অভ্যন্তরীণ আয়তক্ষেত্রগুলিকে ক্ষতি না করে একটি আয়তক্ষেত্র ভাগ করা

Question

একটি অক্ষ-সমান্তরাল আয়তক্ষেত্র।$C$

জোড়াযুক্ত-অভ্যন্তর-বিচ্ছিন্ন অক্ষ-সমান্তরাল আয়তক্ষেত্র যেমন সি 1 ∪ ⋯ ∪ সি এন ⊊ সি , এর মতো:$C_1,\dots,C_n$$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

একটি আয়তক্ষেত্র-সংরক্ষণের পার্টিশন এর একটি পার্টিশন সি = ই 1 ∪ ⋯ ∪ ই এন , যেমন যে এন ≥ এন , ই আমি pairwise-অভ্যন্তর-টুকরো করা অক্ষ-সমান্তরাল আয়তক্ষেত্র, এবং যে জন্য আমি = 1 , ... , এন : সি আই ⊆ ই আই , অর্থাত্ প্রতিটি বিদ্যমান আয়তক্ষেত্রটি একটি অনন্য নতুন আয়তক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:$C$$C = E_1\cup\dots\cup E_N$$N\geq n$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i \subseteq E_i$

একটি ছোট সাথে আয়তক্ষেত্র সংরক্ষণকারী পার্টিশন সন্ধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম কী ?$N$

বিশেষত, অংশগুলির সাথে একটি আয়তক্ষেত্র সংরক্ষণকারী পার্টিশন খুঁজে পাওয়ার জন্য কি কোনও অ্যালগরিদম রয়েছে ?$N=O(n)$

Answer 1

নতুন উত্তর: নিম্নলিখিত সাধারণ অ্যালগরিদম হ'ল অসম্পূর্ণভাবে অনুকূল:

প্রতিটি আয়তক্ষেত্র $C_i$ নির্বিচারে প্রসারিত করুন , সর্বাধিক পরিমাণে যেমন আয়তক্ষেত্রগুলি জোড়াযুক্ত-বিযুক্ত হয়ে যায়।

গর্তের সংখ্যা সর্বাধিক $k-2$ । এটি অসম্পূর্ণভাবে অনুকূল, কারণ এমন কনফিগারেশন রয়েছে যাতে গর্তের সংখ্যা কমপক্ষে $k-O(\sqrt k)$।

প্রমাণগুলি এই কাগজে রয়েছে ।

---

পুরানো উত্তর:

নিম্নলিখিত অ্যালগরিদমটি অনুকূল নয়, তবে অবশ্যই $N=O(n)$ অংশগুলির সাথে একটি আয়তক্ষেত্র সংরক্ষণকারী পার্টিশন সন্ধানের জন্য যথেষ্ট ।

অ্যালগরিদম একটি পুনঃনির্দেশক বহুভুজ $P$ সাথে কাজ করে যা আয়তক্ষেত্র $C$ ।

ফেজ 1: একটি আয়তক্ষেত্র বাছুন $C_i$ যার একটি পশ্চিমা সীমানা সংলগ্ন $P$ (অর্থাত, অন্য কোন আয়তক্ষেত্র হয় $C_j$ পশ্চিম পার্শ্বে মধ্যে $C_i$ এবং পশ্চিমা সীমানা $P$ )। প্লেস $C_i$ মধ্যে $P$ এবং এটি প্রসারিত না হওয়া পর্যন্ত পশ্চিম সীমানা স্পর্শ $P$ । আসুন $E_i$ (জন্য $i=1,\dots,n$ ) এর টানা সংস্করণ হতে $C_i$ । যাক $P=P\setminus E_i$। সমস্ত n আসল আয়তক্ষেত্র স্থাপন এবং প্রসারিত না করা পর্যন্ত পর্ব 1 $n$ পুনরাবৃত্তি করুন । নীচের চিত্রটিতে, আয়তক্ষেত্র স্থাপনের একটি সম্ভাব্য ক্রম হ'ল সি 1 , সি 2 , সি 4 , সি 3 :$n$$C_1,C_2,C_4,C_3$

এখন, $P$ এর মতো একটি পুনঃলিখনী বহুভুজ (সম্ভবত সংযোগ বিচ্ছিন্ন):

আমি দাবী করে যে সংখ্যা অবতল ছেদচিহ্ন মধ্যে $P$ সবচেয়ে এ $2n$ । এটি কারণ, যখনই $P$ থেকে প্রসারিত আয়তক্ষেত্র সরানো হয় , সেখানে 3 টি সম্ভাবনা রয়েছে:

• 2 টি নতুন নতুন অবতল যুক্ত করা হয়েছে ( $C_1,C_4$ স্থাপন করার মতো );
• $C_3$
• $C_2$

$P$

$2n+1$$N\leq 3n+1$

---

$N=13$$N=5$

উ: এই অ্যালগরিদমটি কি সঠিক?

$N$

Comments

ভাল, প্রথম ধাপে, আপনি পার্টিশন কোষগুলি যুক্ত করুন, যার প্রত্যেকটিতে একেবারে একটি প্রাথমিক আয়তক্ষেত্র রয়েছে এবং অন্যটিতে ওভারল্যাপ হয় না। দ্বিতীয় ধাপে, আপনি অবশিষ্ট স্থানটি বিভাজন করেছেন, সুতরাং দ্বিতীয় পর্বের তৈরি ঘরগুলি কোনও প্রাথমিক আয়তক্ষেত্রকে ছেদ করে না। সঠিকতার প্রমাণটি সোজা বলে মনে হচ্ছে, বা আমি কিছু মিস করেছি?

— বোসন

$2n$