এলোমেলো পদব্রজে ভ্রমণ এবং একটি সাধারণ অনির্দেশিত গ্রাফে সময় হিট করার সময়

Question

যাক উপর একটি সহজ undirected গ্রাফ হতে ছেদচিহ্ন এবং প্রান্ত।$G=(V,E)$$n$$m$

আমি একটি এলোমেলো ছড়িয়ে গাছ উত্পন্ন করার জন্য উইলসনের অ্যালগরিদমের প্রত্যাশিত চলমান সময়টি নির্ধারণ করার চেষ্টা করছি । সেখানে এটি হিসাবে দেখানো হয়েছে , যেখানে হিট করার গড় সময় : যেখানে:$G$$O(\tau)$$\tau$

$$\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v),$$

• $\pi$ হ'ল স্থিতিশীল বিতরণ ,$\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}$
• $u$ হ'ল একটি স্বেচ্ছাসেবী প্রান্তে, এবং
• $H(u,v)$ হল আঘাত সময় (ওরফে এক্সেস সময় ), অর্থাত, প্রান্তবিন্দু আগে পদক্ষেপ প্রত্যাশিত সংখ্যা পরিদর্শন করা হয়, প্রান্তবিন্দু থেকে শুরু ।$v$$u$

গড় আঘাতের সময়টির জন্য সাধারণ উপরের আবদ্ধটি কী? আর সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে গ্রাফ কি মানে আঘাত সময় maximizes?$G$

---

আমার প্রশ্নটি পরিষ্কার করার জন্য, আমার গণনা বা বিশদ প্রমাণের প্রয়োজন নেই (যদিও তারা ভবিষ্যতে এই প্রশ্নের মুখোমুখি হওয়া অন্যান্য ব্যক্তির পক্ষে কার্যকর হতে পারে)। ব্যক্তিগতভাবে আমার জন্য, একটি উদ্ধৃতি যথেষ্ট হবে।

পেপারে ব্রোডার আরেকটি অ্যালগরিদম উল্লেখ করেছেন যা প্রত্যাশিত কভার টাইমে কাজ করে (প্রথমবারের মতো যখন সমস্ত উল্লম্ব পরিদর্শন করা হয়েছে)। তারপরে বলা হয়, এর মানে হিট টাইম সবসময় কভার টাইমের চেয়ে কম থাকে। তবে এটি শুধুমাত্র একটি মধ্যে asymptotic বাউন্ড দেয় জন্য সবচেয়ে গ্রাফ (অর্থাত, Expander গ্রাফ এটা দিয়ে বিপরীতে) সবচেয়ে গ্রাফ জন্য (একটি কিছুটা সমেত সংজ্ঞা সঙ্গে Broder দ্বারা সবচেয়ে )।$\Theta(n)$$\Theta(n \log n)$

এটি এমন কোনও গ্রাফের উদাহরণ দেয় যেখানে হিট করার সময়টি হ'ল এবং কভারের সময়টি । যদিও এটি পরবর্তীকালের জন্য সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি হিসাবে পরিচিত, তিনি পূর্বের সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি সম্পর্কে বিশেষভাবে কিছু বলেন না। এর অর্থ হ'ল উইলসনের অ্যালগরিদমের জন্য সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি এবং মধ্যে যে কোনও জায়গায় পড়তে পারে ।$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$$O(n^2)$$O(n^3)$

উইলসনের অ্যালগোরিদমের দুটি প্রকাশ্যে উপলভ্য প্রয়োগ রয়েছে যা সম্পর্কে আমি অবগত। একটি বুস্ট গ্রাফ লাইব্রেরিতে , অন্যটি গ্রাফ -সরঞ্জামে । প্রাক্তনটির নথিতে চলমান সময় উল্লেখ করা হয়নি, তবে পরবর্তীকালে বলা হয়েছে:

এলোমেলো গ্রাফের জন্য সাধারণ চলমান সময় হ'ল ।$O(n \log n)$

যা প্রশ্নের উত্তর দেয় না এবং প্রকৃতপক্ষে উইলসনের কাগজের সাথে বেমানান বলে মনে হয়। তবে বাস্তবায়নের ডকুমেন্টেশনের পরামর্শের একই ধারণার সাথে কারও সময় সাশ্রয় করার জন্য আমি কেবল এটির প্রতিবেদন করছি।

আমি প্রাথমিকভাবে আশা করেছিলাম যে লোভেসের কারণে কোনও চক্রের পথে সংযুক্ত করে তৈরি করা গ্রাফের দ্বারা সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতিটি পাওয়া যাবে , যেখানে আঘাতের সময়টি বেশি হতে পারে । তবে, স্থির বিতরণ থেকে শীর্ষে বাছাই করার সময় এই ইভেন্টটির সম্ভাবনা প্রায়ফলস্বরূপ এই গ্রাফটিতে গড় হিট সময়ের জন্য আবদ্ধ একটি ।$\Omega(n^3)$$\frac{1}{n}$$O(n^2)$

ব্রাইটওয়েল এবং উইঙ্কলারের একটি কাগজ দেখায় যে ললিপপ গ্রাফের একটি উপসেট প্রত্যাশিত আঘাতের সময়কে সর্বাধিক করে , পৌঁছে যায় । লোভেসের গ্রাফটিও ললিপপ গ্রাফ, তবে এই ক্ষেত্রে চক্রের আকার অর্ধেকের পরিবর্তে । তবে, প্রত্যাশিত হিটিং টাইমকে গড় হিট সময়ের সাথে বিভ্রান্ত না করার জন্য অবশ্যই যত্ন নেওয়া উচিত। এই ফলাফলটি আগেরটির মতোই আগেই বেছে নেওয়া দুটি নির্দিষ্ট উল্লম্বের জন্য প্রত্যাশিত হিট টাইমকে বোঝায়।$4n^3/27$$\frac{2}{3} n$

Comments

গ্রাফ-সরঞ্জামের ডকুমেন্টেশনে এই ত্রুটিটি চিহ্নিত করার জন্য ধন্যবাদ! প্রকৃতপক্ষে সাধারণ এলোমেলো গ্রাফগুলির জন্য গড় হিট করার সময়টি হ'ল (উদাহরণস্বরূপ arxiv.org/abs/1003.1266 দেখুন ), । এটি পরবর্তী সংস্করণে সংশোধন করা হবে। (আরও লক্ষ করুন যে গ্রাফ-সরঞ্জামটি নীচে বুস্ট গ্রাফ লাইব্রেরিটি ব্যবহার করে, তাই তারা সত্যিকার অর্থে পৃথক বাস্তবায়ন হয় না))$O(n)$$O(n \log n)$

— টিয়াগো পিক্সোটো

@ টিয়াগো আমি অবদান রাখতে পেরে খুশি! আপনার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ. আপনি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রেও প্রত্যাশিত সময়ের উল্লেখ করতে আগ্রহী হতে পারেন (তবে সম্ভাবনা নেই), যেহেতু আমি এখন ডেভিড উইলসনের একটি উত্তর দিয়ে আমার উত্তর আপডেট করেছি।

— arekolek

Answer 1

আমি নিজেই ডেভিড উইলসনকে জিজ্ঞাসা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি, এরপরেই একটি উত্তর পেয়েছে:

শীর্ষে অবস্থিত নির্দেশিত গ্রাফগুলির জন্য , সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে হিট করার সময়টি হ'ল । উদাহরণটি হল বারবেল গ্রাফ , যা দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্যের একটি পথ দ্বারা সংযুক্ত আকারের আকারের দুটি চক্র নিয়ে গঠিত । সবচেয়ে খারাপ ধ্রুবকটি কী তা আমি জানি না। [Brightwell-ভিঙ্কলারকে] (EXPECTED) আঘাত সময়ে কাগজ সৌন্দর্য এ শুরু এবং বিভক্তি । গড় আঘাতের সময়টি এলোমেলো ওয়াকের স্থিতিশীল বিতরণ থেকে স্থির এবং এলোমেলো পছন্দগুলির জন্য এর গড় গড় । এটি একটি দুর্দান্ত সত্য যে এটি উপর নির্ভর করে না$n$$\Theta(n^3)$$n/3$$n/3$$H(x,y)$$x$$y$$H(x,y)$$x$$y$$x$। আমি হিট করার সময় শিখেছি আলডাস-ফিল বইটি থেকে , যা অসম্পূর্ণ তবে ওয়েবে।

উপরোক্ত বইটিতে এই সত্যের প্রমাণও রয়েছে, যা এইভাবে চলে:

একটি গ্রাফ গঠন করা ছেদচিহ্ন, দুটি সম্পূর্ণ গ্রাফ দিয়ে শুরু ছেদচিহ্ন। পার্থক্য ছেদচিহ্ন একটি লেখচিত্র ( "বাম ঘণ্টা") এবং ছেদচিহ্ন মধ্যে অন্যান্য গ্রাফ ( "ডান ঘণ্টা") হবে। তারপরে গ্রাফগুলিকে একটি পাথ মাধ্যমে সংযুক্ত করুন ।$n=2n_1+n_2$$n_1$$v_l \neq v_L$$v_R \neq v_r$$v_L - w_1 - \cdots w_{n_2} - v_R$

তারপর এটি অনাড়ম্বরভাবে যুক্তি দেখান যে এটা সম্পর্কে গড় সময় লাগে হয় আঘাত এবং সেখানে, সেখানে সুযোগ থেকে আঘাত , তাই এটি সম্পর্কে গড় সময় লাগে আঘাত । থেকে ফিরে আসার আগে ডান বেলটি আঘাত করার প্রায় সম্ভাবনা রয়েছে , তাই ডান বেলটি প্রবেশ করতে গড় সময় লাগে ।$n_1$$v_L$$\frac{1}{n_1}$$w_1$$n_1^2$$w_1$$w_1$$\frac{1}{n_2}$$n_1^2 n_2$

সেট করা আমাদের সময় বোঝায় ।ও ( n 3$n_1 = n_2 = n/3$$O(n^3)$

স্বীকার করা, আমি যে বক্তব্য রেখেছি তাতে আমি হারিয়ে গিয়েছি:

থেকে ফিরে আসার আগে ডান বেলটি আঘাত করার প্রায় সম্ভাবনা রয়েছে ।$w_1$$\frac{1}{n_2}$

তবে আমার মনকে স্বাচ্ছন্দ্য করার জন্য, স্থির বিতরণ থেকে উত্থিত উল্লম্বগুলির মধ্যে, এইভাবে নির্মিত বারবেল গ্রাফগুলিতে আমি র্যান্ডম ওয়াকের সিমুলেশন চালিয়েছি। নিশ্চয় গড় আঘাত সময় একটি বক্ররেখা খুব চমত্কারভাবে লাগানো ।$\frac{(n+1)^3}{54}$

তবে, অনানুষ্ঠানিক প্রমাণ সম্পর্কে মন্তব্যগুলি এখনও স্বাগত।

Answer 2

সাম্প্রতিক একটি গবেষণাপত্রে আমরা উইলসনের অ্যালগরিদমের "চক্রের পপড" প্রত্যাশিত সংখ্যায় একটি এমএন ওভার বাউন্ড (কোনও বড় ও নেই) পেয়েছি এবং এটি ধ্রুবক পর্যন্ত শক্তিশালী। এটি উইলসনের অ্যালগরিদমের চলমান সময়ের প্রশ্নের সরাসরি উত্তর দেয় না কারণ পপড চক্রের গড় আকারটি সুস্পষ্ট বলে মনে হয় না। অন্যদিকে, আমার কোনও মন্তব্য দেওয়ার মতো যথেষ্ট "খ্যাতি" নেই ...