কোনও প্রমাণের জন্য "উচ্চতর আদেশের যুক্তি কৌশলগুলি" প্রয়োজন কিনা তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন?

Question

প্রশ্নটি:

ধরুন আমার কাছে অ্যাকোয়িয়ামস এবং একটি লক্ষ্য নিয়ে একটি সমস্যার স্পেসিফিকেশন রয়েছে (অর্থাত্ সম্পর্কিত প্রমাণিত সমস্যাটি হ'ল লক্ষ্যটি সমস্ত অক্ষরেখাকে সন্তুষ্টযোগ্য কিনা)। আসুন আমরা ধরেও নিই যে সমস্যাটিতে অলক্ষ্যের মধ্যে কোনও অসঙ্গতি / দ্বন্দ্ব নেই। অগ্রিম নির্ধারণের জন্য কি কোনও উপায় আছে (অর্থাত্ প্রথমে সম্পূর্ণ প্রমাণ না দিয়েই) যে সমস্যাটি প্রমাণ করার জন্য "উচ্চতর আদেশের যুক্তি" লাগবে?

"হাই-অর্ডার যুক্তি" দ্বারা, আমি প্রুফ স্টেপগুলি প্রয়োগ করছি যার জন্য উচ্চ-অর্ডার যুক্তিটি লিখতে হবে। "উচ্চ-আদেশ যুক্তি" এর জন্য একটি আদর্শ উদাহরণ অন্তর্ভুক্তি হবে: নীতিগতভাবে একটি আনয়ন স্কীম লিখতে উচ্চতর-আদেশ যুক্তি ব্যবহার করা প্রয়োজন।

উদাহরণ:

প্রুফ সমস্যাটি একটি নির্দিষ্ট করে দিতে পারে "দুটি প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগব্যবহার কি কম?" প্রথম-ক্রমের যুক্তি ব্যবহার করে (যেমন স্ট্যান্ডার্ড অ্যাকিমিয়ামের সাথে কন্সট্রাক্টরগুলির মাধ্যমে প্রাকৃতিক সংখ্যা নির্ধারণ করুন শূন্য / সুসক এবং অ্যাকোরিওমগুলি যা একটি "প্লাস" ফাংশনকে বারবার সংজ্ঞায়িত করে)। এই সমস্যাটি প্রমাণ করার জন্য "প্লাস" এর প্রথম বা দ্বিতীয় যুক্তির কাঠামোতে অন্তর্ভুক্তি প্রয়োজন ("প্লাস" এর সঠিক সংজ্ঞা অনুসারে)। এটি প্রমাণ করার চেষ্টা করার আগে আমি কী জানতাম, উদাহরণস্বরূপ ইনপুট সমস্যার প্রকৃতি বিশ্লেষণ করে ...? (অবশ্যই, উদাহরণের উদ্দেশ্যে এটি কেবল একটি সাধারণ উদাহরণ - বাস্তবে, এটি প্লাসের চলাফেরার চেয়ে আরও জটিল প্রমাণ সমস্যার জন্য আকর্ষণীয় হবে))

আরও কিছু প্রসঙ্গ:

আমার গবেষণায়, আমি ঘন ঘন প্রমাণী সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য ভ্যাম্পায়ার, এপ্রোভার ইত্যাদি সম্পর্কিত স্বয়ংক্রিয় প্রথম অর্ডার প্রপাদ প্রবর্তকগুলি প্রয়োগ করার চেষ্টা করি (বা প্রমাণ সমস্যার অংশগুলি), যার মধ্যে কয়েকটিতে উচ্চতর অর্ডার যুক্তির প্রয়োজন হতে পারে। প্রায়শই, প্রবাদদের একটি প্রমাণ নিয়ে আসতে বেশ কিছুটা সময় প্রয়োজন (শর্ত থাকে যে সেখানে এমন প্রমাণ রয়েছে যার জন্য কেবল প্রথম-আদেশের যুক্তি কৌশলগুলি প্রয়োজন)। অবশ্যই, উচ্চ-অর্ডার যুক্তির প্রয়োজন হয় এমন কোনও সমস্যার জন্য প্রথম-আদেশের উপপাদ্য প্রবাদটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করার ফলে সাধারণত একটি সময়সীমা শেষ হয়।

অতএব, আমি ভাবছিলাম যে এমন কোনও পদ্ধতি / কৌশল রয়েছে যা আমাকে আগে থেকেই বলতে পারে যে কোনও প্রমাণের সমস্যার জন্য উচ্চতর আদেশের যুক্তিযুক্ত কৌশলগুলির প্রয়োজন হবে (অর্থাত "এটি প্রথম আদেশের তাত্ত্বিক প্রবাদটি হস্তে সময় নষ্ট করবেন না") ) বা না, কমপক্ষে সম্ভবত নির্দিষ্ট ইনপুট সমস্যার জন্য।

আমি আমার প্রশ্নের উত্তরের জন্য সাহিত্যে সন্ধান করেছি এবং উপপাদ্য অঞ্চল থেকে কিছু সহ গবেষককে এটি সম্পর্কে প্রমাণিত হয়ে জিজ্ঞাসা করেছি - তবে এখনও পর্যন্ত আমি কোনও ভাল উত্তর পাইনি। আমার প্রত্যাশাটি হ'ল সেই বিষয়ে কিছু গবেষণা রয়েছে এমন লোকদের কাছ থেকে যারা ইন্টারেক্টিভ উপপাদ্য প্রমাণকারী এবং স্বয়ংক্রিয় উপপাদক (কোক সম্প্রদায়? ইসাবেল সম্প্রদায় (স্লেজহ্যামার?)) সম্মিলন করার চেষ্টা করছেন - তবে এখনও আমি কিছুই খুঁজে পাইনি could

আমি অনুমান করি যে সাধারণভাবে, আমি এখানে যে সমস্যাটি উল্লেখ করেছি তা অনস্বীকার্য (এটি কি?)। তবে সমস্যার সংশোধিত সংস্করণগুলির জন্য ভাল উত্তর থাকতে পারে ...?

Comments

আপনি যা জিজ্ঞাসা করছেন তা মূলত সিদ্ধান্ত নিচ্ছে যদি প্রদত্ত সূত্রটি প্রবাবযোগ্য হয় (আপনার দুর্বল সিস্টেমে) যা সাধারণভাবে অনির্বাচ্য এমনকি Q এর মত একটি সাধারণ তত্ত্বের জন্যও তবে সম্ভাব্যতা আসলে খুব কার্যকর নয় কারণ একটি শক্তিশালী তত্ত্ব একটি উপপাদকের প্রমাণকে সংক্ষিপ্ত করতে পারে অনেক। কোনও উপপাদ্যটির একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য এনপি-সম্পূর্ণ। আমি সন্দেহ করি যে এখানে একটি ভাল উত্তরাধিকারী আছে।

— কাভেহ

পেরানো পাটিগণিতের অন্তর্ভুক্তি রয়েছে, এবং পানো পাটিগণিত প্রথম-ক্রম (অর্থাত্ কেবল ব্যক্তিদের উপরে পরিমাণ নির্ধারণ)। জেডএফসির জন্য একই। মার্টিন ডেভিসকে উদ্ধৃত করার জন্য: "উচ্চতর-আদেশের যুক্তিগুলি কেবল প্রথম-আদেশের যুক্তিতে আনুষ্ঠানিকভাবে সেট করা তত্ত্বগুলির নোটিক্যাল বৈকল্পিক, যান্ত্রিক তাত্ত্বিক-প্রমাণিতকরণে উচ্চতর অর্ডার ফর্মালিজমের ব্যবহারের প্রশ্নটি এই জাতীয় ফর্মালিজমগুলি প্রস্তাব দেয় কিনা তা কেবল একটি বিষয় মাত্র is দরকারী অ্যালগরিদম। "

— মার্টিন বার্গার

@ মার্টিন বার্গার আমি এই প্রশ্নের উদ্দেশ্য নিয়ে চিন্তা করি, অ্যাক্সিয়ম স্কিমগুলি "উচ্চ-আদেশের যুক্তি কৌশলগুলি" হিসাবে গণনা করা হয়

— ফ্রেড 2281

@ ফ্রেড 2281 পরিভাষা সম্পর্কে সতর্কতা অবলম্বন করা সহায়ক। সেট-থিয়োরিগুলি রয়েছে যেগুলির একটি সীমাবদ্ধ অ্যাকিয়োমাটাইজেশন রয়েছে (যেমন নিউম্যান – বার্নেস – গুডেল সেট তত্ত্ব যা জেডএফসির একটি রক্ষণশীল এক্সটেনশন)। বিপরীতে জেডএফসির অ্যাক্সিয়াম স্কিমাতা সীমাবদ্ধ সংখ্যার অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা যায় না। আমি মনে করি তবে আমি এখনই নিশ্চিত নই যে অ্যাক্সিয়াম স্কিমগুলিতে সেট থিউরি বা উচ্চ-অর্ডার যুক্তির পূর্ণ ক্ষমতা প্রয়োজন নেই।

— মার্টিন বার্গার

Answer 1

সংক্ষেপে, প্রথম-ক্রমের যুক্তিতে বর্ণিত প্রতিটি তত্ত্বের একটি প্রথম-আদেশ প্রমাণ রয়েছে।

পিটার বি অ্যান্ড্রুজ তাঁর "" গাণিতিক লজিক এবং টাইপ থিওরির জন্য একটি ভূমিকা "বইয়ে প্রথম-আদেশের যুক্তি এবং উচ্চ-আদেশের যুক্তি Q ₀ উভয় সিস্টেমকে বিকাশ করেছেন , যা সাধারণত আধুনিক উচ্চ-আদেশ প্রবাদীদের তত্ত্ব ভিত্তি হিসাবে বিবেচিত হয় । (উদাহরণস্বরূপ এইচএলএল যুক্তির ভূমিকা দেখুন))

কিউ ₀ এবং অনুরূপ সিস্টেমের জন্য, অ্যান্ড্রুজ দেখায় যে তিনি যে উচ্চতর অর্ডার লজিকগুলি বর্ণনা করেছেন তাকে প্রথম-আদেশ যুক্তির রক্ষণশীল এক্সটেনশন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং লিখেছেন (দ্বিতীয় সংস্করণ, পৃষ্ঠা 259) যে, "সংক্ষেপে, প্রতিটি প্রথম-আদেশের উপপাদ্য টাইপ তত্ত্বের একটি প্রথম-আদেশ প্রমাণ রয়েছে "

আপনার ব্যবহারিক উদ্বেগগুলি দেওয়া হলেও, আমি নীচের অনুচ্ছেদগুলিও উদ্ধৃত করেছি:

"তবে, প্রথম-আদেশের যুক্তির কিছু উপপাদ্যগুলি কেবলমাত্র উচ্চ-অর্ডার যুক্তিতেই প্রকাশ করা যেতে পারে এমন ধারণাগুলি ব্যবহার করে সবচেয়ে দক্ষতার সাথে প্রমাণিত হতে পারে Ex উদাহরণগুলি [অ্যান্ড্রুজ এবং বিশপ, ১৯৯]] এবং [বুলোস, 1998, অধ্যায় 25] এ পাওয়া যেতে পারে স্ট্যাটম্যান প্রমাণ করেছেন [পরিসংখ্যান, ১৯ 197৮, প্রস্তাব 6.৩.৫] প্রথম আদেশের যুক্তিযুক্ত ডাব্লুএইচএফ এর প্রথম-ক্রমের যুক্তিতে প্রমাণের ন্যূনতম দৈর্ঘ্য একই ডাব্লুএফএফের প্রমাণের ন্যূনতম দৈর্ঘ্যের চেয়ে অসাধারণ দীর্ঘ হতে পারে দ্বিতীয়-ক্রমের যুক্তি। গোডেল দ্বারা একটি সম্পর্কিত ফলাফল [গডেল, ১৯৩36] হ'ল সাধারণভাবে 'পরবর্তী উচ্চতর আদেশের যুক্তিতে যাওয়ার ফলে প্রভাব পড়ে, কেবলমাত্র প্রমাণযোগ্য কিছু প্রস্তাবনা তৈরি করা যা আগে প্রমাণযোগ্য ছিল না, তৈরি করার ক্ষেত্রেও ছিল অসাধারণ পরিমাণে, ইতিমধ্যে উপলব্ধ প্রচুর প্রমাণগুলি অসম্পূর্ণভাবে সংক্ষিপ্ত করা সম্ভব '' এর সম্পূর্ণ প্রমাণ [বুস,1994]। "