রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে খুব কম সমাধান সন্ধান করা

13

রৈখিক সমীকরণের ব্যবস্থার বিরল সমাধান খুঁজে পাওয়া কতটা কঠিন?

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তের সমস্যাটি বিবেচনা করুন:

ইন্সটান্স: পূর্ণসংখ্যা কোফিসিয়েন্টস এবং একটি নম্বর দিয়ে রৈখিক সমীকরণ একটি সিস্টেম $c$ ।

প্রশ্ন: কমপক্ষে $c$ ভেরিয়েবলগুলি শূন্যের সাথে নির্ধারিত সিস্টেমের কোনও সমাধান রয়েছে কি ?

আমি নির্ধারণ করার চেষ্টা করছি উপর নির্ভরতা কী $c$ । অর্থাৎ, হয়তো সমস্যা পরামিতি সঙ্গে FPT হয় $c$ ।

যে কোনও ধারণা বা রেফারেন্স সত্যই প্রশংসা করা হয়।

— মাইকেল ওয়েহার
সূত্র

12

কিছু রিং উপর সন্তুষ্ট রৈখিক সমীকরণের সংখ্যা সর্বাধিক করার সমস্যা বিবেচনা করুন , যা প্রায়শই এনপি-হার্ড হয়, উদাহরণস্বরূপ ক্ষেত্রে $\text{MAX-LIN}(R)$ $R$ $R=\mathbb{Z}$

এই সমস্যার উদাহরণটি ধরুন, যেখানে হল ম্যাট্রিক্স। চলুন । একটি নতুন লিনিয়ার সিস্টেম , যেখানে হল একটি ম্যাট্রিক্স, এখন একটি মাত্রিক ভেক্টর এবং $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ একটি মাত্রিক ভেক্টর: $kn$

যেখানেহয়পরিচয় ম্যাট্রিক্স।

\tilde{A} = [\begin{matrix} A & I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ I_{n} & - I_{n} \end{matrix}], \tilde{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

I_{n}

$I_n$

n \times n

$n \times n$

নোট করুন যে এই সিস্টেমটি সর্বদা ভেক্টর । আসলে, প্রথম এর এন্ট্রি অবাধ হতে পারে, এবং সেখানে সেই প্রেফিক্স সহ কিছু সমাধান বাহক। $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ $\tilde{x}$

এখন আমি দাবি এর সমীকরণ ভগ্নাংশ Satisfiable iff সেখানে একটি বিক্ষিপ্ত সমাধান বিদ্যমান হয় যা অন্তত হয়েছে শূন্য। এর কারণ প্রতিটি সন্তুষ্ট সারি উৎপাদনের সম্ভাব্য শূন্য যখন বাড়ানো হয় $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

সুতরাং, আমরা করতে sparsest সমাধান sparsity খুঁজে পান, তাহলে , আমরা বড় হয়েছে দ্বারা sparsity বিভাজক দ্বারা । $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta$ $k$

অতএব, আমি বিশ্বাস করি আপনার সমস্যাটি এনপি-হার্ড।

— জো বেবেল
সূত্র

1

শান্ত! ভাগ করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। সুতরাং আপনি কি মনে করেন যে নির্ভরতা সি এর উপর? আপনি কি মনে করেন যে আমরা এটি চেয়ে কম সমাধান করতে পারি যেখানে ইনপুট আকার?

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$

n

$n$

— মাইকেল ওয়েহার

1

শিওর: যদি আমরা ধরে নিই যে আপনাকে এর কোন উপাদানগুলি শূন্য দেওয়া হয়েছে, তবে আপনি নিম্ন মাত্রিক পেতে থেকে সহজেই সেই উপাদানগুলি সরিয়ে ফেলতে পারেন এবং পেতে সাথে সম্পর্কিত কলামগুলিও সরিয়ে ফেলতে পারেন । তারপরে হ্রাসপ্রাপ্ত সিস্টেম ব্যবহারযোগ্য কিনা তা স্থির করতে গাউসীয় নির্মূল ব্যবহার করুন ; যদি এটি হয় তবে আপনি একটি বিচ্ছিন্ন সমাধান খুঁজে পেয়েছেন। তারপরে, আপনি সমস্ত সম্ভাব্য ।

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x^{'}

$x'$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— জো বেবেল

1

@ মিশেলওহার এই সমস্যাটি এফপিটি কিনা তা আমি জানি না যদিও

— জো ববেল

6

সমস্যা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ নিম্নলিখিত সমস্যা থেকে হ্রাস দ্বারা: প্রদত্ত একটি ম্যাট্রিক্স এবং পূর্ণসংখ্যা এন্ট্রিগুলির সাথে একটি পূর্ণসংখ্যা ভেক্টর সঙ্গে , এন্ট্রি নেই বিদ্যমান আছে একটি 0-1 ভেক্টর সঙ্গে ? $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

ভেক্টর এর প্রতিটি সমন্বিত জন্য , $x_i$ $x$

পরিচয় করিয়ে নতুন সমীকরণ দিয়ে , এবং $100(n+m)$ $x_i+y_{i,k}=0$ $k=1,\ldots,100(n+m)$
সহ নতুন সমীকরণ প্রবর্তন করুন । $100(n+m)$ $x_i+z_{i,k}=1$ $k=1,\ldots,100(n+m)$

এছাড়াও পুরানো সমীকরণ সিস্টেম । $Ax=b$

অরিজিনাল সিস্টেম তে একটি 0-1 সমাধান উপস্থিত রয়েছে , কেবলমাত্র এবং যদি নতুন সিস্টেমের কোনও সমাধান থাকে যার মধ্যে কমপক্ষে ভেরিয়েবলগুলি শূন্য থাকে। $Ax=b$ $100(n+m)n$

— Gamow
সূত্র

4

একে স্পার্সেস্ট সলিউশন ভেক্টর সমস্যা বলা হয় এবং এটি অবশ্যই এনপি-হার্ড ।

— আর বি
সূত্র

4

এই সমস্যাটি বিভিন্ন সেটিংসে শক্ত । এই প্রশ্নের অন্যান্য উত্তরে যেমন বলা হয়েছে, সমস্যাটি পূর্ণসংখ্যার উপর NP- সম্পূর্ণ।

সংকেত প্রক্রিয়াকরণে, ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরগুলির যৌক্তিক প্রবেশ রয়েছে এবং এই সমস্যাটিকে কখনও কখনও স্পার্স পুনর্গঠন সমস্যাও বলা হয় । এই সেটিংয়ে, সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ (উপপাদ্য 1 দেখুন)।

কোডিং তত্ত্বে, এন্ট্রিগুলি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র থেকে আসে এবং এই সমস্যাটিকে কখনও কখনও সর্বাধিক সম্ভাবনার ডিকোডিং সমস্যাও বলা হয় । এই সেটিং-এ, সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ এবং তাত্পর্যপূর্ণ সময় অনুমানকে ধরে ধরে সাপ এক্সপেনশিয়াল সময়ে নয় । তদ্ব্যতীত, আরএক্সিভ সম্পর্কিত একটি কাগজের পূর্ববর্তী সংস্করণ অনুসারে (কাগজের 1 সংস্করণে লেমমা সি .2 দেখুন), সমস্যাটি ডব্লু [1]-অসম্পূর্ণ।

— argentpepper
সূত্র

ডাব্লু [1] -র জন্য আপনার রেফারেন্সটি "লেমমা সি .2" বলে মনে হচ্ছে না ple

@ রিকিডিমার তার লিঙ্ক করা কাগজের 1 সংস্করণে একটি লেমমা সি .2 রয়েছে। তবে সংস্করণ 2 এর আলাদা শিরোনাম রয়েছে বলে মনে হয় এবং খুব সম্প্রতি এটি পরিবর্তন করা হয়েছিল।

— মাইকেল ওয়েহার

সেই লেমা ওপি থেকে আলাদা প্যারামিটারাইজেশন ব্যবহার করে।

ওহ আমি বুঝতে পারি নি যে একটি আপডেট সংস্করণ রয়েছে, আমি এটি একবার দেখে নেব এবং সে অনুযায়ী আমার উত্তর আপডেট করব।

— আরজেন্টেপার

যেমনটি আমি আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যে উল্লেখ করেছি, "লেমা ওপি থেকে পৃথক প্যারামিটারাইজেশন ব্যবহার করে", তাই আমরা যদি ফলাফলটি সত্য বলে ধরে নিই (সংস্করণ ২ থেকে অপসারণ করা সত্ত্বেও), প্যারামিটারাইজড জটিলতা সম্পর্কে ওপির প্রশ্নটি এখনও উন্মুক্ত থাকবে।