মৃত অনুমানের উদ্দেশ্য

Question

আমি অ্যালগরিদম এবং জটিলতা সম্পর্কে অনুমানের সন্ধান করছি যা অনেক সময়ে কোনও এক সময়ে বিশ্বাসযোগ্য হিসাবে দেখা হয়েছিল, তবে পরে পাল্টা প্রমাণ-প্রমাণের কারণে তারা অস্বীকৃত হয়েছিলেন বা কমপক্ষে অবিশ্বাস্য হয়েছিল। এখানে দুটি উদাহরণ দেওয়া হল:

1. এলোমেলো ওরাকল হাইপোথিসিস: জটিলতা ক্লাসগুলির মধ্যে সম্পর্ক যা প্রায় সমস্ত আপেক্ষিক বিশ্বের জন্য ধারণ করে, অপ্রস্তুত ক্ষেত্রেও ধরে রাখে। এই ফলাফল দ্বারা খণ্ডন করেন ও দেখাচ্ছে যে দ্বারা আমি পি এক্স ≠ পি এস পি একটি সি ই এক্স প্রায় সব এলোমেলো ওরাকেল জন্য ঝুলিতে এক্স দেখুন র্যান্ডম ওরাকল প্রস্তাব মিথ্যা হয় ।$IP=PSPACE$$IP^X\neq PSPACE^X$$X$

2. বাউন্ডেড ত্রুটির এলোমেলোভাবে সঠিকভাবে বহুবর্ষের সময়কাল (যেমন, ) বাড়িয়ে তোলে । এটি কিছু সময়ের জন্য বিশ্বাস করা হয়েছিল, তবে পরে, পরিশীলিত ডেরেন্ডোমাইজেশন ফলাফল এবং সার্কিট জটিলতার সাথে তাদের সংযোগের কারণে বিপরীত অনুমান ( পি = বি পি পি ) প্রচলিত হয়ে উঠেছে (যদিও এখনও এটি উন্মুক্ত)।$P\neq BPP$$P=BPP$

সময়ের পরীক্ষাতে ব্যর্থ হওয়া আরও কিছু অনুমানগুলি কী?

Comments

$\mathsf{coNP} \not\subseteq \mathsf{IP}$

হিলবার্টের প্রোগ্রাম ("... গণিতে প্রাথমিক প্রশ্নগুলি যেমন একবার এবং সকলের জন্য নিষ্পত্তি ...") এবং আনুষ্ঠানিক তত্ত্বগুলির [[1920]] ক্ষয়ক্ষতি সম্পর্কে তার "অনুমান", যে "ক্র্যাশ" হয়েছিল (বরং দ্রুত [1931 ]) গোডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যে :-)

— মারজিও ডি বায়াসি

ক্রেইসেলের এই গবেষণাপত্রটির পর্যালোচনাতে লেখা হয়েছে "এই কাগজটি প্রমাণ করে যে প্রতিটি পুনরাবৃত্তভাবে গণনাকারী (পুনরায়) সেটটি অস্তিত্বের দিক দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যায়।… এই ফলাফলগুলি হিলবার্টের দশম সমস্যা সম্পর্কিত (সাধারণ, অর্থাত্ অ-তাত্পর্যমূলক) সাথে সম্পর্কিত ) ডায়োফানটাইন সমীকরণসমূহ ... ... এটি সম্পূর্ণরূপে বোধগম্য নয় যে সমস্ত (সাধারণ) ডায়োফানটাইন সমস্যাগুলি নির্দিষ্ট ডিগ্রির নির্দিষ্ট সংখ্যক ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে সমানভাবে হ্রাসযোগ্য হয়, যদি সমস্ত পুনরায় সেটটি ডায়োফান্টাইন হত তবে এটি হবে। " ( এখানে আরও দেখুন ))

— আন্দ্রেস ই ক্যাসেডো

সম্পর্কিত: জটিলতায় অবাক করা ফলাফল

— কাভেঃ

এছাড়াও কম্পিউটেশনাল জটিলতা ব্লগ থেকে পোস্ট অবাক করা ফলাফল ।

— কাভেঃ

Answer 1

। এই দুটি সমান হওয়ার ফলাফলের আগে, আমি মনে করি যে এন পি ≠ সি ও এন পি (অর্থাত্ "ননডেটেরিস্টিজমিজম এবং কো-ননডেটেরিনিজম পৃথক"এই বিশ্বাসের সাথে সাদৃশ্য অনুসারে বিস্তৃতভাবে বিশ্বাস করা হয়েছিল যে তারা পৃথক ছিল; এটি অন্তত লগারিদমিক ছিল স্পেস জটিলতার সীমার অধীনে এটি মিথ্যা প্রমাণিত হয়েছিল)।$\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

Comments

'উপমা'? একটি সময় এবং অন্যটি স্পেস নং?

@ আরুল: হ্যাঁ। আবদ্ধ সময় দ্বারা সংজ্ঞায়িত জটিলতা ক্লাস এবং

— সীমানা

তবে সময় এবং স্থান সমান নয় (কমপক্ষে অনুমানমূলকভাবে)

@ আরুল: সঠিক ঠিক এ কারণেই এটি কেবল একটি উপমা ...

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 2

এর আগে , এটা সম্ভব চিন্তা ছিল যে এমনকি গ ণ এন পি অন্তর্ভুক্ত করা হয় নি আমি পি : এ Fortnow-Sipser 1988 তারা এই অনুমিত ক্ষেত্রে হতে এবং একটি ওরাকল আপেক্ষিক দিলেন যা এটা সত্য ছিল।$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

Answer 3

কনস্ট্যান্ট-প্রস্থের শাখা প্রশাখাগুলি গণনা করার জন্য বহুপদী দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি প্রয়োজন : ১৯৮১ সালে ফুর্স্ট-স্যাক্সে-সিপসার এবং আজতাই পরে দেখিয়েছিলেন যে এসি ⁰ সার্কিটগুলি গণনা করতে পারে না, একটি প্রাকৃতিক পরবর্তী পদক্ষেপটি বহিরাগতের ধ্রুবক প্রশস্ত শাখাগুলি প্রোগ্রামগুলি দেখানো বলে মনে হয় দৈর্ঘ্য গণনা করতে পারেনি, যা ধরে রাখার জন্য ব্যাপকভাবে অনুমান করা হয়েছিল। 1986 সালে ডেভিড ব্যারিংটন দেখিয়েছেন যে তারা কেবল তারা গণনা করতে পারে না তারা এনসি ¹ এর সমতুল্য ।

Answer 4

-conjecture: কোন নির্ণায়ক অ্যালগরিদম যে 3 এস ইউ এম প্রয়োজন Ω ( ঢ 2 ) সময়।$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

এই 2014 সালে disproven হয়েছিল, অ্যালান Grønlund এবং শেঠ Pettie, যিনি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম দিয়েছেন যে রান সময় [1]।$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1] ত্রয়ী, অধঃপতিত এবং প্রেমের ত্রিভুজগুলি। অ্যালান গ্রান্লুন্ড এবং শেঠ পেটি। কম্পিউটার সায়েন্সের ফাউন্ডেশনগুলিতে (এফওসিএস) 2014, পৃষ্ঠা 621-630। আরএক্সিভ: 1404.0799 [সিএসডিএস]

Comments

পর্যালোচকদের অতীতে তারা কীভাবে বিশ্বে এই শিরোনাম পেল?

— ডেভিড ঝাং

Answer 5

ডেভিস, মাতিয়াসিভিচ, পুতনম এবং রবিনসন হিলবার্টের দশম সমস্যার সমাধান দেখিয়েছেন যে পুনরাবৃত্তিমূলক সংখ্যাগরিষ্ঠ সেটগুলি হুবহু ডায়োফান্তাইন সেট are

(আমি এখানে একটি ব্লগ পোস্ট , হিন্দস্টাইট পুনরুত্পাদন করছি আগে, বছর দুয়েক থেকে, যেমন মন্তব্য সুপারিশ করেছে।)

থেকে গেয়র্গ Kreisel এর পর্যালোচনা সূচকীয় diophantine সমীকরণ জন্য সিদ্ধান্ত সমস্যা , মার্টিন ডেভিস, হিলারি Putnam, এবং জুলিয়া রবিনসন, অ্যান দ্বারা। ম্যাথ (2), 74 (3) , (1961), 425–436। এমআর 13133227 (24 # এ 3061) ।

এই কাগজটি প্রতিষ্ঠিত করে যে প্রতিটি পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য (পুনরায়) সেটটি অস্তিত্বের দিক দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যায়। […] এই ফলাফলগুলি হিবার্টের দশম সমস্যার (সাধারণ, অর্থাত্ অ-ঘৃণ্য) ডায়োফান্টাইন সমীকরণের সাথে সূক্ষ্মভাবে সম্পর্কিত। লেখকদের ফলাফলের প্রমাণটি যদিও খুব মার্জিত, তবুও সংখ্যার তত্ত্ব বা পুনরায় সেট তত্ত্বে পুনরাবৃত্তি তথ্য ব্যবহার করে না এবং তাই সম্ভবত ফলটি হিলবার্টের দশম সমস্যার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত না হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। এছাড়াও এটি সম্পূর্ণরূপে প্রশংসনীয় নয় যে সমস্ত (সাধারণ) ডায়োফানটাইন সমস্যাগুলি নির্দিষ্ট ডিগ্রির নির্দিষ্ট সংখ্যক ভেরিয়েবলগুলির ক্ষেত্রে সমানভাবে হ্রাসযোগ্য, যা যদি পুনরায় সেটগুলি ডায়োফান্তাইন হয় তবে ক্ষেত্রে হবে।

অবশ্যই, দশম সমস্যার সাথে আমার প্রিয় উক্তিটি মার্টিন ডেভিসের ফোরওয়ার্ড থেকে ইউরি মাতিয়াসিভিচের হিলবার্টের দশম সমস্যা পর্যন্ত ।

1960 এর দশকে আমি প্রায়শই হিলবার্টের দশম সমস্যা নিয়ে বক্তৃতা দিতাম। সেই সময় এটি জানা গিয়েছিল যে অবিশ্বাস্যতা একক ডায়োফান্তাইন সমীকরণের অস্তিত্ব থেকে অনুসরণ করবে যা জুলিয়া রবিনসনের দ্বারা তৈরি একটি শর্তকে সন্তুষ্ট করেছিল। তবে এ জাতীয় সমীকরণ তৈরি করা অসম্ভব কঠিন বলে মনে হয়েছিল এবং প্রকৃতপক্ষে প্রচলিত মতামতটি ছিল যে এর উপস্থিতির সম্ভাবনা কম ছিল। আমার বক্তৃতাগুলিতে, আমি এমন গুরুত্বপূর্ণ পরিণতির উপর জোর দিয়ে বলব যা এই জাতীয় সমীকরণের অস্তিত্বের প্রমাণ বা অস্বীকৃতি থেকে অনুসরণ করবে। অনিবার্যভাবে প্রশ্নের সময়কালে আমাকে কীভাবে বিষয়গুলি রূপান্তরিত হবে সে সম্পর্কে আমার নিজস্ব মতামত জিজ্ঞাসা করা হবে এবং আমার জবাব প্রস্তুত ছিল: "আমি মনে করি জুলিয়া রবিনসনের অনুমানটি সত্য, এবং এটি একজন চতুর তরুণ রাশিয়ান দ্বারা প্রমাণিত হবে।"

Answer 6

হিলবার্ট কর্মসূচি এবং তার "অনুমান" আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব decidability সম্পর্কে। এটি 1920 এর দশকের গোড়ার দিকে প্রণীত হয়েছিল এবং গোটিনজেন ইউনিভার্সিটিতে এবং 1920 এবং 1930 এর দশকে অন্য কোথাও তাঁর সহযোগীরা অনুসরণ করেছিলেন।

"গণিতের এই নতুন গ্রাউন্ডিংয়ের সাথে - যাকে যথাযথভাবে একটি প্রমাণ তত্ত্ব বলা যেতে পারে - আমি বিশ্বাস করি যে গণিতের মূল প্রশ্নগুলি একবারে এবং সকলের জন্য গাণিতিক বক্তব্যকে একটি দৃ concrete়ভাবে প্রদর্শনযোগ্য এবং কঠোরভাবে উপার্জনযোগ্য সূত্রে পরিণত করে এবং এর মাধ্যমে স্থানান্তরিত করে বিশুদ্ধ গণিতের ডোমেনে প্রশ্নগুলির সম্পূর্ণ জটিল ""

এটি সর্বজনবিদিত যে হিলবার্টের প্রস্তাবগুলি গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যে "ক্র্যাশ" হয়েছিল (বরং দ্রুত [1931]) ।

হিলবার্টের প্রোগ্রাম এবং পরবর্তী উন্নয়নের একটি সুন্দর পর্যালোচনার জন্য দেখুন: রিচার্ড জ্যাচ; হিলবার্টের প্রোগ্রাম তখন এবং এখন; বিজ্ঞানের দর্শনের হ্যান্ডবুক book খণ্ড 5: যুক্তি দর্শন; 2006

গল্পের আরেকটি দিকের জন্যও আন্দ্রেস কেসেডোর জবাব দেখুন : হিলবার্টের দশম সমস্যা যা কেবলমাত্র 1970 সালে সমাধান হয়েছিল।

Answer 7

মধু সুদান একটি বক্তৃতায় তিনি দাবি করেন কিছু বিশ্বাস অস্তিত্ব আছে ছিল $s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

আসলে এসডিপি প্রদর্শন করে না $\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

(* আমি মধুর এই বক্তৃতাটি "রুডিচ / উইগডারসন সম্পাদিত গণনা জটিল জটিলতা" তে প্রকাশিত পেয়েছি)

Answer 8

অনুমান আনুষ্ঠানিক থেকে অনানুষ্ঠানিক বর্ণালীতে পরিসীমা। উদাহরণস্বরূপ, গণিতের ক্ষয়িষ্ণুতা সম্পর্কে হিলবার্টস বিখ্যাত অনুমানকে কয়েকটি সমস্যার মধ্যে আনুষ্ঠানিকভাবে রূপান্তরিত করা হয়েছিল যেমন হিলবার্টস দশম সমস্যা তবে এটি পুরো ক্ষেত্র জুড়ে আরও এক মহামৌজিক অনানুষ্ঠানিক অনুমান ছিল। এটি প্রস্তাবিত গবেষণা প্রোগ্রাম হিসাবেও দেখা যেতে পারে।

"মৃত অনুমানের মৃতুশাস্ত্র" সন্ধানের একটি সহজ রেসিপি হ'ল "মেটা-" বিবৃতি বিবেচনা করা [x] অনুমানটি আমার জীবদ্দশায় প্রমাণিত হতে পারে। " গণিতের সাহিত্যে এমন বিবৃতি / প্রত্যাশাগুলি পূর্ণ যেগুলি প্রমাণের অসুবিধা এবং অ্যাক্সেসযোগ্যতা সম্পর্কে সম্পূর্ণ প্রত্যাশা প্রত্যাখ্যান করার অর্থে "মিথ্যা" হিসাবে পরিণত হয়েছিল। ক্লাসিক এক হ'ল রিমন অনুমান, ~ 1½ শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে খোলা। জটিলতা তত্ত্বে এই একই মডেলটি প্রয়োগ করা তত সহজ নয় কারণ জটিলতা তত্ত্বটি অনেক কম বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্র। যাইহোক, heres একটি মূল উদাহরণ।

পি বনাম এনপি সমস্যার প্রাথমিক আবিষ্কারের (বর্তমানে 4½ দশক খোলা) এক ধরণের নির্দোষতা ছিল যে মূল তদন্তকারীরা সমস্যাটি কতটা কঠোর বা ক্রসক্রিটিং হতে পারে তা কল্পনাও করতে পারেননি। এটিকে আরও সুনির্দিষ্ট করে তুলতে, 1980 এর দশকের প্রথম দিকে যেমন সিপসার দ্বারা উদ্ভাবিত সার্কিট জটিলতার ক্ষেত্রটি বিবেচনা করুন। এই কিছুটা হিলবার্টস যেমন পি ভার্সেস এনপি আক্রমণ করার জন্য কিছু অংশে বসেছে তেমনি একটি গবেষণা প্রোগ্রাম ছিল। abতিহাসিক ফলাফলগুলির কয়েকটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ অরবিন্দ এই বিমূর্ত / ভূমিকাতে সংক্ষেপণ করেছেন গণনা জটিল জটিল কলাম, বিটসিএস 106 :

১৯৮০ এর দশকটি বুলিয়ান সার্কিট জটিলতা নিম্ন সীমাগুলির জন্য একটি সুবর্ণ সময় ছিল। বড় ব্রেকথ্রু ছিল। উদাহরণস্বরূপ, ক্লোর ফাংশন কম্পিউটিংয়ের একঘেয়ে বুলিয়ান সার্কিটের জন্য রাজবরোভের ক্ষতিকারক আকারটি নিম্ন সীমা এবং প্রাইম পি এর জন্য এমওডি _পি গেটগুলির সাথে ধ্রুবক গভীরতার সার্কিটগুলির জন্য রাজারবোভ-স্মোলেস্কি সুপারপোলিমনোমিয়াল আকারের নিম্ন সীমানা । এই ফলাফলগুলি গবেষকদের বড় নিম্নতর প্রশ্ন এবং জটিলতা শ্রেণীর পৃথকীকরণের বিষয়ে অগ্রগতির আশাবাদী করে তুলেছে। যাইহোক, গত দুই দশকে এই আশাবাদ ধীরে ধীরে হতাশায় পরিণত হয়েছিল। আমরা এখনও জানি না কীভাবে ক্ষতিকারক সময়ে গণনীয় একটি ফাংশনটির জন্য এমওডি ₆ গেটের সাথে ধ্রুবক-গভীরতার সার্কিটের জন্য সুপারপলিনিমিয়াল লোয়ার সীমাটি প্রমাণ করতে হয় ।

দুটি মূল কাগজপত্র ছিল যা মাঠে আশা জাগিয়ে তুলেছিল। রাজবোরোভের ক্লক কার্যক্রমে দুর্দান্ত / উদযাপিত ফলাফল ছিল তবে দুটি বিপরীতমুখী কাগজ লিখেছিলেন। একটি গবেষণাপত্র দেখায় যে ম্যাচিং, একটি পি-টাইম সমস্যা, তাত্পর্যপূর্ণ মনোোটোন সার্কিটের প্রয়োজন এবং তাই কিছুটা অর্থে নমনমনোটন ("সম্পূর্ণ") সার্কিটগুলির সাথে জটিলতার সাথে যোগাযোগের অভাবের কারণে নিম্নতম সীমানায় মনোোটোন সার্কিটের পদ্ধতিকে ব্যর্থ করা হয়েছিল (এখনও সম্পূর্ণরূপে নয়) বোঝা)।

রুডিচের সহিত তাঁর বিখ্যাত গবেষণাপত্রে প্রাকৃতিক প্রুফগুলিতে এটি প্রসারিত হইয়াছিল, যেখানে দেখানো হয় যে সমস্ত পূর্ববর্তী সার্কিট নিম্ন প্রান্তের প্রমাণগুলি একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন সাপেক্ষে, যা এলোমেলো সংখ্যার জেনারেটরগুলির কাছ থেকে অনুমানযোগ্য নিম্ন সীমানার সাথে বিরোধের বোধের ক্ষেত্রে প্রমাণযোগ্য দুর্বলতা রয়েছে has ক্রিপ্টোগ্রাফি।

সুতরাং, কিছু ডিগ্রি সার্কিট "করুণা থেকে পড়ে" হয়েছে। এটি এখনও একটি বিস্তৃত গবেষণা ক্ষেত্র, তবে প্রযুক্তিগত ফলাফলগুলির দ্বারা সমর্থিত প্রচলিত জ্ঞান হ'ল বাস্তবে এমনকি যদি সম্ভব হয় তবে এই অঞ্চলে শক্তিশালী ফলাফল পাওয়ার জন্য এক ধরণের বিশেষ-অজানা-প্রমাণ অধ্যায় / কাঠামোর প্রয়োজন হবে। প্রকৃতপক্ষে একইভাবে কেউ পরামর্শ দিতে পারে যে সামগ্রিকভাবে "জটিলতার তত্ত্বের শক্তিশালী নিম্ন সীমানা" এখন অত্যন্ত কঠিন হিসাবে দেখা যায়, এবং ক্ষেত্রের ছোট দিনগুলিতে এটি ব্যাপকভাবে প্রত্যাশিত / পূর্বাভাস ছিল না। তবে অন্যদিকে এটি গণিতের বড় (উন্মুক্ত) সমস্যার সাথে অসুবিধা / তাত্পর্য / গুরুত্বের সাথে তাদের তালিকায় রাখে।

Comments

আপনি কোন অনুমানটি হাইলাইট করছেন? এছাড়াও, সার্কিট জটিলতা খুব সক্রিয় এবং বরং সফল উভয়ই বলে মনে হচ্ছে, উদাহরণস্বরূপ রসম্যানের একাধিক ব্রেকথ্রু; ক্ষেত্রটির আরও গ্রাউন্ড ওভারভিউয়ের জন্য জুকনার অনুমোদনযোগ্য পাঠ্যপুস্তকটি দেখুন।

— আন্দ্রেস সালামন

একাধিক আন্তঃসম্পর্কিত ধারণা রয়েছে তবে উদাহরণস্বরূপ "রুক্ষ" অনুমান যা সাধারণভাবে সার্কিট হয় বা কোনও বিশেষ ফর্ম (যেমন: মনোোটোন) পি বনাম এনপি বা শক্তিশালী নিম্ন সীমানাকে প্রমাণ করতে পারে ... এটি কখনই যথাযথভাবে আনুষ্ঠানিক হয়নি তবে অনেকগুলি (পুরানো) মধ্যে প্রচারিত হয় never সার্কিট তত্ত্বের কাগজপত্র। এটি উভয়ই কঠোরভাবে অস্বীকার করা হয় না, তবে ২০২০ হাইডসাইট সহ ভারীভাবে সংশোধন করা হয়। বিশেষত একঘেয়ে সার্কিটের গল্পটি একটি "কাছাকাছি বিপরীতমুখী"।

— vzn

আপনি যদি কিছু সুনির্দিষ্ট রেফারেন্সটিকে মুখোমুখি মনোোটোন সার্কিটের সমর্থন হিসাবে উল্লেখ করেন, তবে এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর হবে। কিন্তু উপরেরটি প্রাচীরের দিকে প্রচুর শব্দ নিক্ষেপ করে এবং কিছু লাঠি আশা করে আসে; এটিতে উপদ্রব আছে তবে একটি পরিষ্কার থিসিসের অভাব রয়েছে। আমার পড়াতে আমি এমন ধারণা তৈরি করি নি যে একঘেয়ে সার্কিটকে কখনও বিশেষভাবে শক্তিশালী বলে মনে করা হত।

— আন্দ্রেস সালামন

$NP \not\subseteq P/poly$$P neq NP$

@ জোশুয়া গ্রাচো, আমি সম্মত, তবে এটি উপরের জটলা থ্রেড থেকে বেশ আলাদা। উত্তর হিসাবে পোস্ট করা সম্ভবত?

— আন্দ্রেস সালামন