প্রতিটি পরিবর্তনশীল ইতিবাচক এবং নেতিবাচকভাবে দেখা গেলেও 1-ইন-3 স্যাট কী এনপি-হার্ড থেকে যায়?

Question

মান সমস্যা 1-ইন-3 স্যাট (অথবা XSAT বা X3SAT) হল:
ইন্সটান্স : ধারণকারী ঠিক 3 লিটারেল প্রত্যেক দফা সঙ্গে একটি CNF সূত্র
প্রশ্ন সেখানে পরিতৃপ্ত নিয়োগ অবিকল 1 দফা প্রতি আক্ষরিক সত্য সেটিং:

সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ এবং কোনও পরিবর্তনশীল অবহেলিত না হওয়া সত্ত্বেও শক্ত থেকে যায়। আমি ভাবছি যে এই সমস্যাটি সহজ হয়ে ওঠে বা শক্ত থেকে যায় যদি প্রতিটি পরিবর্তনশীল কমপক্ষে একবার ইতিবাচকভাবে এবং কমপক্ষে একবার নেতিবাচকভাবে ঘটে থাকে ।

3-এসএটি থেকে 1-ইন-3 স্যাট কঠোর হ'ল স্বাভাবিক হ্রাস একটি ক্লজ দফা , , যেখানে প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য তাজা থাকে। সুতরাং, এই হ্রাস আমার প্রশ্নের উত্তর দিতে সাহায্য করে না। এই বৈকল্পিকের কঠোরতা দেখানোর জন্য আমার একটি গ্যাজেটটি আসতে সমস্যা হয়েছে, কারণ যদি একটি ধারাতে ঠিক 1 টি আক্ষরিক সত্য হয়, তবে অ-প্রতিসাম্যহীনভাবে 2 টি আক্ষরিক মিথ্যা। যদি এটি সহজ হয়ে যায় তবে ক্লজ সেটের পার্টিশনের দিক থেকে চিন্তা করা এটি করতে পারে তবে আমি কীভাবে তা দেখতে পাচ্ছি না।$(x\lor y \lor z)$$(\lnot x \lor a \lor b)$$(y\lor b\lor c)$$(\lnot z \lor c \lor d)$$a,b,c,d$

Comments

এটি কি 2 বসানো যাবে?

— জোশুয়া হারমান

ইঙ্গিত: প্রতিটি var , ক্লজগুলি যুক্ত করুন এবং বলুন, । $X_i$$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$$(W \vee Y \vee \overline Z)$

— নিল ইয়ং

হা, এটি কাজ করে (অবশ্যই আরও যোগ করে )। আমি যদি প্রশ্নটি সর্বদা সামান্য অসন্তুষ্ট হওয়া কৌশল ছাড়াই সমাধান করতে পারি তবে আমি প্রশ্নটি খোলা রেখে দেব । $(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$$X_i\lor\overline X_i$

— ডোমিনিক পিটারস

আমি কি আপনাকে নীলের তরুণ ধারণার উপর ভিত্তি করে আপনার নিজের প্রশ্নের সম্পূর্ণ উত্তর লেখার জন্য উত্সাহিত করতে পারি? (ঘটনাচক্রে, আমি কেন এটি "সন্তোষজনক" তা নিশ্চিত নই। হ্রাস হ্রাস হ্রাস))

— DW

যদি সেই বিশেষ কেসটি হ'ল আপনি যা সত্যই যত্নবান হন, তবে সম্ভবত সেই অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা প্রতিফলিত করার জন্য আপনার প্রশ্নটি সম্পাদনা করা বুদ্ধিমান হতে পারে?

— ডিডাব্লু

Answer 1

একটি মন্তব্যে, ওপি হ্রাস সম্পর্কে আগ্রহ প্রকাশ করেছে যা প্রতি ধারাতে 3 স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের সাথে উদাহরণ তৈরি করে। এখানে একটি সহজ পদ্ধতি:

হ্রাসটি 1-ইন-3 এসএটি থেকে 3 টি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের সাথে প্রতি দফা:

• প্রথমত, ইনপুট সূত্রে সমস্ত ধারাটিকে আউটপুট সূত্রের ক্লজ হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করুন।
• দ্বিতীয়ত, তিনটি নতুন ভেরিয়েবলগুলি , , এবং এবং আউটপুট সূত্রে নিম্নলিখিত তিনটি ধারা যুক্ত করুন: , , এবং ।$F_1$$F_2$$F_3$$(\neg F_1, F_2, F_3)$$(F_1, \neg F_2, F_3)$$(F_1, F_2, \neg F_3)$
• শেষ অবধি, মূল সূত্রে প্রতিটি ভেরিয়েবল জন্য একটি নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করুন, এবং আউটপুট সূত্রে নিম্নলিখিত দুটি ধারা যুক্ত করুন: এবং ।$x$$x'$$(x, x', F_1)$$(\neg x, \neg x', F_1)$

আসুন যাচাই করুন যে এই হ্রাসটি আমরা যা চাই তা করে। নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি আমরা যা চাই তা হ'ল:

1. প্রতিটি অনুচ্ছেদে সর্বদা তিনটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল থাকে।
2. প্রতিটি পরিবর্তনশীল কিছু ধারাতে ইতিবাচকভাবে এবং কিছু ধারাতে নেতিবাচকভাবে ঘটে।
3. ইনপুট সূত্র আউটপুট সূত্রের সমতুল্য।

সম্পত্তি 1 পরীক্ষা করার জন্য তুচ্ছ। ভেরিয়েবল: সম্পত্তি 2 এছাড়াও সহজ করা উচিত নয় , , এবং প্রতিটি ক্লজ দ্বিতীয় বুলেট পয়েন্ট যোগ উভয় ইতিবাচকভাবে এবং নেতিবাচকভাবে ঘটতে যখন সূত্রে প্রত্যেক অন্যান্য পরিবর্তনশীল ক্লজ যোগ ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় ঘটে তৃতীয় বুলেট পয়েন্ট।$F_1$$F_2$$F_3$

সম্পত্তি 3 হিসাবে, এটি কম তুচ্ছ তবে এখনও সহজ। আপনি সহজেই যুক্তি দিতে পারেন যে ভেরিয়েবলগুলি , , এবং এর একমাত্র অ্যাসাইনমেন্ট যা দ্বিতীয় বুলেট পয়েন্ট থেকে প্রতিটি অনুচ্ছেদে সন্তুষ্ট হয় তা হল তিনটি এর মিথ্যা করা। তবে তৃতীয় বুলেট বিন্দুতে , ক্লজগুলি এবং জন্য মান ধরে যদি সন্তুষ্ট হয় এবং কেবল যদি । যেহেতু তে অন্য কোনও বাধা নেই , এর অর্থ হ'ল আউটপুট সূত্রের জন্য সন্তুষ্টিজনক কার্যভার হিসাবে ইনপুট সূত্রের জন্য একটি সন্তোষজনক নিয়োগ প্রসারিত করা সর্বদা সম্ভব: কেবল প্রতিটি সেট করুন$F_1$$F_2$$F_3$$F_i$$F_1$$(x, x', F_1)$$(\neg x, \neg x', F_1)$$x' = \neg x$$x'$$x'$ এর সাথে সম্পর্কিত হতে হবে এবং প্রতিটি মিথ্যাতে সেট করে ।$x$$F_i$