সর্বাধিক ওজন মেলা এবং submodular ফাংশন

একটি দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ দেওয়া ইতিবাচক ওজন সঙ্গে দিন সঙ্গে গ্রাফ সর্বোচ্চ ওজন মিলে যাওয়া সমান । $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

এটা কি সত্য যে একটি submodular কার্যকারিতা রয়েছে? $f$

matching submodularity

— জর্জ অক্টাভিয়ান রাবাঙ্কা
সূত্র

আপনি কি মনে করেন? আপনি কি এটি প্রমাণ / অস্বীকার করার চেষ্টা করেছেন?

— যুবাল ফিল্মাস

স্বজ্ঞাতভাবে মনে হয় এটি সত্য হওয়া উচিত তবে আমি এটি প্রমাণ করতে পারিনি। এছাড়াও আমি মনে করি এটি যদি সত্য হয় তবে এটি একটি সুপরিচিত ফলাফল হওয়া উচিত তবে আমি কোনও রেফারেন্স খুঁজে পাইনি।

— জর্জ অক্টাভিয়ান রাবাঙ্কা

এটি অপ্রচলিত ক্ষেত্রে সত্য, কারণ এটি কম-কাটাতে কমানো যেতে পারে। ওজনযুক্ত সংস্করণটি কীভাবে প্রমাণ করা যায় তা স্পষ্ট নয় ...

— চাও Xu

প্রান্ত ওজন 1,1,1,2 সহ কে_ Consider বিবেচনা করুন ।

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— আন্দ্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেসালামন মনে হচ্ছে এটি শেষ ধাপে আপনি ধরে নিয়েছেন যে অপরিহার্য , যা সত্য নয়। এর সর্বাধিক মিলটি এমন শীর্ষগুলি ব্যবহার করতে পারে যা এবং সাথে দুটি মিলিয়ে ইতিমধ্যে ব্যবহার করা হয়েছে । আমার কাছে এখন এটির জন্য একটি প্রমাণ রয়েছে তবে এটি অবশ্যই এর চেয়ে বেশি জড়িত।

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— জর্জ অক্টাভিয়ান রাবাঙ্কা

সংজ্ঞা । প্রদত্ত সীমাবদ্ধ সেট একটি সেট ফাংশন sub সাবমডুলার যদি কোনও করে যে: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

লেমা হ'ল ধনাত্মক প্রান্তের ওজন সহ একটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ দেওয়া যাক, এমন ফাংশন যা এটিকে সর্বাধিক মানের মান হিসাবে মানাবে ওজন মেলানো । তারপরে সাবমোডুলার। $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

প্রুফ। ফিক্স দুটি সেট দিন এবং গ্রাফ জন্য দুটি matchings হতে এবং যথাক্রমে । থিম প্রমাণ দেখাতে হবে যে এটা প্রান্ত পার্টিশন করা সম্ভব যথেষ্ট এবং দুই টুকরো করা matchings মধ্যে এবং গ্রাফ জন্য এবং যথাক্রমে । $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

এবং প্রান্তগুলি বিকল্প পথ এবং চক্রের সংগ্রহ তৈরি করে। যাক এই সংগ্রহ বোঝাতে এবং মান্য যে কোন চক্র থেকে ছেদচিহ্ন রয়েছে বা । এটি ধরে রেখেছে কারণ এই শীর্ষগুলিটির সাথে মেলে না। $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

যাক মধ্যে পাথ সেট হতে অন্তত এক চূড়া সঙ্গে দিন মধ্যে পাথ সেট হতে সঙ্গে অন্তত এক প্রান্তবিন্দু । নীচের চিত্রে এ জাতীয় দুটি পথ চিত্রিত করা হয়েছে। $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

দাবি ১. । $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

দ্বন্দ্বের দ্বারা ধরে নিন যে সেখানে একটি পথ রয়েছে । যাক একটি প্রান্তবিন্দু হতে পথে এবং একইভাবে দিন একটি প্রান্তবিন্দু হতে পথে । পালন যেহেতু তন্ন তন্ন করে কিংবা অন্তর্ভুক্ত তারা ম্যাচিং অন্তর্গত না সংজ্ঞা দ্বারা, সেইজন্য এবং তারা পথের এন্ড পয়েন্ট হয় । তাছাড়া, যেহেতু উভয় এবং হয় পথ $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ $y$ $A$ $P$ এর দৈর্ঘ্যও রয়েছে এবং যেহেতু এটি বিকল্প পথ, তাই প্রথম বা শেষ প্রান্তটি অন্তর্গত । অতএব বা মেলে যা এবং দাবি প্রমাণ করে। $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

যাক এবং এটি পরিষ্কার যে এবং । উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য এটি দেখানো বাকি যে এবং যথাক্রমে এবং এর সাথে বৈধ মিল রয়েছে । দেখতে জন্য একটি বৈধ matchings হয় প্রথম যে কোন প্রান্তবিন্দু পালন দ্বারা মেলানো হয় যেহেতু

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$ ছেদ করে না দাবি 1 দ্বারা, এবং ছেদ করে না সংজ্ঞা দ্বারা। সুতরাং, কেবল এর ব্যবহার করে । দ্বিতীয়ত পালন যে প্রতি প্রান্তবিন্দু এর সর্বাধিক এক প্রান্ত দ্বারা মেলানো হয় অন্যথায় যেহেতু উভয় দুই প্রান্ত জন্যে বা দুই প্রান্ত , সংজ্ঞা contradicting। এই প্রমাণ করে যে জন্য একটি বৈধ মেলা ; দেখানো হচ্ছে যে জন্য একটি বৈধ মিল

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$ অনুরূপ.

— জর্জ অক্টাভিয়ান রাবাঙ্কা
সূত্র

এটি দুর্দান্ত দেখাচ্ছে! একটি ছোট্ট পরামর্শ হিসাবে: এবং প্রতিসম নয়, সুতরাং আপনার চূড়ান্ত দাবি যে " ... অনুরূপ" তাত্ক্ষণিক নয়। এটি আরও স্পষ্ট (আমি মনে করি) যদি আপনি আপনি যদি কোনও সংযুক্তি স্পর্শ না করে সংযুক্ত উপাদানগুলি বোঝায় এবং তারপরে এবং সঙ্গে একই হতে এবং আনা এবং তারপর গত পরিবর্তিত ।

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— অ্যান্ড্রু মরগান