তির্যকগুলির অনন্ত গ্রাফের কি অসীম উপাদান রয়েছে?

Question

ধরা যাক আমরা এর বিন্দুগুলিকে সংজ্ঞায়িত প্রান্ত E এর সেট ব্যবহার করে সংযুক্ত করি যেমন ( i , j ) ( i + 1 , j + 1 ) এর সাথে সংযুক্ত থাকে , বা ( i + 1 , j ) এর সাথে সংযুক্ত থাকে ( i , j + 1 ) , স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে সবার জন্য এলোমেলোভাবে আমি , জে ।$V = \mathbb{Z}^2$$E$$(i, j)$$(i + 1, j + 1)$$(i + 1, j)$$(i, j + 1)$$i, j$

( এই বইয়ের শিরোনাম এবং প্রচ্ছদ দ্বারা অনুপ্রাণিত ।)

এই গ্রাফের অসীম বৃহত সংযুক্ত উপাদান রয়েছে এমন সম্ভাবনা কী? একইভাবে, , গ্রাফের প্ল্যানার এম্বেডিংয়ের পরিপূরক হিসাবে বিবেচনা করুন। পরিপূরকটির একটি অসীম সংযুক্ত উপাদান রয়েছে এমন সম্ভাবনা কী?$\mathbb{R}^2 \setminus G$

স্পষ্টতই, সমস্ত ত্রিভুজ যদি একইভাবে নির্দেশ করে তবে গ্রাফ এবং এর পরিপূরক উভয়েরই একটি অসীম উপাদান রয়েছে। উপরের ধরণের অভিন্ন র্যান্ডম গ্রাফ সম্পর্কে কীভাবে?

Comments

আফিক্স, যে কোনও প্ল্যানার গ্রাফের দ্বৈত গ্রাফ সংযুক্ত আছে, তাই আপনার দ্বিতীয় প্রশ্নটি কি ডুয়াল গ্রাফটি অসীম কিনা? বা আপনি দ্বৈত গ্রাফের ভিন্ন ধারণা সম্পর্কে কথা বলছেন?

— এমিল জেবেক

চূড়ান্ততার জন্য: যদিও এই প্রশ্নটি অনুপ্রেরণামূলক চিত্র থেকে চক্র উল্লেখযোগ্যভাবে অনুপস্থিত, প্রত্যাশিত সংখ্যা অসীম (প্রতিটি , বর্গাকার প্রান্তগুলি ( 2 আই , 2 জে ) , ( 2 আই , 2 জে + 1 ) , ( 2 আমি + + 1 , 2 ঞ ) , ( 2 আমি + + 1 $i,j$ সম্ভাব্যতা সঙ্গে একটি চক্র গঠন 1 $(2i,2j),(2i,2j+1),(2i+1,2j),(2i+1,2j+1)$ , স্বতন্ত্রভাবে)। $1/16$

— ক্লাউস ড্রায়ার

@ এমিলজেবেক দুঃখিত, আমি শাস্ত্রীয় অর্থে দ্বৈত বলতে চাই না - আমি এটি ব্যাখ্যা করার জন্য সম্পাদনা করেছি যে আমি প্ল্যানার এম্বেডিংয়ের পরিপূরক বলতে চাই।

— ম্যাথিয়াস রাভ

Answer 1

সম্ভাবনা 0

এটি নিম্নলিখিত উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়েছে (গ্রাফেটে গ্রিমেটের সম্ভাব্যতার উপপাদ্য 5.33 দেখুন, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

উপপাদ্যটি বন্ড পারকোলেশন বিবেচনা করুন , যেখানে জাল পয়েন্টগুলির মধ্যে প্রতিটি প্রান্ত সম্ভাব্যতা 1 দিয়ে খোলা রয়েছে$\mathbb Z^2$ । অসীম সংযুক্ত উপাদানটিতে উত্সটির সম্ভাবনা 0 টি।$\frac12$

আমরা আমাদের সমস্যা থেকে এই সমস্যাকে হ্রাস করতে পারি: মূলত এটি বন্ড পারকোলেশনের কেবল 2 বিযুক্ত (তবে নির্ভরশীল) অনুলিপিগুলি । কনফিগারেশন ডি 1 বিবেচনা করুন যেখানে প্রান্তগুলি সহ হীরাগুলির একটি অসীম জালিকা তৈরি করে। যদি আমরা সমস্ত প্রান্তগুলি ফ্লিপ করি তবে আমরা হীরা ডি 2 এর আরও একটি অসীম জালিকা পাই । ডি 1 এবং ডি 2 এর সাথে প্রকৃত কনফিগারেশনের ছেদটি বিবেচনা করুন । এর প্রতিটি হ'ল জেড 2 এ বন্ড পারকোলেশনের মডেল , কেবল 45 ∘ ঘোরানো ডি- তে একটি প্রান্তের সাথে সংযুক্ত করা যেতে পারে$\mathbb Z^2$$D_1$$D_2$$D_1$$D_2$$\mathbb Z^2$$45^{\circ}$ । যে কোনও পয়েন্ট অসীম ক্লাস্টারে রয়েছে তার সম্ভাবনা তাই 0 ( ডি 1 তে কোন প্রান্ত নয়)$D_1$))।$D_2$

উপসংহারে, লক্ষ্য করুন যে সম্ভাবনা 0 সহ একটি গণনামূলক সংখ্যার ইভেন্টের যোগফলের সম্ভাব্যতা 0 রয়েছে; সম্ভাব্যতার উপরে যোগফল যে কোনও জাল পয়েন্ট একটি অসীম ক্লাস্টারে রয়েছে।

(নির্বিচারে বৃহত উপাদানগুলির অস্তিত্ব একটি লাল রঙের হারিং One একটিকে একটি বিন্দু ঠিক করা উচিত এবং জিজ্ঞাসা করা উচিত এটি কোনও আনবাউন্ড উপাদানগুলিতে নেই কিনা))

Comments

আমরা যদি মূল সমস্যাটি দূর করুন ও জিজ্ঞাসা যদি এটি একটি অসীম উপাদান আছে, তারপর আমরা সব প্রান্ত উপেক্ষা করতে পারেন এবং আমরা উপর বন্ড অনুপ্রবেশ একটি একক নিদর্শনের সঙ্গে থাকা জেড 2 মধ্যে ধার সম্বলিত ডি 1 । একটি দরকারী চিত্রণ হ'ল বল্লোবস এবং রিওর্ডান 2008, চিত্র 2 , 45 ডিগ্রি ঘোরানো। $D_2$$\mathbb{Z}^2$$D_1$

— ম্যাথিয়াস রাভ

Answer 2

হুম, ভাল, এখানে প্রথম চেষ্টা attempt আসুন দুটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় পর্যবেক্ষণ করি:

1. এই গ্রাফটির যদি কোনিগের বড় সংযুক্ত উপাদান থাকে তবে কনিগের ইনফিনিটি লেমমা দ্বারা এটির একটি অসীম সরল পথ রয়েছে।
2. গ্রাফের একটি সীমাহীন সরল পথ রয়েছে এমন ঘটনাটি প্রতিটি প্রান্তিক অভিযোজনের পৃথক পছন্দের থেকে আলাদা (এবং এইভাবে, প্রতিটি প্রান্তের পছন্দগুলির সীমাবদ্ধ সেট)। সুতরাং এটি একটি লেজ ইভেন্ট এবং কোলমোগোরভের শূন্য-এক আইন অনুসারে সম্ভাবনাটি শূন্য বা একটি।

সুতরাং, এটি শূন্য বা এক? এটি তাত্ক্ষণিকভাবে পরিষ্কার নয়, যদিও আমরা অনুমান করতে পারি, যেহেতু "টাইপরাইটার সহ অসীম বানর" উপপাদ্য দ্বারা, এই গ্রাফটিতে সম্ভাব্যতা সহ একাধিকতর দীর্ঘ দৈর্ঘ্যের সাধারণ পথ রয়েছে। অবশ্যই, দৃ rig়তার সাথে প্রমাণ করার জন্য আরও বেশি প্রয়োজন যে এর সম্ভাব্যতা সহ আসলেই এর অসীম পথ রয়েছে।

Comments

এটি 0 টি পর্যবেক্ষণ করাও একটি ভাল ধারণা the যে গ্রাফটির একটি অনন্ত সংযুক্ত উপাদান রয়েছে সেই ইভেন্টটি বোরেল, সুতরাং পরিমাপযোগ্য, তাই প্রশ্নটি প্রথম স্থানে বোঝায়। (অসীম সহজ পাথের সাথে পুনরুদ্ধার করার পরে এটি স্পষ্ট নয়))

— এমিল জ্যাবেক

Answer 3

উত্তরটি হ্যাঁ এমন কিছু দুর্বল অভিজ্ঞতামূলক প্রমাণ। প্রতিটি এনক্রোনাল এলোমেলোভাবে বাছাই করে সংজ্ঞায়িত করা 2 এন + 1 × 2 এন + 1 ল্যাটিক্সে এলোমেলো গ্রাফ হতে দিন । বনাম এন ( পুনরুদ্ধার সম্ভাবনা অনুমানের একটি প্লট এখানে সমান্তরালের কারণে সর্বদা অ্যাক্সেসযোগ্য এমন শীর্ষগুলি উপেক্ষা করে)।$G_n$$2n+1 \times 2n+1$$n$

যদি আমরা স্কোয়ারটি পুনরুদ্ধার করি , তবে সম্ভাবনাটি স্কেল ব্যতীত একটি মসৃণ ফাংশনে রূপান্তরিত হয় বলে মনে হয়, এর অর্থ আরও বেশি হবে: অনন্তের পৌঁছানোর সম্ভাবনাটি ইতিবাচক।$[0,1]^2$

যাইহোক, এটিও সম্ভব যে নীচের দিকে প্রবণতাটি দেখার জন্য আমি যথেষ্ট পরিমাণে গণনা করতে পারি নি ( প্লটটি অন্যদের তুলনায় কিছুটা ছোট মনে হয়)।$n = 800$

এখানে কোড: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

Answer 4

হালনাগাদ: মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, লেমমা সর্বোপরি অসীম পথকে বোঝায় না, সুতরাং সামগ্রিকভাবে এই উত্তরটি ভুল। এটি অন্য সম্ভাব্য উপায়ে ব্যবহার করা যায় কিনা তা নিশ্চিত Not

উত্তর হ্যাঁ: অসীম পথ বিদ্যমান। প্রকৃতপক্ষে, এই জাতীয় প্রতিটি গ্রাফের জন্য একটি অনন্ত পথ রয়েছে ; সম্ভাবনা প্রয়োজন হয় না।

$G$$n \times n$$n \ge 2$

প্রুফ স্কেচ: এটি হেক্সের মূলত একটি ভিন্ন গ্রাফের নির্ধারণের উপপাদ্য। সমান এবং বিজোড় সমতা$G$ এর স্থানীয়ভাবে দ্বৈত হয়, সুতরাং এক প্যারিটিতে একটি বাধা অন্যটির সাথে সংযোগ। যাইহোক, আমি বিবরণগুলি বাদ দেব কারণ তারা ছবি এবং / অথবা কেস বিশ্লেষণ ছাড়াই লিখতে শক্ত।

যদি লেমাটি সত্য হয় তবে অসীম সংস্করণ কনিগ থেকে জো-র উল্লেখ অনুসারে ঘটেছে। ( আপডেট: ভুল, মন্তব্য দেখুন)

Comments

$(-n, 0)$ to $(0, n)$, $(0, n)$ to $(n, 0)$, $(n, 0)$ to $(0, -n)$ and $(0, -n)$ to $(-n, 0)$ by straight lines for all $n > 0$। এই গ্রাফটিতে নির্বিচারে বড় দৈর্ঘ্যের উপাদান রয়েছে তবে এর কোনও অসীম উপাদান নেই, যেহেতু কোনও বিন্দু তার এল 1 আদর্শের সাথে আনুপাতিক আকারের সীমাবদ্ধ অংশে রয়েছে। আপনার প্রুফ স্কেচ কীভাবে এই গ্রাফটি পরিচালনা করে?

— ম্যাথিয়াস রাভ

খুব সত্য, কোয়েনিগ সর্বোপরি প্রযোজ্য নয়।

— জেফ্রি ইরভিং

বিশেষত, আমি বিশ্বাস করি লেমা এখনও ধারণ করে, তবে অবশ্যই পছন্দসই ফলাফল বোঝায় না।

— জেফ্রি ইরভিং