পুনরাবৃত্তি সমাধান করুন

Question

নীচের পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি কীভাবে সমাধান করব?

$$f(n) = f(n-1) + f(n - \log n)$$

Comments

আপনি চেষ্টা করলে আপনি কী পাবেন ? মনে হচ্ছে আপনি 2 Ω ( n / log n ) এর নিম্ন সীমাটি পাবেন । $f(n) = 2f(n - \log n)$$2^{\Omega(n/\log n)}$

— চন্দ্র চেকুরী

@ চন্দ্রচেকুরী ওহ, দুর্দান্ত! আর আছে একটি ঊর্ধ্ব বাউন্ড : আমরা পুনরাবৃত্তি ব্যবহার লগ এন সময়, এবং যে পেতে চ ( এন ) ≤ ( 1 + + লগ ইন করুন এন ) চ ( এন - লগ এন ) । তারপরে আমরা এই এন / লগ এন বার প্রয়োগ করি এবং চ ( এন ) ≤ ( 1 + লগ এন ) পাই$2^{O(n \log \log n / \log n)}$$\log n$$f(n) \le (1 + \log n) f(n - \log n)$$n / \log n$ । সুতরাং মধ্যে উপরের আবদ্ধ এবং আবদ্ধ নিম্ন শুধুমাত্র হয় ফাঁক লগ লগ ইন করুন এন এক্সপোনেন্ট হবে। এটি আসলে আমার উদ্দেশ্যগুলির জন্য যথেষ্ট, তবে কেউ যদি চায় এবং ফাঁকটি বন্ধ করতে সক্ষম হয় তবে আমি প্রশ্নটি খোলা রেখে দেব। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, চন্দ্র! $f(n) \le (1 + \log n)^{n / \log n} = 2^{O(n \log \log n / \log n)}$$\log \log n$

— মোবিয়াস ডাবলিং

ঠিক আছে, একই কৌশলটি , তাই চ ( এন ) = 2 Θ ( এন লগ লগ এন / লগ এন ) । $f(n)\ge(\log n)f(n-2\log n)$$f(n)=2^{\Theta(n\log\log n/\log n)}$

— এমিল জেবেক

Answer 1

@ চন্দ্র, @ এমিল এবং আমি মন্তব্যগুলিতে প্রশ্নটি সমাধান করেছি। সমাধানটি

$$f(n) = 2^{\Theta(n \log \log n / \log n)} \ .$$

নিম্ন সীমাটি দেখতে , f ( n ) = 2 f ( n - লগ এন ) + f ( n - লগ এন - 1 ) + … + f ( n - 2 লগ এন ) পেতে পুনরাবৃত্ত সংজ্ঞা বার প্রয়োগ করুন ≥ লগ এন ⋅ এফ ( এন - লগ এন ) । এই অসমতাটি এন / লগ ব্যবহার করুন$\log n$

$$f(n) = 2f(n - \log n) + f(n - \log n - 1) + \ldots + f(n - 2 \log n) \ge \log n \cdot f(n - \log n) \ .$$ বার এবং আমরা যে সমাধান পেতে 2 Ω ( ঢ লগ ইন করুন লগ এন / লগ ইন করুন এন ) ।$n / \log n$$2^{\Omega(n \log \log n / \log n)}$

পেতে উপরের আবদ্ধ, পুনরাবৃত্তি ব্যবহার কাল ও যে পেতে চ ( এন ) ≤ ( লগ ঢ + + 1 ) ⋅ চ ( এন - লগ এন ) । এই বৈষম্য ব্যবহার করুন এন / লগ ইন করুন এন সময়, এবং আমরা পেতে যে সমাধান 2 হে ( ঢ লগ ইন করুন লগ এন / লগ ইন করুন এন ) ।$\log n$

$$f(n) \le (\log n + 1) \cdot f(n - \log n) \ .$$ $n / \log n$$2^{O(n \log \log n / \log n)}$