জ্ঞানের প্রমাণের জন্য জটিলতা ক্লাস

Question

গ্রেগ কুপারবার্গ আমাকে জিজ্ঞাসা করা এক প্রশ্নের জবাবে আমাকে জিজ্ঞাসা করলেন, আমি ভাবছি যে এমন কোনও কাগজপত্র রয়েছে যা বিভিন্ন ধরণের জ্ঞানের প্রমাণকে স্বীকার করে ভাষার জটিলতার ক্লাস সংজ্ঞায়িত করে এবং অধ্যয়ন করে । SZK এবং NISZK এর মতো শ্রেণিগুলি জটিলতার দৃষ্টিকোণ থেকে অত্যন্ত স্বাভাবিক, এমনকি যদি আমরা শূন্য জ্ঞান সম্পর্কে পুরোপুরি ভুলে গিয়েছি এবং তাদের সম্পূর্ণ প্রতিশ্রুতি সমস্যার ক্ষেত্রে কেবল তাদের সংজ্ঞা দিয়েছি। বিপরীতে, গুগলিংয়ের 'জ্ঞানের প্রমাণগুলিতে' জটিলতার ক্লাসের ক্ষেত্রে এই সুন্দর ধারণাটি নিয়ে কোনও প্রবন্ধ বা বক্তৃতার নোট খুঁজে না পেয়ে আমি অবাক হয়েছি।

কিছু উদাহরণ দেওয়ার জন্য: এক্সজেড বা এক্সএলএল এর জন্য পরিসংখ্যানগত শূন্য-জ্ঞানের প্রমাণ স্বীকৃত সমস্ত ভাষা এল এর সমন্বয়ে থাকা এসজেডেক্যামেকোএমএর সাবক্লাস সম্পর্কে কেউ কী বলতে পারে, এটিও একজন সাক্ষীর প্রমাণ প্রমাণকারী x এর জ্ঞানের প্রমাণ OrL বা x∉L? অবশ্যই এই শ্রেণিতে বিযুক্ত লগের মতো জিনিস রয়েছে তবে আমরা প্রমাণ করতে পারিনি যে এটিতে জিআই-কে কোমায় না রেখে গ্রাফ আইসোমর্ফিজম রয়েছে। ক্লাসটি কি সবগুলি এসজেডেকমেকোএমএকে ঘিরে রেখেছে? একজন আরও জিজ্ঞাসা করতে পারেন: যদি একমুখী ফাংশন বিদ্যমান থাকে, তবে প্রতিটি ভাষা L∈MA∩coMA একটি গণনামূলক শূন্য-জ্ঞান প্রমাণ স্বীকার করে, এটিও একজন সাক্ষীর x∈L বা x∉L প্রমাণের জ্ঞানের প্রমাণ? (এই দু'জনের একটি বা উভয়েরই যদি তুচ্ছ উত্তর থাকে তবে আমার ক্ষমা প্রার্থনা করছি --- আমি কেবল যেভাবে জিনিসটি করতে পারি তা চিত্রিত করার চেষ্টা করছি জিজ্ঞাসা করুন, একবার জটিলতা-তাত্ত্বিক দিক থেকে কেউ পিওকে দেখার সিদ্ধান্ত নিয়েছে))

Comments

মজার প্রশ্ন! এই প্রশ্নগুলি অনেক বেশি নয় বনাম ডি পি এর প্রশ্নের মতো ? বস্তুত, সম্পর্কে আপনার প্রশ্নের এম একজন ∩ গ ণ এম একটি প্রায় ঠিক হবে বলে মনে হয় (অথবা, ক) এর এলোমেলোভাবে সংস্করণ এন পি ∩ গ ণ এন পি বনাম ডি পি । $NP \cap coNP$$DP$$MA \cap coMA$$NP \cap coNP$$DP$

— জোশুয়া গ্রাচো

গল্পে কোথায় প্রবেশ করে? কেউ কি দেখিয়েছেন যে এটি জ্ঞানের প্রমাণ বা অন্য কিছুকে চিহ্নিত করে? $DP$

— স্কট অ্যারনসন

এটিকে আরও সাদৃশ্য দিয়েই মনে হয়। উভয় ক্ষেত্রে ( vs D P এবং M A ∩ c o M A বনাম আপনি যে শ্রেণীর প্রস্তাব দেন), আপনার দুটি শংসাপত্রের শর্ত দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং আপনি দুটি জটিলতার ছেদকে তুলনা করছেন ভাষার সেটগুলিতে ক্লাস যা একক যাচাইকারী উভয় শর্ত একই সাথে সন্তুষ্ট করে। (যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি))$NP \cap coNP$$DP$$MA \cap coMA$

— জোশুয়া গ্রোচো

Answer 1

এটি প্রকৃত উত্তর নয়; আমি কেবল কিছু ফলাফল ভাগ করছি (যা একটি মন্তব্যে মানায় না)।

1. গোল্ডরিচ, মিকালি এবং উইগডারসন ( জে। এসিএম, 1991 ) প্রমাণ করেছেন যে এনপি-র প্রতিটি ভাষারই ভাষা সদস্যতার শূন্য-জ্ঞান প্রমাণ রয়েছে (ধরে নিই ওডাব্লুএফ উপস্থিত রয়েছে)। এই লক্ষ্যে, তারা গ্রাফ 3-বর্ণের জন্য একটি ZK প্রমাণ উপস্থাপন করেছে। পরে, বেলারে এবং গোল্ডরিচ ( CRYPTO '92 ) প্রমাণ করেছে যে এই জেডকে প্রমাণটিও জ্ঞানের জেডকে প্রমাণ ( পিওকে )। লেভিন হ্রাস (পূর্বের কাগজের 12 টি পাদটীকা দেখুন) ব্যবহার করে, এনপি-র প্রতিটি ভাষার একটি জেডকে পোক থাকে (ধরে নিই যে ওডাব্লুএফ উপস্থিত রয়েছে)।
2. ইতো এবং সাকুরাই ( এএসআইএসিআরওয়াইপিটি '91 ) এর স্থির-জেড জে কে পিও সম্পর্ক রয়েছে সম্পর্কিত জটিলতা-তাত্ত্বিক ফলাফলগুলির একটি প্রবন্ধ রয়েছে।
3. এটি একটি আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কিত নয় এমন ফলাফল, যদিও আমি কিছু মিল খুঁজে পেতে সহায়তা করতে পারি না। আমি একরকম মনে করি (আনুষ্ঠানিক কিছু নয়) যে সদস্যতার প্রমাণ বনাম জ্ঞানের প্রমাণ সিদ্ধান্ত বনাম অনুসন্ধানের অনুরূপ । সম্ভবত এই অর্থে, কেউ বেলারে এবং গোল্ডওয়াসারের (জে.কম্পিউটিং , ১৯৯৪ ) রচনাও উদ্ধৃত করতে পারে , যেখানে তারা (শর্তাধীন) প্রমাণ করে যে এনপি-র সমস্ত ভাষাতেই অনুসন্ধান থেকে সিদ্ধান্তে হ্রাস নেই।

পিওকেগুলির জটিলতা-তাত্ত্বিক দিকগুলি সম্পর্কে কিছু উন্মুক্ত সমস্যা (সম্ভবত আমি সমাধান করেছি তবে তা আমি জানি না):

1. নির্দিষ্ট জটিলতার সাথে সুনির্দিষ্ট সম্পর্কের জে.কে. পি.ও.কে জন্য বিভিন্ন দক্ষতার ব্যবস্থা: (যেমন: এএম-এ একটি সম্পর্ক):

   • প্রমাণ জটিল যোগাযোগ
   • দলগুলির গণ্য জটিলতা
   • জ্ঞানের দৃness়তা (যেমন, সিমুলেটারের চলমান সময় এবং আসল মিথস্ক্রিয়ায় যাচাইকারীর চলমান সময়ের মধ্যে অনুপাত)

2. কিছু জটিলতার সাথে জেড কে পিওকে স্বীকৃতি দেওয়ার সম্পর্কের জটিলতা বলুন, সীমাবদ্ধ বৃত্তাকার জটিলতাগুলি (ইটো এবং সাকুরাই কেবল ধ্রুবক জেডকে পোককে বিবেচনা করে)। আর একটি উদাহরণ হ'ল প্রবাদটি বহুবর্ষের সময়: তিনি 3-রঙিনযোগ্যতা হ্রাসটি ব্যবহার করতে পারেন না, কারণ তিনি এনপি-সম্পূর্ণ সম্পর্কগুলি সমাধান করতে পারেন না। সমস্ত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার সন্ধান থেকে সিদ্ধান্তের দিকে কুক হ্রাস আছে। তবুও, উপরে বর্ণিত বেলার-গোল্ডওয়াসারের ফলাফল অনুসারে, সমস্ত এনপি ভাষা / সম্পর্কের ক্ষেত্রে এই জাতীয় হ্রাস প্রয়োজনীয় নয়।

3. পিওকে সম্পর্কিত অন্যান্য আকর্ষণীয় ফলাফলগুলি যা জেডকে নয়, তবে যার জ্ঞানের জটিলতা অন্যথায় সীমাবদ্ধ। গোল্ডরিচ এবং পেট্র্যাঙ্ক দেখুন ( গণনা জটিল।, 1999 )।

শেষ করার আগে, আমাকে উল্লেখ করতে অনুমতি দিন যে পিওকে নিয়ে আসলে বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা রয়েছে, যার কয়েকটি নীচে উদ্ধৃত করা হয়েছে:

1) প্রারম্ভিক প্রচেষ্টা: ফিগা, ফিয়াট এবং শমির ( জে ক্রিপ্টোলজি, 1988 ), টোমপা এবং ওল ( FOCS 1987 ), এবং ফিগ এবং শামির ( STOC 1990 )।

2) ডি ফ্যাক্টো স্ট্যান্ডার্ড: বেলারার এবং গোল্ডরিচ ( CRYPTO '92 )) এই কাগজটি পিওকে সংজ্ঞায়নের প্রাথমিক প্রচেষ্টা সমীক্ষা করে, তাদের ত্রুটিগুলি পর্যবেক্ষণ করে এবং একটি নতুন সংজ্ঞা প্রস্তাব করে যা পিওকে "" "সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এই সংজ্ঞায় একটি কালো-বাক্স প্রকৃতি রয়েছে (জ্ঞানের এক্সট্রাক্টরের প্রতারণামূলক প্রবাদটিতে ব্ল্যাক-বক্স অ্যাক্সেস রয়েছে)।

3) কনজারভেটিভ পিওকেস: হালেভি এবং মিকালি দ্বারা সংজ্ঞায়িত ( এপ্রিন্ট সংরক্ষণাগার: রিপোর্ট 1998/015 ), এই সংজ্ঞা প্রজ্ঞা সম্ভাব্যতার গ্যারান্টি হিসাবে পূর্ববর্তী সংজ্ঞাটিকে বাড়িয়ে তোলে । এটি একটি একক প্রবাদটির জ্ঞানের জন্যও একটি সংজ্ঞা দেয়, যা "পি কিছু জানে তা বোঝার অর্থ কী?"

4) অ কালো বক্স নিষ্কাশন সঙ্গে জ্ঞান যুক্তি: উপরোক্ত আলোচনা উল্লেখ করা হয়েছে, PoKs মান সংজ্ঞা কালো বাক্স, যা এটি অসম্ভব আছে তোলে পুনরায় সেটযোগ্য অ তুচ্ছ ভাষার জন্য জ্ঞানের শূন্য জ্ঞান প্রমাণাদি (অথবা আর্গুমেন্ট)। বরাক এট আল। ( এফওসিএস 2001 ) একটি নন-ব্ল্যাক-বাক্স সংজ্ঞা প্রদান করে, যা উপরোক্ত উদ্ধৃত ফিগ এবং শমিরের সংজ্ঞা (এসটিওসি 1990) এর উপর ভিত্তি করে (তবে পৃথক হয়) is