দুটি পলিটপের সমতুল্যতা পরীক্ষা করা হচ্ছে

14

ভেরিয়েবল এর একটি ভেক্টর $\vec{x}$ এবং দ্বারা নির্দিষ্ট লিনিয়ার সীমাবদ্ধতার একটি সেট বিবেচনা করুন । $A\vec{x}\leq b$

তদতিরিক্ত, দুটি পলিটোপ বিবেচনা করুন

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

যেখানে 's এবং এর এসাইন ম্যাপিং। যথা, এগুলি ফর্মের । (আমরা লক্ষ করি যে এবং হ'ল পলিটোপ কারণ তারা পলিটোপ এর "অ্যাফাইন ম্যাপিংস" )) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

প্রশ্নটি হল, এবং সেট হিসাবে সমান কিনা তা কীভাবে সিদ্ধান্ত নেবেন ? জটিলতা কি? $P_1$ $P_2$

সমস্যার অনুপ্রেরণা সেন্সর নেটওয়ার্কগুলি থেকে, তবে এটি একটি সুন্দর (সম্ভবত বেসিক?) জ্যামিতির সমস্যা বলে মনে হচ্ছে। কেউ এক্সটায়মে এটি সমাধান করতে পারে, সম্ভবত এবং এর সমস্ত সূক্ষ্ম সংখ্যা গণনা করে , তবে এর চেয়ে আরও ভাল পদ্ধতির কী আছে? $P_1$ $P_2$

— maomao
সূত্র

2

দুটি পলিটপ সমতুল্য হওয়ার অর্থ কী? তিনটি ব্যাখ্যা তত্ক্ষণাত আমার মনে আসে: সেট হিসাবে সমান, সম্পূর্ণ সমতুল্য এবং সংমিশ্রিত সমতুল্য। দুটি বিদ্যমান উত্তর বিভিন্ন ব্যাখ্যা অনুমান করে।

— Tsuyoshi Ito

আমি সেট হিসাবে সমান মানে।

— মাওমাও

দয়া করে এই স্পষ্টকরণটি অন্তর্ভুক্ত করতে প্রশ্নটি সম্পাদনা করুন। এটি কেবল মন্তব্যে রাখবেন না। প্রশ্নগুলি স্ব-অন্তর্ভুক্ত হওয়া উচিত: আপনি কী জিজ্ঞাসা করছেন তা বোঝার জন্য লোকদের মন্তব্যগুলি পড়তে হবে না। ধন্যবাদ.

— ডিডাব্লু

12

আপনি নীচের পদ্ধতিকে আরও ভাল হিসাবে বিবেচনা করবেন কিনা তা আমি নিশ্চিত করে বলতে পারি না, তবে জটিলতা-তাত্ত্বিক দৃষ্টিভঙ্গি থেকে আরও কার্যকর সমাধান পাওয়া যায়। ধারণাটি হল যুক্তিগুলির প্রথম-আদেশ তত্ত্বটিতে সংযোজন এবং ক্রম দিয়ে আপনার প্রশ্নটি পুনরায় প্রকাশ করা। আপনি যে আছে মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যদি এবং কেবল যদি $P_1$ $P_2$ বৈধ। এটা আহরণ সমানতা পরিষ্কার কেমনএবংএকই ভাবে। এখন

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

একটি নির্দিষ্ট কোয়ান্টিফায়ার-আবর্তনে উপসর্গ আছে, এবং মধ্যে পরিণামে নির্ধার্য হয়

, বহুপদী টাইম অনুক্রমের দ্বিতীয় স্তর (সনট্যাগ, 1985

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ )। আমি প্রায় নিশ্চিত যে এটা সম্ভব এছাড়াও প্রমাণ করার একটি মানানসই আবদ্ধ লোয়ার, কোথাও পড়া মনে করে দেখুন যে দুই polytopes মধ্যে অন্তর্ভুক্তি নই

-hard।

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

যদি আপনি বাস্তবে এ জাতীয় সমস্যা সমাধানের জন্য সরঞ্জাম সমর্থন সন্ধান করছেন, আধুনিক এসএমটি-সলভার যেমন z3 সম্পূর্ণ এই তত্ত্বটি সমর্থন করে।

— ক্রিস্টোফ হােস
সূত্র

5

$Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— ডেনিস পঙ্ক্রাটোভ
সূত্র

2

আমি মনে করি না এই যুক্তিটি কার্যকর - এটি উদ্ধৃত উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত সিমপ্লেক্সের মাত্রা উপেক্ষা করে। (এক্স ইনপুটটির একটি অংশ, সুতরাং যে কোনও হ্রাস এটি বহুমাত্রিকভাবে আবদ্ধ হওয়ার বিষয়টি নিশ্চিত করা দরকার)

— কলিন ম্যাককুইলান

ভাল যুক্তি! মনে হচ্ছে আমার দাবিটি এখনও অতিক্রম করা উচিত, তবে আমি যে কাগজটি উদ্ধৃত করেছি তাতে আমাদের ভিতরে প্রবেশ করতে হবে। একটি গ্রাফ দিয়ে শুরু করে তারা একটি পলিটোপ তৈরি করেন, যেমন দুটি গ্রাফ আইসোমরফিক হয় যদি এবং কেবলমাত্র পলিটোপগুলি আইসমোর্ফিক হয়। তাদের পলিটোপগুলিতে বহুবিধ সংখ্যা রয়েছে, এবং তাদের বহির্মুখী বিবরণগুলি বহুবচনীয় সময়ে গণনা করা যায়। সুতরাং, আমরা (A, b) মাত্রাটিতে একটি সরলপদ হতে পারি যে অনুভূমিক সংখ্যা এবং চ এফাইন প্রজেকশন হতে পারে যা পলিটোপ দেয় যা মেরু বর্ণের বর্ণনা থেকে প্রাপ্ত হতে পারে।

— ডেনিস পঙ্ক্রাটোভ