অনুমান: সমস্ত এফপিটি এনপি-সম্পূর্ণ ভাষাগুলি ফিক্সড-প্যারামিটার-আইসোমোরফিক ph

Question

বার্মান – হার্টম্যানিস অনুমান: সমস্ত এনপি-সম্পূর্ণ ভাষাগুলি একরকম দেখায়, এই অর্থে যে তারা বহু-কালীন আইসোমরফিজম [1] দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে।

আমি "বহুপদী সময়" এর আরও সূক্ষ্ম সংস্করণে আগ্রহী, অর্থাত্ যদি আমরা প্যারামিটারাইজড হ্রাস ব্যবহার করি।

একটি প্যারামিটারাইজড সমস্যা হ'ল এর একটি উপসেট $Σ^∗ × Z \geq 0$, যেখানে $Σ$ একটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালা এবং $Z\geq 0$ হ'ল ননজেটিভ সংখ্যার সেট। প্যারামিটারাইজড সমস্যার একটি উদাহরণ হ'ল একটি জুড়ি $(I, k)$ , যেখানে $k$ প্যারামিটার।

একটি প্যারামিটারাইজড সমস্যা $π_1$ হ'ল একটি প্যারামিটারাইজড সমস্যার সাথে পরামিতি $π_2$ যদি ফাংশন উপস্থিত থাকে তবে $f$ , $g$ : $Z≥0 → Z≥0$ , $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ এবং একটি বহুপদী $p(·)$ যেমন যে কোনো উদাহরণস্বরূপ $(I, k)$ এর $π_1$ , $(Φ(I, k), g(k))$ একটি দৃষ্টান্ত হল $π_2$ সময় গণনীয় $f(k) · p(|I|)$ এবং $(I, k) ∈ π_1$ যদি এবং কেবল $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ । দুটি পরামিতি সমস্যা স্থির-পরামিতি সমতুল্য হয় যদি তারা একে অপরের কাছে স্থির-পরামিতি হ্রাসযোগ্য হয়।

কিছু এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি হ'ল এফপিটি, উদাহরণস্বরূপ, ভার্টেক্স কভার সমস্যার সিদ্ধান্ত সংস্করণটি এনপি-কমপ্লিট, এটিতে একটি ও (1.2738 ^ কে + এন)$O(1.2738^k + kn)$ অ্যালগরিদম [২] রয়েছে। একটি FPT সমস্যা যা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হলে, একটি ভাল অ্যালগোরিদম হতে পারে যেমন, যোগাযোগ ইত্যাদির নানাপথ সমন্বিত কাটা সমস্যা একজন "উপরের গ্যারান্টি সংস্করণ" করার জন্য একটি হ্রাস invoking সময় একটি আলগোরিদিম হতে পারে দ্বারা ভালো নির্দিষ্ট পরামিতি কমানোর খোঁজা $O^*(4^k)$ এজিভিসি (গ্যারান্টি ভার্টেক্স কভারের উপরে) সমস্যার জন্য [3], যা মূল $O^*(15^k)$ অ্যালগরিদম [4] এর চেয়ে ভাল।

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

এটা কি অনুমান সত্য?

[1] বারম্যান, এল .; হার্টম্যানিস, জে। (1977), "এনসো এবং অন্যান্য সম্পূর্ণ সেটগুলির বিস্মরণ ও ঘনত্ব অন", সিয়াম জার্নাল অন কম্পিউটিং 6 (2): 305–322 –

[২] জে চেন, আইএ কানজ এবং জি জিয়া, ভার্টেক্স কভারের জন্য উন্নততর উপরের সীমা, থিওর.কমপুট। বিজ্ঞান। 411 (2010), পৃষ্ঠা 3736-3756।

[৩] আইপিইসি, ২০১১-তে এম। সাইগান, এম। পিলিপকজুক, এম। পিলিপসকুক এবং জেও ভোজতাজকিজিক, মাল্টিওয়ে কাট প্যারামিটারাইজড নিম্নতর সীমার উপরের, ২০১১-এ।

[4] এম। মহাজন এবং ভি। রমন, গ্যারান্টিযুক্ত মানগুলির উপরে প্যারামিটারাইজিং: ম্যাক্স্যাস্যাট এবং ম্যাক্সকুট, জে। অ্যালগরিদমস, 31 (1999), পৃষ্ঠা 335-354।

Comments

"এফপিটি এনপি-সম্পূর্ণ ভাষা" বলতে আপনি কী বোঝেন তা আমি বুঝতে পারি না। এফপিটি হওয়ায় কোনও ভাষার নিজস্ব ধারণা নেই; কোনও ভাষা / প্যারামিটারের জুটি এফপিটি হয় কিনা তা প্রশ্ন।

— হক

মনে রাখবেন যে একটি স্থির-পরামিতি হ্রাস কেবলমাত্র একটি FPT সমস্যা সমাধান করতে পারে এবং লক্ষ্য সমস্যার কোনও তুচ্ছ হাঁ / হ্যাঁ আউটপুট দেয়।

— সার্জ গ্যাসপার্স

Answer 1

সার্জ গ্যাস্পার্স ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছেন যে আপনার অনুমান কেন তুচ্ছ।
যাইহোক, একজন আসলে বহুপাক্ষিক-সময় স্থির-প্যারামিটার আইসোমর্ফিজমগুলি পেতে পারেন ,
যা আমি এখন বুঝতে পারি যে এটি খুব কম তুচ্ছ নয়, কারণ এটি
সাধারণ অর্থে হ্রাসের সাথে প্রতিটি অর্ডারযুক্ত অ-তুচ্ছ এফপিটি সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ।

যাক একটি পূর্ণসংখ্যা জন্য FPT আলগোরিদিম ডিগ্রী তার চেয়ে অনেক বেশী যে হতে , দিন এবং হ্যা এবং যথাক্রমে কোন দৃষ্টান্ত হতে । নিম্নলিখিতটি বহু-কালীন স্থির-পরামিতি হ্রাস থেকে :$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

পদক্ষেপের জন্য এ এফপিটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে দেখুন । যদি এটি কোনও উত্তর দেয়, তবে উত্তর দ্বারা নির্দেশিত হিসাবে বা আউটপুট । অন্যথায়, সাধারণ বহুপদী সময় হ্রাসকে থেকে । সঠিকতা এবং বহুপদী রানটাইম সুস্পষ্ট। যেহেতু জন্য FPT আলগোরিদিম ডিগ্রী চেয়ে বেশী , এটা যদি প্রতিটি নির্দিষ্ট জন্য মাত্র finitely অনেক ইনপুট লেন্থ হয় , যার জন্য FPT অ্যালগরিদম সর্বোচ্চ রানটাইম না চেয়ে কম হয়$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$ । সুতরাং, প্রতিটি স্থির , উপরের হ্রাস শুধুমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেক আউটপুট আছে। অতএব এটি আপনার স্থির-পরামিতি শর্তটিকে সন্তুষ্ট করে।$\:$$k$$\:$