এলোমেলো বুলিয়ান ফাংশনটির প্রত্যাশিত ন্যূনতম প্রভাব

বুলিয়ান ফাংশনের জন্য , তম ভেরিয়েবলের প্রভাবকে as হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেখানে এর ম বিট উল্টিয়ে স্ট্রিংটি প্রাপ্ত । এর সর্বনিম্ন প্রভাবটি হ'ল $f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

-তে একটি প্যারামিটার দেওয়া $p\in[0,1]$ , আমরা সম্ভাব্যতা সাথে , এবং সম্ভাব্যতা সাথে এলোমেলোভাবে পৃথক ইনপুটগুলির তার মানটি বেছে নিয়ে একটি $p$ ট্রাম্প ফাংশন বেছে নিই । তারপরে, এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে, প্রতিটি এবং একটি $f$ $2^n$ $1$ $p$ $-1$ $1-p$ $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

আমার প্রশ্নটি হ'ল:

জন্য কি কোনও অ্যাসিম্পোটোটিকভাবে ( $n$ ) টাইট এক্সপ্রেশন আছে ? এমনকি জন্যও কি আমরা এই জাতীয় অভিব্যক্তি পেতে পারি? $I_n(p)$ $p=\frac{1}{2}$

বিশেষত, আমি নিম্ন অর্ডার শর্তাদি সম্পর্কে যত্নশীল, অর্থাৎ আমি পরিমাণের জন্য একটি অ্যাসিম্পটোটিক সমতুল্যে আগ্রহী $2p(1-p)-I_n(p)$ ।

(পরবর্তী প্রশ্ন, তবে যা প্রথমটির অধীনস্থ, তা কি এই প্রত্যাশার আশেপাশে ভাল ঘনত্বের সীমা পাওয়া যায় কিনা))

চেরনোফের গণ্ডি অনুসারে কেউ দেখিয়ে দিতে পারে যে প্রতিটি এর ভাল ঘনত্ব রয়েছে, যাতে ইউনিয়নের মাধ্যমে আমরা পাই (যদি আমি খুব খারাপভাবে না করি) তবে এটি সম্ভবত নীচের গণ্ডিতে (ইউনিয়নের সাথে আবদ্ধ হওয়ার কারণে) এবং স্পষ্টভাবে উপরের সীমানায় আলগা। (আমি বিশেষত তুচ্ছ চেয়ে কম উচ্চতর বাউন্ডের সন্ধান করছি )। $\operatorname{Inf}_i[f]$

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

লক্ষ্য করুন যে করছেন, ন্যূনতম গ্রহণ ব্যতীত এ বিষয় এক অভিন্নরুপে বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল (প্রভাব), যে এই র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্বাধীন নয় ... যদিও আমি তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক সঙ্গে "বেশ দ্রুত" ক্ষয় আশা করেন । $n$ $n$

(এটির মূল্যের জন্য, আমি প্রথম কয়েকটা এর পর্যন্ত স্পষ্টভাবে গণনা করেছি এবং অনুমান করার জন্য বা আরও sure এটি কতটা সহায়ক তা নিশ্চিত নয়) হতে পারে তবে আমি নিজের অফিসে ফিরে এলে এটি অন্তর্ভুক্ত করতে পারি)) $I_n(1/2)$ $n=4$ $n=20$

reference-request pr.probability boolean-functions

— ক্লিমেন্ট সি।
সূত্র

এখানে প্রথম কয়েকটি রয়েছে (কেবল প্রথম 4 টিই সঠিক, অন্যরা এলোমেলোভাবে নমুনা তৈরির (প্রভাবগুলি অনুমান করার জন্য) 10 ^ 5 এলোমেলোভাবে উত্পন্ন ফাংশনগুলির উপরে): (দ্রষ্টব্য: সিমুলেশনগুলির জন্য, নিশ্চিত নয় যে চতুর্থ সত্যই তাৎপর্যপূর্ণ)

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— ক্লিমেন্ট সি।

সঠিক দিকের একটি পদক্ষেপ এখানে ...

আমি যুক্তি দেব যে আপনার কাছে । $p=1/2$ $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(এটি যতটা হওয়া উচিত ততটা শক্তিশালী নয় Maybe সম্ভবত কেউ দেখানোর যুক্তি জোরদার করতে পারে ) এখানে একটি প্রমাণ স্কেচ দেওয়া হয়েছে। $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

এটি দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট । আমরা তা করি। $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

মনে রাখবেন যে যদি এবং সম্পূর্ণ স্বতন্ত্র থাকত তবে আমরা করতাম কারণ দুটি স্বতন্ত্র অঙ্কের সর্বনিম্ন প্রত্যাশা । প্রথমে, আমরা সাবধানতার সাথে তর্ক করব যে দুটি যোগফল প্রায় স্বতন্ত্র। $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

পয়েন্টের মহাবিশ্ব বিবেচনা করুন । neighbors এ এবং কল করুন যদি তারা ঠিক ম স্থানাঙ্কের মধ্যে পৃথক হয় । বলুন যে দুটি প্রতিবেশী ( ) তে অবদান রাখেন যদি । (সুতরাং _ by by দ্বারা বিভক্ত লেইগারদের অবদানকারী সংখ্যা )) লক্ষ করুন, এবং যদি neighbors হয়, এবং এবং হয় আশেপাশের, তারপর হয় $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ বা । অতএব, আশেপাশের অবদানকারীদের সংখ্যা হ'ল স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল, প্রতিটি প্রত্যাশা দিয়ে । $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ $2^{n-1}$ $1/2$

পার্টিশন মহাবিশ্ব মধ্যে চার আকারের গ্রুপ, যেখানে এবং একই গ্রুপের রয়েছে iff এবং সব কিন্তু তাদের প্রথম দুই স্থানাঙ্ক উপর সম্মত হন। তারপর প্রতিটি জোড়া জন্য 1-প্রতিবেশীদের, এবং প্রতিটি যুগল 2-প্রতিবেশীদের, এবং একই গ্রুপের মধ্যে আছে। প্রদত্ত গোষ্ঠী এবং , rv কে তে প্রতিবেশীদের অবদানের সংখ্যা হতে দিন । তারপরে, উদাহরণস্বরূপ, সামগ্রিকভাবে 1-প্রতিবেশী অবদানের সংখ্যা $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ , একটি সমষ্টি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল, প্রতিটি । $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

নোট করুন যে এবং যদি থাকে তবে স্বতন্ত্র । একটি মামলা বিশ্লেষণ দ্বারা, যদি , যুগ্ম বিতরণ এবং হয় $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

যাক আরভি সেট বোঝাতে নিরপেক্ষ গোষ্ঠী। (তারা তাদের প্রত্যাশিত পরিমাণটিকে 1-প্রভাব এবং 2-প্রভাবকে অবদান রাখে)) 1-প্রতিবেশী অবদানের সংখ্যা তখন $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

উপর নিয়ন্ত্রিত , জন্য প্রতিটি আরভি এর এবং স্বাধীন (উপরে তাদের যৌথ বিতরণের পরিদর্শন করে), তাই (চালু নিয়ন্ত্রিত হয় ) সমস্ত আরভি এর uniform একইভাবে over সুতরাং, $N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

পরিশেষে, নোট করুন যে প্রতিটি গ্রুপ সম্ভাব্যতা 1/2 এর সাথে নিরপেক্ষ, সুতরাং অত্যন্ত ছোট, বলুন (এবং এমনকি সেক্ষেত্রে উপরের বাম দিকটি কমপক্ষে ) । এ থেকে দাবি করা নিম্ন সীমাটি অনুসরণ করে ... $\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— নিল ইয়ং
সূত্র

ধন্যবাদ! আমি চেষ্টা করব এবং দেখব আপনার পদ্ধতির সাথে মানিয়ে নেওয়ার কোনও উপায় যদি মূলের নীচে একটি অতিরিক্ত ...

n

$n$

— ক্লিমেন্ট সি