কার্জারের অ্যালগোরিদম ব্যবহার না করে গ্রাফের মিনিট কাটের সংখ্যা

Question

আমরা জানি যে কার্জারের মিনকুট অ্যালগরিদমটি প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে (অ-গঠনমূলক উপায়ে) যে কোনও গ্রাফের সর্বাধিক সংখ্যক মিনিট কাট থাকতে পারে ।$n \choose 2$

আমি ভাবছিলাম যে আমরা কোনওভাবেই মিনকটের সেট থেকে অন্য কার্ডিনালিটির সেটগুলিতে বাইজিক (বরং ইনজেকশন) প্রমাণ দিয়ে এই পরিচয়টি প্রমাণ করতে পারি $n \choose 2$ । নির্দিষ্ট কারণ নেই, এটি কেবল একটি কৌতূহল। আমি নিজে থেকে এটি করার চেষ্টা করেছি তবে এখনও পর্যন্ত কোনও সাফল্য পাইনি। আমি চাই না যে কেউ এই বিষয়ে সময় নষ্ট করবেন এবং তাই যদি প্রশ্নটি অর্থহীন বলে মনে হয় আমি মডারেটরদের সেই অনুযায়ী ব্যবস্থা নেওয়ার জন্য অনুরোধ করব।

সেরা -আকাশ

Comments

কুমার, একটি $n$ ভার্টেক্স চক্রের $n$ মিনকাট রয়েছে, প্রতিটি খণ্ডকে বাকী গ্রাফ থেকে পৃথক করে, তাই মিনকটের সংখ্যা এন-এর চেয়ে কম কম 2 বেছে নিতে পারে $n\choose 2$।

— মার্কাস রিট

এই সংযুক্তি প্রমাণ করার জন্য এটি একটি খুব অ্যাক্সেসযোগ্য নোট। cs.elte.hu/egres/qp/egresqp-09-03.ps

— চাও Xu

Answer 1

আবদ্ধ আমি মনে করি মূলত "একটি গ্রাফ সব ন্যূনতম মধ্যেও সিস্টেমের জন্য কাঠামোকে '1976 সালে Dinitz, Karzanov এবং Lomonosov দ্বারা প্রমাণিত হয়। আপনি এই গবেষণাপত্রে যা সন্ধান করছেন তা পেতে পারেন তবে এটি অনলাইনে আছে কিনা তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই।$\binom{n}{2}$

Comments

ধন্যবাদ জেলানী .... অনলাইনে কাগজটি দেখার চেষ্টা করেছে। এখনও ভাগ্য নেই। আমি মনে করি আমি আমার কলেজের লাইব্রেরিটি চেষ্টা করব। ইতিমধ্যে, আপনি যদি সময়টি খুঁজে পান (এবং এটির জন্য প্রস্তুত হন) আপনি কি কাগজের মূল ধারণাগুলি হাইলাইট করার চেষ্টা করতে পারেন? আপনি যদি পারতেন তবে দুর্দান্ত লাগবে। আবার ধন্যবাদ!

— আকাশ কুমার

দুঃখিত, আমি জানি না যে তাদের প্রমাণগুলি কীভাবে কাজ করে। : / সম্ভবত সম্ভবত রবার্ট বিক্সবীর কিছু কাজ বোঝানো এর আগে প্রমাণ হতে পারে। কিছু গুগলিংয়ের মাধ্যমে আপনি যা জানেন তার চেয়ে বেশি আপনি সম্ভবত খুঁজে পেতে সক্ষম হবেন (বা সম্ভবত যে আরও কিছু জানেন তিনি এখানে আরও ভাল উত্তর দিতে পারেন)। আমি নিজেই উত্তরটি শুনতে আগ্রহী ... মনে আছে কার্গারের অ্যালগরিদম আমি যখন প্রথম জানলাম তখন একবার এই একই প্রশ্নটি নিয়ে ভাবছিলাম।

— জেলানী নেলসন

Answer 2

অনানুষ্ঠানিকভাবে, কেউ তর্ক করতে পারে যে সর্বাধিক সংখ্যক ন্যূনতম কাটা থাকতে, গ্রাফের সমস্ত নোডের অবশ্যই একই ডিগ্রি থাকতে হবে।

একটি কাটা গ্রাফ কে দুটি নোড এবং সেট করুন যাতে । কোনও গ্রাফের ন্যূনতম কাটের সংখ্যাকে হিসাবে চিহ্নিত করা যাক ।$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

উল্লম্ব সহ একটি সংযুক্ত গ্রাফটি বিবেচনা করুন যাতে প্রতিটি শীর্ষাংশের ডিগ্রি দুটি থাকে। এটি অবশ্যই চক্র গ্রাফ এবং ন্যূনতম কাটা দুটি প্রান্ত হতে হবে। এটা সুস্পষ্ট যে যে কোনও দুটি প্রান্ত কাটা কাটা কাটার ফলত এবং এ জাতীয় কাটা ন্যূনতম কাটা। যেহেতু স্বতন্ত্র জোড়া প্রান্ত রয়েছে সেখানে সর্বনিম্ন কাট রয়েছে।$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

চক্র গ্রাফ থেকে একটি প্রান্ত সরিয়ে একটি নতুন গ্রাফ তৈরি করুন। নতুন গ্রাফের সর্বনিম্ন কাটা এক প্রান্ত এবং যে কোনও প্রান্ত কাটা যথেষ্ট হবে: মতো কাটা রয়েছে।$n-1$

চক্র গ্রাফটিতে একটি প্রান্ত যুক্ত করে একটি নতুন গ্রাফ তৈরি করুন। এখন দুটি নোডের ডিগ্রি থ্রি এবং নোডের ডিগ্রি টু রয়েছে। ডিগ্রি তিনটি নোড উভয়ই অন্তর্গত বা উভয়ই অন্তর্গত । নোট করুন যে চক্রের গ্রাফের ক্ষেত্রে কোনও নোড বা একসাথে উপস্থিত হওয়ার জন্য সীমাবদ্ধ ছিল না । তাত্পর্যটি হ'ল একটি প্রান্ত যোগ করা একটি প্রতিবন্ধকতা যুক্ত করে, যা সর্বনিম্ন কাটের সংখ্যা হ্রাস করে।$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

ডিগ্রি তিনটিতে আরও নোডের প্রচার করা সেই বিন্দু পর্যন্ত অতিরিক্ত বাধা যুক্ত করে যেখানে দু'বার মাত্র এক নূন্যতম কাটা থাকে।

পূর্ববর্তীটি দেখায় যে চক্রের গ্রাফটি স্থানীয়ভাবে সর্বাধিক (কমপক্ষে) ।$mc$

গ্রাফের সেটটি বিবেচনা করুন যাতে প্রতিটি নোড তিন ডিগ্রি হয়। একটি প্রান্ত অপসারণ করলে দুটি একক মিনিট-কাট সহ একটি গ্রাফ পাওয়া যায়। উপরে হিসাবে একটি প্রান্ত যুক্ত করা, দুটি নোড তৈরি করে যা বেশিরভাগ কাটার একই অংশে প্রদর্শিত হয়।

এর মানে দাড়ায় যে গ্রাফ যা প্রতিটি নোডের ডিগ্রী হয় স্থানীয় ম্যাক্সিমা হয় । সম্পূর্ণ গ্রাফের আকারের কাট রয়েছে তা উল্লেখ করে যে এটি একটি হ্রাসকারী ফাংশন।$k$$mc$$mc=n$$n-1$

উপরের আনুষ্ঠানিকতা করা সম্ভব কিনা তা নিয়ে আমি খুব বেশি চিন্তাভাবনা করি না, তবে এটি একটি সম্ভাব্য পদ্ধতির প্রতিনিধিত্ব করে।

এছাড়াও, আমার কাছে মনে হয় বিক্সবি কাগজ জেলানী নেলসন তার উত্তরের মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন "ন্যূনতম সংখ্যার এজ এবং ভার্টিসের সাথে একটি গ্রাফ উইথ এজ এড কানেক্টিভিটি এন এবং এম এন-বন্ডস" ( লিঙ্ক )