একটি 4-চক্রের মুক্ত গ্রাফ

Question

$k$ -cycle সমস্যা নিম্নরূপ:

উদাহরণ: একটি আনইরেক্টার্ড গ্রাফ $G$ সহ $n$ শিখর এবং to পর্যন্ত কিনারা ।$n \choose 2$

প্রশ্ন: জি-তে কি (যথাযথ) সাইকেল রয়েছে ?$k$$G$

পটভূমি: কোনও স্থির $k$ , আমরা ও (এন ^ 2) সময়ে 2 $2k$ সাইকেলটি সমাধান করতে পারি ।$O(n^2)$

রাফেল ইয়াস্টার, উরি জুইক: এমনকি সাইকেল আরও দ্রুততর সন্ধান করা। সিয়াম জে।
স্বচ্ছ ম্যাথ। 10 (2): 209-222 (1997)

তবে, আমরা ম্যাট্রিক্সের গুণণের চেয়ে কম সময়ে 3-চক্র (অর্থাত্ 3-চক্র) সমাধান করতে পারি কিনা তা জানা যায়নি।

আমার প্রশ্ন: Assuming যে কোন 4-চক্র রয়েছে, আমরা 3-চক্র সমস্যার সমাধান করতে পারে সময়?$G$$O(n^2)$

ডেভিড সময়ে 3-চক্র সমস্যার এই রূপটি সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতির পরামর্শ দিয়েছিল ।$O(n^{2.111})$

Comments

মনে হচ্ছে যে একটি গ্রাফ 'র ক্ষুদ্রতম চক্র কমপক্ষে দৈর্ঘ্য 5, তারপর, এটা সর্বাধিক হয়েছে প্রান্ত। লিঙ্ক: link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638ও ( এন $G$$O(n^{\frac{3}{2}})$

— মাইকেল ওয়েহার

অতিরিক্ত তথ্য এই কাগজে পাওয়া যাবে: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121

— মাইকেল ওয়েহার

আমি মনে করি আপনারও আগ্রহ থাকতে পারে আইজেনব্রান্ড, ফ্রেড্রিচ এবং ফ্যাব্রিজিও গ্রানডোনির প্রতি। "নির্দিষ্ট প্যারামিটার চক্র এবং প্রভাবশালী সেট জটিলতায় On" তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান 326.1 (2004): 57-67। (আপনি যদি ইতিমধ্যে এটি সম্পর্কে অবগত না হন)।

— জুহো

Answer 1

হ্যাঁ, এটি জানা যায়। এটি ত্রিভুজটি সন্ধানের জন্য অবশ্যই আবশ্যক উল্লেখযোগ্য উল্লেখগুলির মধ্যে একটিতে উপস্থিত হবে ...

যথা, ইতাই এবং রোদহে 1978 সালে SICOMP এ দেখানো হয় যে সময়ে কীভাবে সন্ধান করা যায়, নূন্যতম দৈর্ঘ্যের চক্রের চেয়ে একটি গ্রাফের একটি চক্রের সর্বাধিক এক প্রান্ত রয়েছে। (বিমূর্তের প্রথম তিনটি বাক্য এখানে দেখুন: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) প্রস্থের প্রথম বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে এটি একটি সহজ পদ্ধতি অনুসন্ধান করুন।$O(n^2)$

সুতরাং, যদি আপনার গ্রাফটি 4-চক্র মুক্ত হয় এবং ত্রিভুজ থাকে তবে তাদের অ্যালগরিদম অবশ্যই এটিকে আউটপুট দেয়, কারণ এটি 5-চক্র বা তার চেয়ে বড় এর আউটপুট দিতে পারে না।

Answer 2

এটা তোলে দ্বিঘাত না, কিন্তু alôn Yuster এবং জুইক ( "ফাইন্ডিং এবং বেড়ে চলেছে দেওয়া দৈর্ঘ্য চক্র", Algorithmica 1997) সময় ত্রিভুজ খোঁজার জন্য একটি আলগোরিদিম দিতে , যেখানে ω ফাস্ট জন্য এক্সপোনেন্ট হয় ম্যাট্রিক্সের গুণ 4-চক্র-মুক্ত গ্রাফের জন্য, ω < 2.373 n এ প্লাগ ইন করুন$O(m^{2\omega/(\omega+1)})$$\omega$$\omega<2.373$ এবং (অন্যথায় একটা হল 4 -cycle অস্তিত্ব নির্বিশেষে 3 -cycles) দেয় সময় হে $m=O(n^{3/2})$$4$$3$।$O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

Comments

এটা অসাধারণ! আমি সত্যিই এটার প্রশংসা করছি. :)

— মাইকেল ওয়েহর

হ্যাঁ, যদি কোনও গ্রাফের 4-চক্র থাকে না তবে তারপরে সর্বাধিক $O(n^{\frac{3}{2}})$

আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করুন দেখে মনে হচ্ছে এরদোসের "দ্য ইওন সার্কিট থিওরেম" বলে যে কোনও গ্রাফ থাকলে$2k$$O(n^{1+\frac{1}{k}})$ প্রান্ত। লিংক: বিজ্ঞান ডিরেক্টরি

— মাইকেল ওয়েহার

$O(n^{\frac{4}{3}})$$O(n^{1.876})$ সময় পদ্ধতি যে ডেভিড প্রস্তাব ব্যবহার করে। :)

— মাইকেল ওয়েহর

$k > 2$$G$$2k$$G$$G$$k = 2$$O(n^{2.111})$