কোন গ্রাফ পরামিতি এলোমেলো গ্রাফগুলিতে কেন্দ্রীভূত নয়?

Question

এটি সুপরিচিত যে অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ গ্রাফ পরামিতি কমপক্ষে প্রান্ত সম্ভাবনার কয়েকটি পরিসরে র্যান্ডম গ্রাফগুলিতে (শক্তিশালী) ঘনত্ব প্রদর্শন করে। কিছু বৈশিষ্ট্যসূচক উদাহরণ বর্ণীয় নম্বর, সর্বোচ্চ চক্র সর্বাধিক স্বাধীন সেট, সর্বোচ্চ ম্যাচিং, আধিপত্য নম্বর, একটি নির্দিষ্ট subgraph, ব্যাস, সর্বোচ্চ ডিগ্রী, পছন্দ সংখ্যা কপির সংখ্যা (তালিকা নম্বর শোভা) হয়, Lovasz $\theta$ -number বৃক্ষ প্রস্থ, প্রভৃতি

প্রশ্ন: কোনটি ব্যতিক্রম, অর্থাত্ গ্রাফিক প্যারামিটারগুলি এলোমেলো গ্রাফগুলিতে কেন্দ্রীভূত নয় ?

সম্পাদনা করুন। ঘনত্বের সম্ভাব্য সংজ্ঞা এটি হ'ল:

$X_n$$n$$\epsilon>0$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$$ $X_n$$p$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$$ যা সংক্ষিপ্ততম অন্তর অন্তর (যেমন ডিগ্রিটি পূর্ণসংখ্যা, তবে প্রত্যাশিত মান হতে পারে না)।

দ্রষ্টব্য: ঘনত্বের নিয়ম থেকে কেউ কৃত্রিম ছাড় তৈরি করতে পারেন । উদাহরণস্বরূপ, যদি $X_n=n$ সংখ্যা, এবং অন্যথায় 0 থাকে তবে X_n = n দিন । এটি পরিষ্কারভাবে কেন্দ্রীভূত নয়, তবে আমি এটিকে অর্থবোধক পরামিতি হিসাবে বিবেচনা করব না ।

Comments

দয়া করে এলোমেলো গ্রাফগুলিতে দৃ strong় ঘনত্বের সংজ্ঞা দিন ।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তি

সম্ভবত সংজ্ঞাটি হ'ল "খুব উচ্চ সম্ভাবনা (1-এক্সপ্রেস) যে প্যারামিটার নির্দিষ্ট (ছোট) ব্যাপ্তিতে"।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি একটি সংজ্ঞা অন্তর্ভুক্ত করার জন্য আমি প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি।

— আন্দ্রেস ফারাগো

সংযোগের মতো সম্ভবত সহজ বাইনারি সম্পত্তি (গুলি)? বা হতে পারে বাইনারি বৈশিষ্ট্য বাদ দেওয়ার ধারণা? মনে করুন এটির জন্য এলোমেলো গ্রাফের মডেলটির আরও ভাল বিশ্লেষণ প্রয়োজন। জন্য erdos-renyi গ্রাফ (নয তোমার মনে কি আছে? যে), সংযোগ নিজেই একটি থ্রেশহোল্ড প্রপঞ্চ মাধ্যমে যায়।

— vzn

ঘনত্ব কি কেবল প্রত্যাশায় ঘটতে হবে? আমি একটি নির্দিষ্ট subgraph কপি সংখ্যা মনে ঘনীভূত হয়েছে, কিন্তু প্রায় যদি না প্রত্যাশা সুষম হয়। $H$$H$

— অরবিন্দ

Answer 1

বৃহত্তম সংযুক্ত উপাদান অনেক পরামিতি জন্য ঘনীভূত নেই যদি এবং আরো সাধারণভাবে যদি সমালোচনামূলক উইন্ডোতে হয়। উদাহরণগুলি হ'ল ব্যাস এবং বৃহত্তম উপাদানগুলির আকার, দ্বিতীয় বৃহত্তম উপাদানটির আকার, উপাদানটির পাতার সংখ্যা ইত্যাদি are$G(n,p)$$p=1/n$$p$

যেমন দেখুন

অ্যালডাস, ডেভিড। "ব্রাউনিয়ান ভ্রমণ, সমালোচনামূলক এলোমেলো গ্রাফ এবং গুণক সমাহার।" সম্ভাব্যতার অ্যানালস (1997): 812-854।

নাচমিয়াস, আসফ এবং যুবাল পেরেস। "সমালোচনামূলক এলোমেলো গ্রাফ: ব্যাস এবং মিশ্রণের সময়।" সম্ভাব্যতার এ্যানালস ৩ 36, নং। 4 (2008): 1267-1286।

অ্যাডারিও-বেরি, লুইজি, নিকোলাস ব্রাউটিন এবং ক্রিস্টিনা গোল্ডশ্মিট t "জটিল এলোমেলো গ্রাফগুলির ধারাবাহিক সীমা limit" সম্ভাবনা তত্ত্ব এবং সম্পর্কিত ক্ষেত্র 152, নং। 3-4 (2012): 367-406।

Answer 2

কিছু গণনা ( ) বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য কেন্দ্রীভূত করতে ব্যর্থতা এবং সম্ভবত তাদের অনেকের জন্যই ঘটে।$\#\mathsf{P}$

একটি সাধারণ উদাহরণ হ'ল বিস্তৃত সাবগ্রাফের সংখ্যা ( )। এলোমেলো গ্রাফের কিনারার সংখ্যা ওঠানামা করে সুতরাং বিস্তৃত সাবগ্রাফার সংখ্যা এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা ওঠানামা করে , আপনি ফ্যাক্টর থেকে খুব দূরে away আপনার ঘনত্বের সংজ্ঞা ব্যবহার করছে।$2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

এটি কোনও বিচ্ছিন্ন উদাহরণ নয় তা দেখানোর জন্য, কেন কেন্দ্রীভূত হওয়াতে ব্যর্থতা হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য হওয়া উচিত তার জন্য এখানে একটি যুক্তি রয়েছে (সম্পূর্ণ কঠোর নয় তবে সম্ভবত কঠোরভাবে তৈরি করা সম্ভব)। এই সংখ্যার প্রত্যাশিত মানটি স্পষ্টভাবে : প্রতিটি চক্রের অনুক্রমের ক্রমগুলি আসলে 1 হওয়ার chance সম্ভাবনা রাখে হ্যামিল্টোনীয় চক্র। অনুরূপ যুক্তি অনুসারে, একটি নতুন প্রান্ত প্রবর্তনের ফলে এই সংখ্যায় পরিবর্তিত হওয়ার প্রত্যাশিত পরিমাণটি হবে , লিনিয়ার ফ্যাক্টর দ্বারা ছোট। হ্যামিলটোনিয়ান চক্রের সংখ্যাটি যদি দৃ strongly়ভাবে কেন্দ্রীভূত করা হত, তবে বেশিরভাগ প্রান্তের ফ্লিপগুলি এই সংখ্যায় একটি পরিমাণে পরিবর্তন আনতে পারে যা এটির প্রত্যাশিত মানের কাছাকাছি। তবে তারপরে$(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$ প্রান্তের সংখ্যায় ওঠানামা হ্যামিলটোনীয় চক্রের সংখ্যার ওঠানামার কারণ এটির প্রত্যাশিত মানের সাথে সমানুপাতিক, দৃ strong় ঘনত্বের অনুমানের সাথে বিরোধী।

ঘনত্বের ক্ষেত্রে ব্যর্থতার জন্য অন্যান্য প্রশংসনীয় প্রার্থীদের মধ্যে রঙিন সংখ্যার সংখ্যা (স্বতন্ত্র সেটে উল্লম্বের পার্টিশন), ম্যাচিংয়ের সংখ্যা বা নিখুঁত মিলের সংখ্যা বা বিস্তৃত গাছের সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

Comments

এই প্রকৃতপক্ষে আকর্ষণীয় উদাহরণ। দৃশ্যত, তারা সকল প্যারামিটার যে ব্যাখ্যা মূলকভাবে বড় হতে পারে প্রয়োজন, । আমি ভাবছি যে গ্রাফ আকারের একটি বহুবর্ষ দ্বারা আবদ্ধ তাদের মধ্যে যদি কোনও অর্থবহ অ-কেন্দ্রীভূত প্যারামিটার থাকে? $n$

— আন্দ্রেস ফারাগো

এমনকি এলোমেলো গ্রাফের জি (এন, এম) মডেলের এমন প্রাকৃতিক বৈশিষ্ট্যগুলিও কেন্দ্রীভূত নয় এমন সন্ধান করাও আগ্রহী হবে; এই উত্তরের উত্তরগুলি কেবল জি (এন, পি) এর জন্য কাজ করে।

— ডেভিড এপস্টেস্টিন

ডেভিডের "গণনা যুক্তি" উত্তরগুলি আমার কাছে সর্বদা এত অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ। : ডি

— ড্যানিয়েল আপন