ওরিয়েন্টেড চক্রের ডিগ্রাফ হোমোর্ফিজমের জটিলতা

Question

একটি নির্দিষ্ট নির্দেশিত গ্রাফ দেওয়া হয়েছে (ডিগ্রাফ) $D$, -COLORING সিদ্ধান্ত সমস্যা জিজ্ঞেস একটি ইনপুট digraph কিনা করার জন্য একটি homomorphism হয়েছে । (একটি homomorphism করার একটি ম্যাপিং হয় এর থেকে যে সংরক্ষণ পরিধির মধ্যে, যে, যদি একজন চাপ হয় , তারপর একজন চাপ হয় ।)$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

ফেডার এবং ভার্দি ( সিটিসিয়ারে অ্যাক্সেসযোগ্য ) দ্বারা বর্ণিত সিএসপিগুলির জন্য ডিকোটমি কনজেকচারের সাথে কালারিংয়ের সমস্যাগুলির শ্রেণি দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত ।$D$

2001 এর এই পেপারে (লেখকের পৃষ্ঠায় অ্যাক্সেসযোগ্য, এখানে ), ফেডার একটি দ্বৈতত্ত্বের উপপাদ্য প্রমাণ করেন যখন একটি ওরিয়েন্টেড চক্র হয় ( ওরিয়েন্টেড চক্র দ্বারা আমি বোঝাচ্ছি এমন একটি অনির্দিষ্ট চক্র যেখানে প্রতিটি প্রান্তটি একটি একক চাপ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, এটি নির্বিচারে অভিমুখী হতে পারে) অন্য কথায়, তিনি দেখান যে যে কোনও ওরিয়েন্টেড চক্রের জন্য , কালারিং হয় বহুপক্ষীয়-সময় সমাধানযোগ্য বা এনপি-সম্পূর্ণ।$D$$D$$D$

দুর্ভাগ্যক্রমে, ফেডারের শ্রেণিবিন্যাস অত্যন্ত অনানুষ্ঠানিক এবং স্পষ্ট নয়, কারণ অনেকগুলি ক্ষেত্রে জটিলতা স্যাট এর নির্দিষ্ট কিছু সীমিত রূপগুলির জটিলতার সাথে সম্পর্কিত যা অভিমুখের উপর নির্ভর করে। কাগজটি দেখে, আমি আমার প্রশ্নের উত্তর নির্ধারণ করতে সক্ষম হইনি:

প্রশ্ন: একটি ওরিয়েন্টেড চক্র ছোট আকারের কি যেমন যে -COLORING দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়?$D$$D$

উত্তরটি সাহিত্যের কোথাও বর্ণিত হতে পারে তবে আমি এটি খুঁজে পেলাম না।

---

সম্পাদনা:ফেডারের শ্রেণিবিন্যাস সম্পর্কে আরও বিশদ দিন। ফেডার দেখায় যে কোনও এনপি-সম্পূর্ণ ওরিয়েন্টেড চক্র ভারসাম্যপূর্ণ হওয়া উচিত, অর্থাৎ উভয় দিকের সমান সংখ্যক আরক থাকতে হবে (সুতরাং এটির এমনকি অর্ডারও রয়েছে)। তারপরে, অভিমুখীকরণের দ্বারা প্ররোচিত "স্তরগুলি" বিবেচনা করুন (একটি স্বেচ্ছাসেবী প্রান্তে চক্রের চারদিকে ঘুরতে শুরু করুন; একটি চাপ যদি ডান দিকে যায় তবে আপনি 1 দ্বারা উপরে যান, যদি একটি চাপ বাম দিকে যায় তবে আপনি 1 দ্বারা নীচে যান)। তারপরে, যদি সর্বাধিক এক "শীর্ষে-নীচে রান" হয় তবে তা বহুপদী। যদি এখানে কমপক্ষে 3 টি "রান" হয় এবং চক্রটি মূল হয় তবে এটি এনপি-সম্পূর্ণ। (মন্তব্যগুলি থেকে অ্যান্ড্রেসের উদাহরণে, এই জাতীয় তিনটি "রান" রয়েছে, তবে চক্রটি মূলটি নয়)) সবচেয়ে '' দু'টি শীর্ষ পরিস্থিতি দুটি 'শীর্ষ-নীচের রান' রয়েছে। কিছু শক্ত, কিছু বহুভিত্তিক এবং ফেডার একটি দ্বৈতত্ত্ব প্রাপ্তির জন্য তাদের বিশেষ SAT সমস্যার সাথে সম্পর্কিত করে।

মধ্যবর্তী প্রশ্ন হিসাবে: তিনটি "শীর্ষ-নীচে" চালিত এবং একটি কোরটি সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম ওরিয়েন্টেড চক্রটি কী? এই জাতীয় উদাহরণটি উপরোক্ত আলোচনার মাধ্যমে এনপি-সম্পূর্ণ হবে।

Comments

আমি সাহিত্যের একটি দ্রুত উত্তর মনে করতে পারি না (সম্ভবত বার্নাব্য মার্টিন বা ফ্লোরেন্ট মেডেলাইন জানতে পারে)। যাইহোক, আকার সর্বাধিক 6 ছেদচিহ্ন এবং 6 নির্দেশ প্রান্ত, কারণ এক কমে যায় -Colouring করার -Colouring ছয় প্রান্তবিন্দু digraph জন্য গ্রাফ প্রতিটি undirected প্রান্ত প্রতিস্থাপন মধ্যে একটি নতুন প্রান্তবিন্দু নির্দেশিত দুই পরিধির মধ্যে তার এন্ড পয়েন্ট। $K_3$$D$$D$

— আন্দ্রেস সালামন

ধন্যবাদ আন্দ্রেস। যাইহোক, আমি মনে করি উত্তর অবশ্যই বড় হতে হবে কারণ এই উদাহরণটির মূলটি একটি অনন্য চাপের সাথে

— খালি একটি ডিজিট্রাফ

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি প্রস্তাবিত নির্মাণটি খুব সাধারণ।

— আন্দ্রেস সালামন

আমি ফ্লোরেন্ট মেডেলাইন এবং বারনাবি মার্টিনকে জিজ্ঞাসা করেছি, তবে তারা সরাসরি উত্তরটি জানে না, যদিও তারা আগ্রহী বলে মনে হচ্ছে :-) আমার সহকর্মী গত সপ্তাহে ফেডারকে ইমেলের মাধ্যমে জিজ্ঞাসা করেছিলেন, তবে তিনি কোনও উত্তর দেননি (এখনও)।

— ফ্লোরেন্ট ফৌকাড

আমার দ্বিতীয় প্ররোচনাটি ছিল ত্রিভুজটির একটি অনড় সংস্করণ ব্যবহার করা। তবে চ্যাভাল এট আল এর অনমনীয় গ্যাজেটের সাথে। (জেসিটি 1971) অনমনীয় ত্রিভুজটি এরপরে মনে হচ্ছে ইনপুট গ্রাফটির যদি v শীর্ষবিন্দু রয়েছে এবং যদি এই গ্যাজেটগুলিকে কীভাবে পরিবর্তিত করতে হয় তবে এটি কমপক্ষে 9v + 36 এর অনেকগুলি শীর্ষকোষের প্রয়োজন। প্রতিটি প্রান্ত প্রতিস্থাপনের জন্য সম্ভবত একটি কঠোর নির্দেশিত পথ ব্যবহার করতে পারে, তবে গ্রাফের কোনও প্রান্তটি ত্রিভুজের কোনও প্রান্তে (তবে অন্য কোথাও) ম্যাপ করার ক্ষমতা বজায় রেখে কীভাবে তা করা উচিত তা আমার কাছে স্পষ্ট নয়। এটি করার সুস্পষ্ট উপায় হ'ল প্রতিসম প্রয়োজন।

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 1

মধ্যবর্তী প্রশ্নের জন্য (তিনটি শীর্ষ-নীচে রান সহ একটি কোর), এটি কীভাবে?

কিছু স্বরলিপি: আমি শব্দগুলি দ্বারা রান বর্ণনা করব $\{l,r\}^*$যেমন, যেমন $llrl$ একটি অনুচ্ছেদে সম্পর্কিত $\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$। স্তর বৃদ্ধি পায়$r$ চাপ এবং হ্রাস $l$ আরকস, এবং আমি ধরে নিচ্ছি যে এটির সর্বনিম্ন $0$। কিছু সরল বাধা হ'ল:

• কেবলমাত্র নিয়ে গঠিত রান থাকতে পারে না $l$s বা কেবলমাত্র $r$s, কারণ অন্যথায় এ থেকে স্পষ্টতই হোমোর্ফিজম রয়েছে $D$ এই রান (প্রতিটি নোড ম্যাপিং) $D$একই স্তরের সাথে এক)। এটি এও বোঝায় যে সর্বাধিক স্তরটি অবশ্যই কমপক্ষে হতে হবে$3$।
• যদি সর্বোচ্চ স্তর ছিল $3$, তারপরে সমস্ত শীর্ষ-নীচের (রেস নীচে-শীর্ষ) রান ফর্মের হবে $llr(lr)^ill$ (রেস্প। $rrl(rl)^irr)$; আবার এটি থেকে সমকামিতা খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন নয়$D$ রান যা সর্বনিম্ন $i$।

তবে সর্বোচ্চ স্তরের জন্য $4$ দৈর্ঘ্যের একটি সমাধান আছে $36$: বিবেচনা $D$ দ্বারা প্রদত্ত $(rrrlrrlllrll)^3$। এটিতে শীর্ষে-নিচে প্রয়োজনীয় রান রয়েছে এবং এটি একটি কোর (নীচে দেখুন)। উপরের সীমাবদ্ধতার দ্বারা এটি প্রয়োজনীয়ভাবে ন্যূনতম, যেহেতু প্রতিটি রানের একটিমাত্র "পিছনের" প্রান্ত থাকে।

নিজেদেরকে বোঝাতে যে এটি একটি মূল, প্রথমে শিখার নাম দিন ($v_1,\ldots,v_{36}$)। নীচে (অর্থাত্ স্তর)$0$) উল্লম্ব হয় $v_1,v_{13},v_{25}$। যে কোনও হোমোর্ফিজম$\varphi$ থেকে $D$ একটি অনুচ্ছেদে অবশ্যই স্তরগুলি এবং বিশেষত সংরক্ষণ করতে হবে $\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$; সুস্পষ্ট স্বশাসনকে মডুলো করুন o$v_i\mapsto v_{i+12}$, কেসটি বিবেচনা করার জন্য এটি যথেষ্ট $\varphi(v_1)=v_1$। এর পাড়া বিবেচনা করুন$v_1$ ভিতরে $D$ (স্তরগুলির সাথে টীকাযুক্ত):

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

দিয়ে শুরু $\varphi(v_1)=v_1$, আমাদের আছে $\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$। কিন্তু যদি$\varphi(v_2)=v_{36}$তাহলে $\varphi(v_3)=v_{35}$, এবং এর জন্য আমাদের কোনও সম্ভাব্য মান নেই $\varphi(v_4)$। আমরা পেতে$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$। পরবর্তী$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$, না হইলে $\varphi(v_5)=v_3$ আমরা পেতে $\varphi(v_6)=v_4$এর কোনও সম্ভাব্য মান নেই $\varphi(v_7)$। সুতরাং$\varphi$ পুরো চালাতে অবশ্যই পরিচয় হওয়া উচিত $v_1\to\ldots\to v_7$, এবং বাকি রানগুলির জন্য একই যুক্তিটি পুনরাবৃত্তি করে, সমস্তটির ক্ষেত্রে একই $D$। নির্দিষ্টভাবে,$\varphi$ মানচিত্র না $D$ একটি উপযুক্ত সাবগ্রাফ উপর।

Comments

এই একই বিশ্লেষণটি দেখায় যে দুটি রান সহ সমস্ত ভারসাম্যমুখী চক্রের দৈর্ঘ্য কমপক্ষে 24, ডান? সুতরাং এটি মূল সমস্যার উত্তরটিতে একটি নিম্ন সীমাবদ্ধতা দেয়।

— ডেভিড এপস্টিন

হ্যাঁ, ভাল কথা।

— ক্লাউস ড্রেইজার

দুর্দান্ত, ধন্যবাদ, এটি খুব সহায়ক! আমরা কী হাত দিয়ে নিজেকে বোঝাতে পারি যে এটি একটি মূল? (দ্রষ্টব্য যে একটি বহির্ভুত চক্র কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে$D$ একটি কোর: সেট তৈরি করুন $|V(D)|$ ওরিয়েন্টেড সাব-পাথ $\{D-a$ যেমন যে $a$ এর একটি তোরণ $D\}$, এবং তারপরে পরীক্ষা করে দেখুন $D$এই পাথের যে কোনওটিতে মানচিত্র; এটি পলিটাইমে করা যেতে পারে, গুটজাহর এট আল দেখুন: বিজ্ঞান ডাইরেক্টস / বিজ্ঞান / সূচনা / পিআইআই 06166218X9290294 কে )

— ফ্লোরেন্ট ফাউডাউড

@ ফ্লোরেন্টফৌকড আমি এটি প্রদর্শন করে কিছুটা যোগ করেছি $D$একটি কোর।

— ক্লাউস ড্রেইজার