একটি দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ দেওয়া ইতিবাচক ওজন সঙ্গে দিন সঙ্গে গ্রাফ সর্বোচ্চ ওজন মিলে যাওয়া সমান ।চ : 2 ইউ → আরজি [ এস ∪ ভি ]
এটা কি সত্য যে একটি submodular কার্যকারিতা রয়েছে?
একটি দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ দেওয়া ইতিবাচক ওজন সঙ্গে দিন সঙ্গে গ্রাফ সর্বোচ্চ ওজন মিলে যাওয়া সমান ।চ : 2 ইউ → আরজি [ এস ∪ ভি ]
এটা কি সত্য যে একটি submodular কার্যকারিতা রয়েছে?
উত্তর:
সংজ্ঞা । প্রদত্ত সীমাবদ্ধ সেট একটি সেট ফাংশন sub সাবমডুলার যদি কোনও করে যে: f : 2 A → R X , Y ⊆ A f ( X ) + f ( Y ) ≥ f ( X ∪ Y ) + f ( X ∩ Y ) ।
লেমা হ'ল ধনাত্মক প্রান্তের ওজন সহ একটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ দেওয়া যাক, এমন ফাংশন যা এটিকে সর্বাধিক মানের মান হিসাবে মানাবে ওজন মেলানো । তারপরে সাবমোডুলার।f : 2 A → R + S ⊆ A G [ S ∪ B ] f
প্রুফ। ফিক্স দুটি সেট দিন এবং গ্রাফ জন্য দুটি matchings হতে এবং যথাক্রমে । থিম প্রমাণ দেখাতে হবে যে এটা প্রান্ত পার্টিশন করা সম্ভব যথেষ্ট এবং দুই টুকরো করা matchings মধ্যে এবং গ্রাফ জন্য এবং যথাক্রমে ।এম ∩ এম ∪ জি [ ( এক্স ∩ ওয়াই ) ∪ বি ] জি [ ( এক্স ∪ ওয়াই ) ∪ বি ] এম ∩ এম ∪ এম এক্স এম ওয়াই জি [ এক্স ∪ বি ] জি [ ওয়াই ∪ বি ]
এবং প্রান্তগুলি বিকল্প পথ এবং চক্রের সংগ্রহ তৈরি করে। যাক এই সংগ্রহ বোঝাতে এবং মান্য যে কোন চক্র থেকে ছেদচিহ্ন রয়েছে বা । এটি ধরে রেখেছে কারণ এই শীর্ষগুলিটির সাথে মেলে না।M ∪ C C X ∖ Y Y ∖ X M ∩
যাক মধ্যে পাথ সেট হতে অন্তত এক চূড়া সঙ্গে দিন মধ্যে পাথ সেট হতে সঙ্গে অন্তত এক প্রান্তবিন্দু । নীচের চিত্রে এ জাতীয় দুটি পথ চিত্রিত করা হয়েছে।সি এক্স∖ওয়াই পি ওয়াই সি ওয়াই∖এক্স
দাবি ১. ।
দ্বন্দ্বের দ্বারা ধরে নিন যে সেখানে একটি পথ রয়েছে । যাক একটি প্রান্তবিন্দু হতে পথে এবং একইভাবে দিন একটি প্রান্তবিন্দু হতে পথে । পালন যেহেতু তন্ন তন্ন করে কিংবা অন্তর্ভুক্ত তারা ম্যাচিং অন্তর্গত না সংজ্ঞা দ্বারা, সেইজন্য এবং তারা পথের এন্ড পয়েন্ট হয় । তাছাড়া, যেহেতু উভয় এবং হয় পথ এক্স এক্স ∖ ওয়াই পি ওয়াই ওয়াই ∖ এক্স পি x Y এক্স ∩ ওয়াই এম ∩ পি x Y একটি পি এম ∩ এম ∩ এক্স Yএর দৈর্ঘ্যও রয়েছে এবং যেহেতু এটি বিকল্প পথ, তাই প্রথম বা শেষ প্রান্তটি অন্তর্গত । অতএব বা মেলে যা এবং দাবি প্রমাণ করে।
যাক এবং এটি পরিষ্কার যে এবং । উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য এটি দেখানো বাকি যে এবং যথাক্রমে এবং এর সাথে বৈধ মিল রয়েছে । দেখতে জন্য একটি বৈধ matchings হয় প্রথম যে কোন প্রান্তবিন্দু পালন দ্বারা মেলানো হয় যেহেতুএম ওয়াই = ( পি এক্স ∩ এম ∩ ) ∪ ( ( সি ∖ পি এক্স ) ∩ এম ∪ ) । এম এক্স ∪ এম ওয়াই = এম ∩ ∪ এম ∪ এম এক্স ∩ এম ওয়াই