি হারাবে: 0.8 এর চেয়ে কম পক্ষপাত সহ 1 কয়েন (সারাক্ষণ মাথায় পড়তে পারে!), 0.8 + 1 / লগেন সহ দুটি কয়েন, ..., এন / বায়াস 0.9 - 1 / লগ এন সহ 10 কয়েন। একইভাবে চালিয়ে যান, যেখানে আপনি নির্বাচিত মুদ্রার পক্ষপাতিত্ব প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সাথে অবনমিত হয়, যতক্ষণ না আপনি পক্ষপাতের মুদ্রাটি রেখে যান <0.8।

— ডানা মোশকভিত্জ

$O(n)$

রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ! আমি মুখ্যগুলির একটিতে প্রয়োজনের সর্বাধিক সংখ্যক প্রতি আগ্রহী এবং এই ক্ষেত্রে তারা একটি এন ^ 2 নিম্ন সীমা দেখায়। তবে, তারা যে সমস্যাটিকে বিবেচনা করে তা আমার থেকে আলাদা। তাদের এন কয়েন রয়েছে, সেখানে কেবলমাত্র একটি পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে এবং তারা একটি অনুরূপ পক্ষপাত সহ একটি মুদ্রা খুঁজতে চান। আমার সেটআপে আমি জানি যে গ্রহণযোগ্য পক্ষপাতিত্ব সহ কমপক্ষে 0.6n কয়েন রয়েছে (সম্ভবত এন এর মধ্যে ক্ষুদ্রতর সংক্ষিপ্তসার ছাড়াও)।

— ডানা মোশকভিত্জ

$O(n)$$m=\Theta(n)$$\Theta(\cdot)$$0.85m$$1-\exp(-n)$$2/3$$i$$(1/2)^i$$\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$