ন্যূনতম অটোমেটা হিসাবে বহুত্বের নির্দেশিত

Question

একটি নিয়মিত ভাষা দেওয়া বর্ণমালার উপর , তার ন্যূনতম নির্ণায়ক যন্ত্রমানব ধ্রুবক সঙ্গে একটি নির্দেশ সংযুক্ত multigraph হিসেবে দেখা যেতে পারে আউট-ডিগ্রীএবং একটি চিহ্নিত প্রাথমিক অবস্থা (রূপান্তরের লেবেলগুলি ভুলে গিয়ে, চূড়ান্ত রাজ্যগুলি)) আমরা প্রাথমিক অবস্থাটি রাখি কারণ প্রতিটি ভার্টেক্স এটি থেকে অ্যাক্সেসযোগ্য।$L$$A$$|A|$

কথাটি কি সত্য? অর্থাৎ একটি নির্দেশিত সংযুক্ত মাল্টিগ্রাফ দেওয়া হয়েছে$G$ ধ্রুবক আউট-ডিগ্রি এবং প্রাথমিক অবস্থার সাথে যেমন প্রতিটি ভার্টেক্স এটি থেকে অ্যাক্সেসযোগ্য, সেখানে সবসময় কোনও ভাষা থাকে $L$ যেমন যে $G$ এর সর্বনিম্ন অটোমেটনের অন্তর্নিহিত গ্রাফ $L$ ?

উদাহরণস্বরূপ যদি $|A|=1$ এটি সত্য, যেহেতু গ্রাফটি অবশ্যই আকারের উপসর্গযুক্ত "লাসো" হতে হবে $i$ এবং আকার একটি লুপ $j$, এবং এর সর্বনিম্ন অটোমেটনের সাথে সম্পর্কিত $L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$।

সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যতা হ্রাসের সাথে জড়িত সম্পর্কিত সমস্যা থেকে অনুপ্রেরণা আসে, যেখানে সমাধানটি আরও সহজ: একটি অ -মুখী সাধারণ গ্রাফ থেকে শুরু করে এবং আরও ক্রিয়াকলাপের সাথে ডুব দেওয়ার মতো অনুমতি দেওয়া হয়। তবে আমি ভাবছিলাম যে ইতিমধ্যে যদি কেউ আরও প্রাকৃতিক প্রশ্নটির দিকে নজর রেখেছিল?

আমি সাহিত্যে দূরবর্তীভাবে সংযুক্ত কেবলমাত্র জিনিসগুলি হ'ল কমপ্লেক্সিটি অফ রোড কালারিং উইথ প্রেসক্রিপেট রিসেট ওয়ার্ডস এর মতো কাগজপত্র , যেখানে লক্ষ্য এমন একটি মাল্টিগ্রাফকে রঙ করা যাতে ফলস্বরূপ অটোমেটনের একটি সিঙ্ক্রোনাইজিং শব্দ থাকে। তবে ন্যূনতমতা বিবেচনা করা হবে বলে মনে হয় না।

আপডেট : ক্লাউস ড্র্রেজারের উত্তরের পরে ফলো-আপ প্রশ্ন: গ্রাফ এই আকারের কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতা কী? আমরা লেবেলিংটি অনুমান করতে পারি এবং বহুবাচকভাবে অটোমেটনের সংক্ষিপ্ততা যাচাই করতে পারি, সুতরাং এটি এনপিতে রয়েছে, তবে আমরা কী আরও বলতে পারি?

Answer 1

যে কোনও শোষণকারী নোড $n$ হয় হয় গ্রহণ করতে হবে বা না হবে (যাতে প্রতিটি কিছু বা কোনও কিছুই একবারে গৃহীত হয় না) $n$প্রবেশ করা হয়)। যদি গ্রাফের দুটিরও বেশি শোষণকারী নোড থাকে, তবে তাদের মধ্যে কিছু লেবেল এবং সেট গ্রহণের যে কোনও পছন্দের সমতুল্য হয়ে যাবে।

আরও সাধারণভাবে, যে কোনও দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত গ্রাফের জন্য $H$ একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা আছে $n(H)$বিভিন্ন সম্ভাব্য লেবেল এবং উপগ্রহ গ্রহণের; যদি আপনার গ্রাফের চেয়ে বেশি থাকে$n(H)$ টার্মিনাল দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত উপাদান সমতুল্য $H$ (একটি গাছের পাতায় সংযুক্ত, বলুন), এটি কোনও ন্যূনতম অটোমেটনের সাথে সামঞ্জস্য করতে পারে না।

সম্পাদনা, ফলো-আপ প্রশ্ন সম্পর্কিত: এটি জটিল বলে মনে হচ্ছে। আমার যুক্তি দ্বারা প্রস্তাবিত একটি পদ্ধতির চেহারা দেখতে এটির মতো হতে পারে:

• পার্টিশন $G$এসসিসিগুলিতে। এটি সস্তা;$O(|V|+|E|)$ টার্জনের অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে।
• এসসিসিগুলিকে আইসোমরফিজম ক্লাসে বাছাই করুন। দুর্ভাগ্যক্রমে গ্রাফ isomorphism এর মধ্যে নেই বলে জানা যায়$P$।
• প্রতিটি টার্মিনাল আইসোমরফিজম শ্রেণীর জন্য, অনুমোদিত সাব-অটোম্যাটার অনুমতিযোগ্য সংখ্যা নির্ধারণ করুন এবং তাদের পর্যাপ্ত পরিমাণ না থাকলে ব্যর্থ হন। মনে রাখবেন সাবসেট এবং এজ লেবেল গ্রহণের প্রতিটি সংমিশ্রণ অনুমোদিত নয়: উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমাদের বর্ণমালাটি$\{a,b\}$, এবং একটি উপাদান দুটি নোড রয়েছে, প্রতিটি স্ব-লুপ এবং অন্য নোডের প্রান্ত সহ। উভয় নোডকে গ্রহণ এবং উভয় লুপকে লেবেল দেওয়া$a$ (এবং অন্যান্য প্রান্তটি সহ) $b$) একটি অটোমেটন দেয় যা সংক্ষিপ্ততা লঙ্ঘন করে একক শোষণকারী রাষ্ট্রের সাথে সমান।
• নিম্ন এসিওগুলিকে বিবেচনায় রেখে ডিএজে বাকি এসসিসির সাথে একইভাবে আচরণ করুন; আমি এই অংশের বিশদটি সম্পর্কে কিছুটা অস্পষ্ট।

এটি এমন একটি পদক্ষেপ যার জটিলতা খোলামেলাভাবে উন্মুক্ত এবং অন্যটি যা দেখতে এটির জন্য তাত্পর্যপূর্ণ সময় প্রয়োজন হতে পারে (যেহেতু অনুমোদনযোগ্য অটোমেটা নির্ধারণের সময় বিস্মরণীয় শ্রেণিতে বিভক্তভাবে অনেকগুলি পার্টিশন বাদ দেওয়া যেতে পারে)। আমরা কি আরও ভাল করতে পারি?

Comments

ঠিক আছে ধন্যবাদ। একটি প্রাকৃতিক ফলোআপ প্রশ্ন হ'ল কোনও ন্যূনতম অটোমেটনের দ্বারা গ্রাফকে উত্সাহিত করা হয় কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতা। এটি এনপিতে রয়েছে তবে আমরা কি আরও বলতে পারি?

— ডেনিস