উত্স এবং ডুবে শ্রদ্ধার সাথে সর্বনিম্ন সমতুল্য ডিগ্রাফ

একটি ডিএজি (নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ) , উত্সগুলি এবং ডুবে । সোর্স এবং ডুবে সহ ন্যূনতম সংখ্যার প্রান্তের মতো একটি ডিএজি খুঁজুন : $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

সব বিদ্যমান জোড়া জন্য সেখান থেকে একটি পথ থেকে মধ্যে যদি এবং কেবল যদি সেখান থেকে একটি পথ থেকে মধ্যে । $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

এর একটি অ্যাপ্লিকেশন হ'ল একটি ডিএজি দ্বারা একটি সেট পরিবারের প্রতিনিধিত্ব করছে। যেমন একটি উপস্থাপনের জন্য প্রতিটি উত্স মহাবিশ্বের একটি পরিবর্তনশীল এবং প্রতিটি ডোবা সেট পরিবারে একটি সেট থাকে, এবং একটি উপাদান আপনি একটি সেট এস এর মধ্যে থাকেন এবং কেবল যদি সেখানে শীর্ষবিন্দু থেকে আপনাকে প্রতিনিধিত্বকারী শীর্ষবিন্দুতে প্রতিনিধিত্ব করে সেট এস।

এই সমস্যাটি কি সুপরিচিত? এই সমস্যার জন্য কি বহুপদী অ্যালগরিদম আছে?

graph-theory graph-algorithms

— মার্টিন ভ্যাশেল
সূত্র

আমার ধারণা সমাধানটি অবশ্যই মূল গ্রাফের একটি অনুচ্ছেদ হতে পারে, তাই না? যদি হ্যাঁ, আমি মনে করি যে এই সমস্যাটি সেট কভারটিকে ক্যাপচার করে, আদর্শ স্ট্রিনার গাছ দেখানো স্ট্যান্ডার্ড হ্রাসের মাধ্যমে: প্রতিটি উপাদানটির জন্য একটি শীর্ষবিন্দু তৈরি করুন, প্রতিটি সেটের জন্য একটি শীর্ষবিন্দু এবং সেট এস থাকলে নির্দেশিত প্রান্ত (এস, ইউ) তৈরি করুন S উপাদান রয়েছে। তারপরে এটি থেকে সমস্ত সেট কোণে একটি নতুন ভার্টেক্স এবং প্রান্ত যুক্ত করুন। এই নতুন শীর্ষটি থেকে সমস্ত ডুবে যাওয়ার জন্য একটি পথ রয়েছে (উপাদানটি শীর্ষে)। এগুলির সমস্ত সংরক্ষণ করার জন্য আমাদের নূন্যতম সংখ্যা নির্ধারণ করতে হবে যা সমস্ত উপাদানকে কভার করে।

— মাইকেল ল্যাম্পিস

না, সাধারণভাবে আমি বলব এটি মূল গ্রাফের একটি সাবগ্রাফ হওয়া উচিত নয়। উত্সগুলি উপাদান এবং আপনার যদি কিছু সেটে উপাদান থাকে তবে কেবলমাত্র উপাদানটির প্রয়োজন। সিঙ্কস সেট হয় এবং আপনি যে সেটগুলি উপস্থাপন করবেন সেগুলি আপনি মুছে ফেলতে পারবেন না তাই যদি কোনও কাজ নিখুঁত গ্রাফ থেকে শুরু হয় যেখানে সমস্ত নোডগুলি ডুবন্ত বা উত্সগুলি কোণে যুক্ত হয় এবং প্রান্তগুলি সরানো / মুছে ফেলা হয়।

— মার্টিন ভ্যাটশেল

সমস্যাটি এখনও সংজ্ঞায়িত বলে মনে হচ্ছে না। এর ভার্টেক্স সেটটিতে কী কী বিধিনিষেধ রয়েছে ? প্রয়োজন কি প্রান্তবিন্দু সেট এর প্রান্তবিন্দু সেট হিসাবে একই ? যে এর উত্স এবং ডুবন্ত এর উত্স এবং ডুব হিসাবে একই ? সেখানে একটি ফাংশন যে একটি প্রান্তবিন্দু ম্যাপিং একটি প্রান্তবিন্দু করার , এবং শর্ত আসলে সেখান থেকে একটি পাথ যে হয় থেকে মধ্যে সেখান থেকে একটি পাথ iff থেকে এ

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$ ? প্রত্যেকেই কিছুটা ভিন্ন সমস্যা দেখা দিতে পারে। প্রশ্নটি এডিট করতে হবে?

— DW

আমি প্রশ্নটি পরিষ্কার করে দিয়েছি, প্রকৃতপক্ষে আমি বলতে চাইছি উত্স এবং ডুবগুলি একই। আমি মনে করি ম্যাপিংটি একেবারে খুব কাছাকাছি, একই নোডে দুটি সিঙ্কের ম্যাপ করার একমাত্র উপায় হ'ল যদি তারা একই উত্সের সেট থেকে পৌঁছনীয় হয়, অর্থাৎ একই সেটটি উপস্থাপন করে। দুটি উত্স একই নোডে ম্যাপ করার একমাত্র উপায় হ'ল যদি তারা ঠিক একই ডুবে যায়। সুতরাং আমি মনে করি ডি এর কিছু সহজ প্রিপ্রোসেসিংয়ের পরে সমস্যাগুলি সমতুল্য হবে।

— মার্টিন ভ্যাটশেল

ডাগ ডি আসলে সমস্যার সাথে অপ্রাসঙ্গিক, তাই না? আপনি ইনপুট হিসাবে এস এবং টি এর মধ্যে একটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ নিতে পারেন।

— এমিল জ্যাবেক

আসুন ধরে নেওয়া যাক কেবলমাত্র উত্স এবং ডুব রয়েছে, যেহেতু ইনপুটটি সহজেই এর সমতুল্য ইনপুটটিতে অনুবাদ করা যায়। $D$

এর পরে, দয়া করে মনে রাখবেন, কোনো সমাধান জন্য , প্রতিটি প্রান্তবিন্দু অন্তর্নিহিত undirected গ্রাফ একটি biclique সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এর (সব সূত্র মধ্যে biclique যে নাগালের মধ্যে এবং সকল কুন্ড থেকে পৌঁছেছেন হয় মধ্যে )। $D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

আমি অনুমান করি যে, যদি সর্বোত্তম হয় তবে এটিতে একটি ভার্টেক্স-কাট রয়েছে যা 1: 1 সর্বোত্তম দ্বিখণ্ডিত আবরণের সাথে মিলে যায় । তারপরে, কোনও ন্যূনতম ভার্টেক্স-কাটটি তে একটি সর্বোত্তম বাইিক্লিকের আচ্ছাদনগুলির সাথে মিলে যায় । তবে, যেহেতু বিকিক্যুয় কভার (ওরফে বাইপারটি ডাইমেন্সিয়ান) এনপি-সম্পূর্ণ, আপনার অনুমানটি ব্যর্থ না হলে আপনার সমস্যাটি বহু-কালীন অ্যালগরিদমকে স্বীকার করার সম্ভাবনা নেই। $D'$ $G$ $D'$ $G$

মনে রাখবেন, এমনকি আমার অনুমানটি ধরে রাখলেও, প্রযুক্তিগতভাবে এই যুক্তি আপনার সমস্যার এনপি-কঠোরতা প্রমাণ করে না, যেহেতু হ্রাস কোনও কার্প নয় - তবে কুক হ্রাস নয়।

— Igel
সূত্র