পি এর মধ্যে কোন সমস্যার জন্য ফলাফলটি খুঁজে পাওয়ার চেয়ে যাচাই করা সহজ?

Question

এনপি- সম্পূর্ণরূপে সমস্যার (অনুসন্ধান সংস্করণগুলির) জন্য , সমাধানটি যাচাইকরণের চেয়ে সমাধানটি যাচাই করা পরিষ্কারভাবে সহজ, যেহেতু একটি সাক্ষ্য সন্ধানের ক্ষেত্রে (সম্ভবত) তাত্পর্যপূর্ণ সময় লাগে সময়টি যাচাইয়ের পরে বহুবচনের মধ্যে যাচাই করা যায়।

ইন পি অবশ্য সমাধান এছাড়াও বহুপদী সময় খুঁজে পাওয়া যেতে পারে, তাই এটি সুস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে না যখন সমাধান খুঁজে বের চেয়ে যাচাইকরণ দ্রুততর। আসলে, বিভিন্ন সমস্যা এই দৃষ্টিকোণ থেকে আলাদা আচরণ করে বলে মনে হচ্ছে। কিছু উদাহরণ:

1. 3SUM: প্রদত্ত ইনপুট নম্বরগুলি, 0 এর মধ্যে তাদের মধ্যে 3 টি সন্ধান করুন যতদূর আমি জানি, দ্রুততম পরিচিত অ্যালগরিদম সময়ে চালিত হয় এবং এই আদেশটি অনুমানযোগ্য অনুকূল। অন্যদিকে , একটি সমাধানের যাচাইকরণটি আরও দ্রুততর হয়, যেহেতু আমাদের কেবল 3 টি পাওয়া সংখ্যাটি 0 এর সমষ্টি হতে হবে তা যাচাই করা উচিত।$n$$O(n^{2-o(1)})$

2. সর্বকালের সংক্ষিপ্ততম পথ: প্রান্তের ওজন সহ একটি গ্রাফ দেওয়া হয়েছে, এর সংক্ষিপ্ততম পথের দূরত্বের ম্যাট্রিক্স গণনা করুন। এই জাতীয় ম্যাট্রিক্স একবার দেওয়া হলে এটি পুনরায় কম্পিউটিংয়ের চেয়ে দ্রুততর পরীক্ষা করা যায় যে এটি প্রকৃতপক্ষে সঠিক দূরত্বের ম্যাট্রিক্স? আমার অনুমান যে উত্তরটি সম্ভবত হ্যাঁ, তবে এটি অবশ্যই 3SUM এর চেয়ে কম স্পষ্ট ।

3. রৈখিক প্রোগ্রামিং. যদি দাবি করা অনুকূল সমাধান দেওয়া হয় তবে এটি পুনরায় গণনার চেয়ে এটি পরীক্ষা করা সহজ, যখন সহায়ক তথ্যও দেওয়া হয় (একটি অনুকূল দ্বৈত সমাধান)। অন্যদিকে, যদি কেবল প্রাথমিক সমাধান পাওয়া যায় তবে এলপি সমাধানের চেয়ে কেউ দ্রুত এটি পরীক্ষা করতে পারে কিনা তা পরিষ্কার নয়।

প্রশ্ন: এই বিষয় সম্পর্কে কী জানা যায়? অর্থাত্, সমাধান অনুসন্ধানের চেয়ে পি-তে কোনও সমস্যার সমাধান কখন যাচাই করা সহজ ?

Comments

আমি মনে করি যে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি থেকে অনেকগুলি উদাহরণ আসে যা আমরা যখন কিছু পরামিতিগুলি স্থির করি তখন পি তে পড়ে। উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষণ একটি গ্রাফ আকারের একটি উপদল রয়েছে সংশোধন জন্য । যাচাইকরণটি রৈখিক সময় নেয়, তবে পি = এনপি না হলে অনুসন্ধানের সমস্যা (বহুপদী) জটিলতা$k$$k$$k$

— মারজিও ডি বিয়াসি

আমরা যাচাই করতে পারি যে ইন্টিজারের একটি তালিকা তুলনা সহ বাছাই করা হয়েছে , তবে একটি অরসোর্টড তালিকা বাছাই করতে তুলনা লাগে । $n$$n-1$$\Theta(n \log n)$

— থমাস

আপনি কি চান যে উভয়ই হ্যাঁ যাচাই করা সহজ হবে এবং সিদ্ধান্ত সমস্যার কোনও দৃষ্টান্ত নেই? 3 এসএমএম-এর জন্য, ধ্রুব সময়ে হ্যাঁর উদাহরণগুলি যাচাই করা সহজ তবে আমি জানি না যে কোনও উদাহরণ যাচাই করা সহজ কিনা। বা ম্যাট্রিক্সের গুণনের মতো নন-বুলিয়ান আউটপুট রয়েছে এমন সমস্যাগুলির প্রান্তে আপনি কি আরও ভাবছেন? (ম্যাট্রিক্সের গুণনটি আপনি কী চান তার একটি উদাহরণ যা আপনি এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদমগুলিকে অনুমতি দেন))

— রবিন কোঠারি

"অন্যদিকে, একটি সমাধানের যাচাইকরণ আরও দ্রুত হয়, যেহেতু আমাদের কেবলমাত্র 3 টি পাওয়া সংখ্যাটি প্রকৃতপক্ষে 0 এর সমষ্টি যাচাই করতে হবে" " - আমাদের এটিও পরীক্ষা করে দেখতে হবে যে 3 পাওয়া নম্বরগুলি আসলে ইনপুটটির অংশ।

— এইচডিভি

এমন কোন সমস্যা আছে যার জন্য আমরা জানি যে যাচাইকরণ সহজ নয়?

— রাফেল

Answer 1

এটি জানা যায় যে একটি গ্রাফ জি এবং একটি গাছ টি দেওয়া হয়েছে, এটি লিনিং টাইমে যাচাই করা যেতে পারে যে টি হ'ল ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি But কিন্তু আমাদের কাছে এখনও এমএসটি গণনা করার জন্য একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক লিনিয়ার টাইম অ্যালগরিদম নেই। অবশ্যই ব্যবধানটি ক্ষুদ্র (1 বনাম ), তবে এটি এখনও রয়েছে :))$\alpha(n)$

Comments

হতে পারে এটি যুক্তিযুক্ত যুক্তিযুক্ত যে এখানে একটি এলোমেলাইট অ্যালগরিদম রয়েছে যা প্রত্যাশিত রৈখিক সময় (কার্গার-ক্লিন-টারজান অ্যালগরিদম) এ চলে।

— সাশো নিকোলভ

এছাড়াও, যে কোনও লিঙ্ক চাইলে, এটি হ'ল সহজতম লিনিয়ার-টাইম এমএসটি যাচাইকরণ অ্যালগরিদম আমি সম্পর্কে অবগত: webhome.cs.uvic.ca/~val/Publications/Algorithmica-MSTverif.ps ।

— সাশো নিকোলভ

Answer 2

এই কাগজটি দেখায় যে ম্যাক্স ফ্লো, 3 এসএম এবং এপিএসপি সহ 3 টি সমস্যার জন্য ইয়েস এবং না উভয় ক্ষেত্রেই যাচাইকরণ অ্যালগরিদম রয়েছে, যা সমাধানটি নিজেই গণনা করার জন্য জানা সীমানার চেয়ে বহুবর্ষীয় ফ্যাক্টর দ্বারা দ্রুততর হয় ।

এখানে এক ধরণের সমস্যা রয়েছে, যা চলমান সময়ের উন্নতি করে সেথ-হার্ড, যার সমাধানের গণনা করার জন্য কোনও উদাহরণ না যাচাই করার জন্য চলমান সময়টি তুলনামূলকভাবে দ্রুততর হওয়ার সম্ভাবনা কম, অন্যথায় এই কাগজ থেকে ননডেস্ট্রিমেন্টিক বলে অনুমান স্ট্রং এক্সপোনেনশিয়াল টাইম হাইপোথিসিস ব্যর্থ হবে।

Answer 3

কিছু সমস্যার জন্য কোনও পার্থক্য বলে মনে হচ্ছে। বিশেষত, ভ্যাসিলিভস্কা উইলিয়ামস এবং উইলিয়ামস শো:

• বুলিয়ান ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য, ম্যাট্রিক্স পণ্যটি গণনা করা এবং ম্যাট্রিক্স পণ্যটি সাবকিউবিক-সমতুল্য যাচাই করা হচ্ছে যার অর্থ তাদের উভয়ের উভয়ই সাবকিউবিক-টাইম অ্যালগোরিদম রয়েছে বা তাদের দুটিও নেই।

• কোনও "বর্ধিত (মিনিট, +) কাঠামো" (ম্যাসেজের সংজ্ঞাটি দেখুন তবে এতে প্রচুর প্রাকৃতিক সমস্যা রয়েছে) এর ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স পণ্য গণনা এবং যাচাইকরণের ক্ষেত্রেও এটি একই।

(এখন, অবশ্যই, এটি সম্ভবত সম্ভব যে এই সমস্যাগুলির সকলের সাবকিউবিক অ্যালগরিদম রয়েছে এবং তারপরে কম্পিউটিং এবং যাচাইয়ের মধ্যে বহুপদী পার্থক্য থাকতে পারে, তবে এই সমস্যার জন্য একটি ঘনক পার্থক্য থাকতে পারে না And এবং এটি আমার পক্ষে প্রশংসনীয় বলে মনে হয়) বাস্তবে এগুলি সকলেরই মূলত ঘন সময় প্রয়োজন)

Comments

অন্যদিকে, একটি বৃহত যথেষ্ট ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য, যাচাইকরণের জন্য একটি চতুর্ভুজ সময় র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম রয়েছে, যখন পণ্যটি গণনার জন্য দ্রুততম চলমান সময়টি এন ome ওমেগা।

— থ্যাচাফোল

@ থাটাফোল: হ্যাঁ, যদিও অনেক লোক ওমেগা = ২ বিশ্বাস করে ... এছাড়াও, এটি ব্যাপকভাবে স্বীকৃত যে বুলিয়ান ম্যাট্রিক্স গুণন (অর্থাত্ বুলিয়ান এবং-বা অর্ধ-রিংয়ের উপর ম্যাট্রিক্স মুলকে গণনা করা) এর চেয়ে ম্যাট্রিক্স গুণনের চেয়ে কিছুটা আলাদা প্রকৃতি রয়েছে ক্ষেত্র।

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 4

• অ্যারেতে কোনও মান বিদ্যমান কিনা তা নির্ধারণ করতে সময় লাগবে (বা অ্যারে বাছাই করা থাকলে )।Ω ( লগ এন $\Omega(n)$$\Omega(\log n)$

  কোন অ্যারে প্রদত্ত মানটিতে প্রদত্ত মানটি রয়েছে তা যাচাই করা সময় সময়ে সম্ভব ।$O(1)$

• (তুলনা মডেল) বাছাই সময় লাগে কিন্তু যাচাই করছে যে একটি অ্যারের বা তালিকা অনুসারে বাছাই করা হয় সম্ভব সময় হয় ।ও ( এন $\Omega(n \log n)$$O(n)$

Comments

অনুরূপ: একটি সদৃশ উপাদান রয়েছে কিনা তা নির্ধারণের তুলনা মডেলটিতে রয়েছে তবে অবশ্যই যাচাই করা যেতে পারে । ও ( 1 $\Omega(n \log n)$$O(1)$

— SamM

@ সামম: আপনার অর্থ যাচাই করা হয়েছে ? আপনি ঠিক কি দেওয়া হয়? আমার মনে হচ্ছে আপনি অন্যায় তুলনা করছেন। $O(n)$

— মেহরদাদ

@ মেহরদাদ ভাল পয়েন্ট; যদি আপনাকে মান (সূচকগুলির পরিবর্তে) দেওয়া হয় তবে এটি যাচাই করা । আমি একটি ভাল যুক্তি দেখতে পাচ্ছি যে এটি দেখার আরও ভাল উপায়। $\Theta(n)$

— স্যামএম

Answer 5

আমি মনে করি যে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি থেকে অনেকগুলি উদাহরণ আসে যা আমরা যখন এক বা একাধিক পরামিতিগুলি ঠিক করি তখন পি এর মধ্যে পড়ে ।

উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষণ একটি গ্রাফ আকারের একটি উপদল রয়েছে দ্বারা NP-সম্পূর্ণ যদি ইনপুট, বহুপদী টাইম সমাধেয় যদি অংশ সংশোধন করা হয়েছে।ট $k$$k$$k$

যে কোনও স্থির , যাচাইকরণটি রৈখিক সময় নেয়, তবে না থাকলে অনুসন্ধানের সমস্যা (বহুভুজ) জটিলতা ( উপর নির্ভর করে ।পি = এন পি কে Ω ( এন কে ) $k$$P=NP$$k$$\Omega(n^k) )$

অন্যান্য উদাহরণ: দৈর্ঘ্যের এর একটি হ্যামিল্টোনীয় পথ সন্ধান করা, সীমানা গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলিতে রঙ করা, ...$k$

Answer 6

প্রাথমিকতা নির্ধারণ: একেএসের সর্বাধিক পরিচিত রূপটি সময়ের মধ্যে আধ্যাত্মিকতা নির্ধারণ করে appears তিল্ড appears , যেখানে আদিমতার ক্লাসিকাল প্র্যাট শংসাপত্রটি বোঝায় যে আদিমতার প্রাথমিক শাস্ত্রীয় প্রথা শংসাপত্রটি নির্ধারিত সময়ে নির্ধারিত সময়ে সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে । ˜ ও (এন3$\tilde{O}(n^6)$$\tilde{O}(n^3)$

Comments

পরিপূরক (যৌগিকতা) সাক্ষ্য করা এমনকি আরও সহজ!

— যোনাতন এন

Answer 7

আবদৌদ এট আল এর একটি কাগজ। সম্প্রতি সোডা-তে গৃহীত হয়েছে 2016 এ দেখায় যে সাবট্রি আইসোমর্ফিজমকে সময়ে সমাধান করা যাবে না যদি না শক্তিশালী ঘনঘটিত সময় অনুমানটি মিথ্যা হয়। অবশ্যই, আমরা রৈখিক সময়ে একটি আইসোমরফিজম যাচাই করতে পারি।$O(n^{2-\epsilon})$

অন্য কথায়, SETH আমাদের natural in একটি সন্ধান এবং যাচাইয়ের মধ্যে ফাঁক দিয়ে একটি প্রাকৃতিক সমস্যা দেয় । Ω ( এন 1 - ϵ$\sf{P}$$\Omega(n^{1-\epsilon})$

বিশেষত, একটি শিকড়, ধ্রুবক-ডিগ্রি গাছগুলির জন্য পরিচিত (যার জন্য অ্যাবউড এট আল এর নিম্ন সীমাবদ্ধ ফলাফল এখনও প্রযোজ্য)। সুতরাং SETH এর অধীনে প্রায় লিনিয়ার সন্ধানের যাচাই-বাছাইয়ের ফাঁকটি এই সমস্যার জন্য মূলত শক্ত।$O(n^2/\log n)$