পূর্ণসংখ্যার মিলকভস্কির সমষ্টিতে সাক্ষী সন্ধান করা

Question

যাক এবং এর সাব-সেট নির্বাচন হতে । আমরা Minkowski সমষ্টি পেতে আগ্রহী হন ।$A$$B$$\{0,\ldots,n\}$$A+B=\{a+b~|~a\in A,b\in B\}$

$\chi_X:\{0,\ldots,2n\}\to \{0,1\}$ একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন যদি$X$

$$\chi_X(x) = \begin{cases} 1 \text{ if } x\in X\\ 0 \text{ otherwise}\end{cases}$$

যাক এর বিযুক্ত সংবর্তন হতে এবং , তারপর যদি এবং কেবল যদি । অত: পর এ নির্ণিত করা যেতে পারে বিযুক্ত সংবর্তন সময় FFT মাধ্যমে।$f$$\chi_A$$\chi_B$$x\in A+B$$f(x)> 0$$A+B$$O(n\log n)$

কখনও কখনও এটি প্রকৃত যুগল খুঁজে বের করতে গুরুত্বপূর্ণ এবং যে অঙ্কের । একটি বলা হয় সাক্ষী এর বিদ্যমান আছে যদি, যেমন যে । একটি ফাংশন , সাক্ষ্য ফাংশন বলা হয় যদি সাক্ষী হয় ।$a\in A$$b\in B$$x$$a\in A$$x$$b\in B$$a+b=x$$w:A+B\to A$$w(x)$$x$

সময়ে কোনও সাক্ষী ফাংশন গণনা করা সম্ভব ?$O(n\log n)$

Comments

$O( n polylog n )$ বিশেষত শক্ত নয়।

— সারিল হ্যার-পিল্ড

আপনি বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করতে পারেন। যেমন, পার্টিশন $A$ দুই মোটামুটিভাবে-সমান আকারের-সেটে $A_L,A_R$ , এবং Compute $A_L+B$ এবং $A_R+B$ ; এই $x$ মধ্যে কোনটি রয়েছে তা পরীক্ষা করুন ; এবং পুনরাবৃত্তি। এটি আপনাকে ও ( এন এলজি 2 এন ) এর মতো কিছু পাবে $O(n \lg^2 n)$।

— ডিডাব্লু

@ ডিডব্লিউ এটি কেবলমাত্র একটি একক এক্সের জন্য একজন সাক্ষী খুঁজে পেতে পারে $x$তবে আমরা এ + বি এর প্রতিটি উপাদানটির জন্য সাক্ষী চাই $A+B$। (আমার শব্দটি অস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে, তাই আমি কেবল প্রশ্নটি আপডেট করেছি)

— চ্যাও জু

তবে আপনি ও (এন পল্লগ এন) সমাধানে আগ্রহী?

— স্যারিল হার-পিল্ড

@ সারিলহর-পিল্ড হ্যাঁ, আমি ডিটারমিনিটিক $O(n polylog n)$ অ্যালগরিদমে আগ্রহী।

— চাও শো

Answer 1

এখানে আমি কীভাবে $O(n *\mathrm{polylog} n)$ এলোমেলোভাবে চলমান সময় পাবেন তা ব্যাখ্যা করছি । আমাদের পর্যবেক্ষণের ক্রম দরকার:

1. একজন সাক্ষী একটি মানের $v$ সংখ্যার একটি জুড়ি $(a,b) \in A \times B$ যেমন যে $a+b=v$ । আসুন $P_A(x) = \sum_{i \in A} x^i$ এবং $P_B(x)$ অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা। মান্য যে সহগ $x^v$ মধ্যে পি একটি ( এক্স ) * পি বি ( এক্স) মান হিসাবে v জন্য সেখানে সাক্ষী সংখ্যা।$P_A(x) * P_B(x)$$v$

2. ধরুন ভি এর একক সাক্ষী রয়েছে ( a , b ) ∈ A × B , এবং বহুপদী Q A ( x ) = ∑ i ∈ A i ∗ x i বিবেচনা করুন । স্পষ্টত, সহগ এক্স বনাম মধ্যে প্রশ্ন একজন ( এক্স ) * পি বি ( এক্স ) হয় একটি , এবং যেমন আমরা এখন যুগল জানি $v$$(a,b) \in A \times B$$Q_A(x) = \sum_{i \in A} i*x^i$$x^v$$Q_A(x)*P_B(x)$$a$$(a,v-a)$ এবং আমরা সম্পন্ন।

3. সুতরাং, আমরা একক সাক্ষী আছে যে মামলা দিয়ে সম্পন্ন। সুতরাং v এর কে সাক্ষী রয়েছে এমন কেসটি বিবেচনা করুন ( a 1 , b 1 ) , … , ( a কে , বি কে ) । যাক আমি ( ট ) $v$$k$$(a_1, b_1),\ldots, (a_k,b_k)$ ⌈ এলজি √ট ⌉। 2i(কে)পর্যবেক্ষণ করুন$i(k) = \lceil{\lg \sqrt{k}}\rceil$ - 1 ≤ Ob √k ≤2 i ( k ) । এর পরে, দিনআরঞ=(একটিঞ,বিঞ), জন্যঞ=1,...,মি, জন্যমি=হে(লগ ইন করুনএন)র্যান্ডম নমুনা যেমন যে প্রতিটি উপাদান হতেএকজনমধ্যে choosen হয় একটিআমিসম্ভাব্যতা সঙ্গেপি=1/2 আমি ( ট ) । সম্ভাবনা যে$2^{i(k)-1} \leq \sqrt{k} \leq 2^{i(k)}$$R_j = (A_j, B_j)$$j=1,\ldots, m$$m=O(\log n)$$A$$A_i$$p = 1/2^{i(k)}$$v$আর জেতে একক সাক্ষী রয়েছে α = ($R_j$1 ) পি2(1-পি2)কে-1, যেহেতু সাক্ষী সংখ্যার সংখ্যাকে আলাদা করে দেয় (যেহেতু প্রতিটি জোড়ার যোগফলv)। এটা যে যাচাই করা সহজαএকটি ধ্রুবক(0,1)এর মান স্বাধীনট। যেমন, এটি অবশ্যই উচ্চ সম্ভাবনার সাথে, সেইভিটিরনমুনাআর1,…,আরমিএর মধ্যে একটিতে একক সাক্ষী রয়েছে। যেমন, উপরে বর্ণিত হিসাবে যেমন নমুনার সাথে যুক্ত দুটি বহুপদী গণনা করে$\alpha = \binom{k}{1}p^2 (1-p^2)^{k-1}$$v$$\alpha$$(0,1)$$k$$v$$R_1, \ldots, R_{m}$ হে ( ঢ লগ ইন করুন এন ) সময় (প্রতি নমুনা), এফএফটি ব্যবহার করে আমরা স্থির সময়ে এটি সিদ্ধান্ত নিতে পারি।$O(n \log n)$

4. আমরা প্রায় সম্পন্ন। রেজোলিউশনগুলির জন্য র্যান্ডম নমুনার উপরে গণনা আমি = 1 , ... , ⌈ এলজি এন ⌉ । এই জাতীয় প্রতিটি রেজোলিউশনের জন্য এলোমেলো নমুনা এবং সম্পর্কিত বহুভুজ গণনা করুন। এছাড়াও, এ এবং বি এর জন্য সম্পর্কিত বহুভুজ গণনা করুন । এই প্রিপ্রোসেসিং অকারণে ও ( এন লগ 3 এন ) নেয় , তবে আমার সন্দেহ হয় যে লগ এন ফ্যাক্টরটি খানিকটা বেশি যত্নবান হওয়া উচিত অপসারণযোগ্য।$i=1,\ldots, \lceil\lg n\rceil$$A$$B$$O(n \log^3 n)$$\log n$

5. অ্যালগরিদম: প্রতিটি মান v এর জন্য , কতজন সাক্ষী গণনা করুন, কে বলুন, এটি ধ্রুবক সময়ে রয়েছে, বহুপদী Q A ( x ) ∗ P B ( x ) এর সাথে পরামর্শ করে । এরপরে, i এর জন্য সম্পর্কিত ডেটা স্ট্রাকচারে যান $v$$Q_A(x)*P_B(x)$ কে ) এর। তারপরে, এটি একক সাক্ষী হিসাবে এলোমেলো নমুনা সন্ধান করে এবং এটি স্থির সময়ে এই সাক্ষীটির জোড়াটি বের করে।$i(k)$

6. আশ্চর্যের ব্যাপার যে, preprocessing সময় হে ( ঢ লগ ইন করুন 3 এন ) , কিন্তু প্রত্যাশিত সময় সাক্ষী নিজেদের শুধুমাত্র নিতে এটি হে ( ঢ ) যেহেতু এক তাড়াতাড়ি অনুসন্ধান বন্ধ করতে পারবেন যেমন এক একজন সাক্ষী খুঁজে সময়। এটি পরামর্শ দেয় যে এই অ্যালগরিদমটি উন্নতিযোগ্য হওয়া উচিত। বিশেষত, আই ( কে ) ≪ এলজি এন এর জন্য উত্পন্ন বহুভুজগুলি খুব বিরল, এবং একজনকে আরও দ্রুত এফএফটি করতে সক্ষম হওয়া উচিত।$O(n \log^3 n)$$O(n)$$i(k) \ll \lg n$

Answer 2

ঠিক আছে, আমি যেহেতু সত্যই সরিলের একটি উত্তরের জন্য ক্রেডিট পাওয়া উচিত ছিল তা বন্ধ করে দিচ্ছি, তবে আমি অপেক্ষা করতে করতে ক্লান্ত হয়ে পড়েছি, তাই এখানে আমার কাছাকাছি-লিনিয়ার এলোমেলোম অ্যালগরিদম কাটা হয়েছে।

• N ( 1 - ϵ ) i পয়েন্টগুলির নমুনা বেছে নিয়ে, i = 0 , 1 , … , আপনি লোগারিথমিক সংখ্যক সাব-প্রবলেম পেতে পারেন যে মূল সমস্যা থেকে প্রতিটি যোগফলের একটির মধ্যে স্বতন্ত্রভাবে উপস্থাপিত হওয়ার ধ্রুব সম্ভাবনা থাকে ( নমুনাটি প্রত্যাশিত সংখ্যার উপস্থাপনাকে প্রায় 1 টি কেটে দেয়।$n(1-\epsilon)^i$$i=0,1,\dots$
• নমুনা প্রক্রিয়াটি বহুবার সংখ্যার পুনরাবৃত্তি করে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে অনন্য উপস্থাপনা পেতে আপনি সমস্ত পরিমাণগুলি পেতে পারেন।
• আপনার একটি পার্টিশন থাকে তাহলে একজন এবং বি দুই সাব-সেট নির্বাচন মধ্যে, তারপর চার দ্বারা সংখ্যার গুন, এ সাব-সেট নির্বাচন এক নম্বরে 2 যোগ করে একটি , এবং সাব-সেট নির্বাচন এক নম্বরে 1 যোগ বি , আপনি পারবেন প্রাপ্ত সংখ্যার মোড -৪ টি মূল্যবোধ থেকে পড়ুন যে দুটি যোগফল তাদের সমষ্টি থেকে আসে।$A$$B$$A$$B$
• পার্টিশন প্রক্রিয়াটি বহুবার লগারিদমিক সংখ্যার পুনরাবৃত্তি করে, প্রতিটি পদক্ষেপে পার্টিশন নির্বাচন করতে সাব-প্রবলেমের মান বা সূচকগুলির বাইনারি উপস্থাপনাগুলির প্রতিটি বিট অবস্থান ব্যবহার করে, আপনি স্বতন্ত্র-প্রতিনিধিত্বমূলক সংখ্যার যোগফলগুলি স্বতন্ত্ররূপে সনাক্ত করতে পারেন।

এটি চলমান সময়টিকে তিনটি লোগারিদমিক কারণ দ্বারা উড়িয়ে দেয়; সম্ভবত যে হ্রাস করা যেতে পারে।

Comments

হা হা;)। আমি এটি লেখার মাঝখানে ছিলাম, এবং তারপরে লাঞ্চে গেলাম ...

— সারিল হ্যার-পিল্ড

Answer 3

এই উত্তরটি একটি নির্ধারণকারী O ( n p o l y l o g n )  অ্যালগরিদম দেয়।$O(n~\mathrm{polylog} n)$

এটি প্রদর্শিত হয় যে স্যারিল এবং ডেভিডের অ্যালগরিদম এই কাগজের অনুরূপ পদ্ধতির মাধ্যমে ড্যারানডমাইজ করা যেতে পারে । [2] প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যাওয়ার সময় আমি দেখতে পেলাম যে আরও সাধারণ সমস্যা রয়েছে যা এই ফলাফলকে বোঝায়।

ট -reconstruction সমস্যা$k$

এখানে লুকানো সেট এস 1 , … , এস এন ⊂ { 1 , … , মি } রয়েছে , আমাদের কাছে দুটি দুটি ওরাকল এস আই জেড ই এবং এস ইউ এম রয়েছে যা একটি ক্যোয়ারী সেট Q নিয়ে আসে ।$S_1,\ldots,S_n \subset \{1,\ldots,m\}$$Size$$Sum$$Q$

1. $Size(Q)$ returns $(|S_1\cap Q|,|S_2\cap Q|,\ldots,|S_n\cap Q|)$, the size of each intersection.
2. $Sum(Q)$ returns $(\sum_{s\in S_1\cap Q} s,\sum_{s\in S_2\cap Q} s,\ldots,\sum_{s\in S_n\cap Q} s)$, the sum of elements in each intersection.

The $k$-reconstruction problem asks one to find $n$ subsets $S_1',\ldots,S_n'$ such that $S_i'\subset S_i$ and $|S_i'|=\min(k,|S_i|)$ for all $i$.

Let $f$ be the running time of calling the oracles, and assume $f=\Omega(m+n)$, then one can find the sets in deterministic $O(f k \log n~\mathrm{polylog}(m))$ time. [1]

Now we can reduce the finding witness problem to $1$-reconstruction problem. Here $S_1,\ldots,S_{2n}\subset \{1,\ldots,2n\}$ where $S_i = \{a|a+b = i, a\in A, b\in B\}$.

Define the polynomials $\chi_Q(x) = \sum_{i \in Q} x^i$, $I_Q(x) = \sum_{i \in Q} i x^i$

The coefficient for $x^i$ in $\chi_Q\chi_B(x)$ is $|S_i\cap Q|$ and in $I_Q\chi_B(x)$ is $\sum_{s\in S_i\cap Q} s$. Hence the oracles take $O(n\log n)$ time per call.

This gives us an $O(n~\mathrm{polylog}(n))$ time deterministic algorithm.

[1] Yonatan Aumann, Moshe Lewenstein, Noa Lewenstein, Dekel Tsur: Finding witnesses by peeling. ACM Transactions on Algorithms 7(2): 24 (2011)

[2] Noga Alon, Moni Naor: Derandomization, witnesses for Boolean matrix multiplication and construction of perfect hash functions. Algorithmica 16(4-5) (1996)