এনএফএ সর্বজনীনতার জন্য শর্তসমূহ

Question

একটি সসীম অটোমেটা এবং একটি ফাংশন । অতিরিক্তভাবে আমরা সংজ্ঞায়িত ।$A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$$f(n)$$\Sigma^{\leq k} = \bigcup_{i \leq k} \Sigma^i$

এখন নীচের বিবৃতিটি বিশ্লেষণ করা যাক:

যদি , তবে ।$\Sigma^{\leq f(|Q|)} \subseteq L(A)$$L(A) = \Sigma^*$

এটা সহজ দেখানোর জন্য যে জন্য এটা সত্য, অত যদি অটোমাটা পর্যন্ত দৈর্ঘ্য সঙ্গে প্রতিটি শব্দ উৎপন্ন , তাহলে এটি উৎপন্ন ।$f(n) = 2^n+1$$2^{|Q|}+1$$\Sigma^*$

তবে এটি এখনও বহন করে যদি একটি বহুভুজ হয়?$f$

যদি তা না হয় তবে প্রদত্ত পলিনোম জন্য এনএফএ এর একটি নির্মাণ কী দেখতে পাবে, te সাবটেক ?$A$$p$$\Sigma^{\leq p(|Q|)} \subseteq L(A) \subsetneq \Sigma^*$

Comments

আমি মামলার জন্য একটি প্রমাণ বা তদারকির জন্য অনুগ্রহটি দিতে চাই যে $f(n)=2^{n−o(n)}$ মামলার জন্য $|\Sigma|\geq 2$ । এবং যদি কিছুই না থাকে তবে আমি এটি যে সেরা নির্মাণ করতে পারি তা দিয়ে দেব।

— Hsien-Chhh चांग 張顯 之

Answer 1

বিবৃতিটি ধরে রাখার জন্য, চ অবশ্যই একীভূত বর্ণমালা সহ দ্রুত বৃদ্ধি পেতে হবে।

[সম্পাদনা করুন: বিশ্লেষণ 2 রিভিশন 2 সামান্য উন্নতি করা হয়েছে।]

এখানে একটি প্রমাণ স্কেচ। ধরুন যে বিবৃতিটি ধারণ করে এবং চকে এমন একটি ফাংশন হতে দিন যাতে প্রতিটি এনএফএ বেশিরভাগ এন বলে যে সমস্ত স্ট্রিংকে দৈর্ঘ্য সহ সর্বাধিক চ ( এন ) স্বীকার করে যা কিছু স্ট্রিং গ্রহণ করে। আমরা প্রমাণ করব যে প্রতিটি সি > 0 এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় এন এর জন্য আমাদের কাছে f ( n )> 2 ^{C ⋅√ n রয়েছে} ।

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য যে বোঝা যে জন্য গ <এলজি e এবং যথেষ্ট বৃহৎ জন্য ট , সেখানে অন্তত হয় গ ⋅2 ^ট / ট [2 সীমার মধ্যে মৌলিক ^ট 2, ^{ট + 1} ]। আমরা সি = 1 নিই । এই জাতীয় কে জন্য , N _কে = ⌈2 ^কে / কে ⌉ এবং একটি এনএফএ এম _{কে নীচে} হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক । যাক পি ₁ , ..., পৃঃ _{এন ট} সীমার মধ্যে স্বতন্ত্র মৌলিক হতে [2 ^ট , 2 ^{ট + 1}]। এনএফএ এম _কে এর এস _কে = 1 + পি ₁ +… পি _{এন কে} রাজ্যগুলি রয়েছে। প্রাথমিক অবস্থা বাদে, রাজ্যগুলি এন _কে চক্রগুলিতে বিভক্ত হয় যেখানে i তম চক্রের দৈর্ঘ্য p _{i হয়} । প্রতিটি চক্রের মধ্যে একটি রাষ্ট্র ব্যতীত সমস্ত রাষ্ট্রই গৃহীত হয়। প্রাথমিক অবস্থায় এন _কে বহির্মুখী প্রান্ত রয়েছে, যার প্রত্যেকটি প্রতিটি চক্রের প্রত্যাখ্যাত রাষ্ট্রের অবিলম্বে রাজ্যে যায়। অবশেষে, প্রাথমিক রাষ্ট্রটিও গৃহীত হয়।

যাক পি _ট পণ্য হতে পি ₁ ... পি _{এন ট} । এটি দেখতে যে সহজ এম _ট দৈর্ঘ্যের সমস্ত স্ট্রিং কম গ্রহণ পি _ট কিন্তু দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং প্রত্যাখ্যান পি _ট । অতএব, চ ( এস _ট ) ≥ পি _ট ।

উল্লেখ্য যে এস _কে ≤ 1 + এন _কে ⋅2 ^{কে +1} = ও (2 ^{2 কে} ) এবং পি _কে ≥ (2 ^কে ) ^{এন _কে} ≥ 2 ^{2 কে} । বাকি মানক।

Comments

সেরা মান সম্পর্কে আপনার অনুমান কী ? বলুন , বা মধ্যে কোথাও এবং ? $f$$f(n) = 2^n+1$$2^n$$2^{c\cdot\sqrt{n}}$

— হিশিয়েন-চিহ চাং 之 之

@ হিসিয়েন-চিহ: আমিও একই জিনিসটি ভাবছিলাম এবং আমার কোনও যুক্তিসঙ্গত অনুমান নেই। প্রথমত, এফ (এন) ≤2 ^ n (আমাদের +1 লাগবে না) দেখতে এটি তুচ্ছ এবং আমি যখন এই উপরের সীমানার উপর কিছু লিনিয়ার উন্নতি আশা করি তখন এটি কোনও ধ্রুবক ফ্যাক্টরের সাথে আঁটসাঁট কিনা তা আমার কোনও ধারণা নেই। (আরও)

— Tsuyoshi Ito

(চালিয়ে যাওয়া) দ্বিতীয়ত, নিম্ন সীমা হিসাবে, যদি আমার ভুল না হয় তবে উপরের বিশ্লেষণের একটি সামান্য পরিমার্জন নীচের নীচে আবদ্ধতা দেয়: প্রতিটি ধ্রুবক 0 <c < এবং পর্যাপ্ত বড় এন এর জন্য, আমাদের। আরও পরিমার্জনগুলি সম্ভবত সম্ভব, তবে আমরা যদি এনটিএম এর একই নির্মাণ ব্যবহার করি তবে আমরা পি> 1/2 এর জন্য 2 ^ {n ^ p as এর মতো নিম্ন সীমাটি পেতে পারি না। আমি মনে করি যে খারাপ উদাহরণগুলি নির্মাণের জন্য প্রাইমগুলির বিতরণ (যেমন পিএনটি) এর ব্যবহার অপরিহার্য কিনা তা একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন। (আরও)$1/\sqrt2$$f(n) > e^{c\sqrt{n \ln n}}$

— Tsuyoshi Ito

(cont'd) তবে, আপনি যদি আগ্রহী হন এবং এটি আরও তদন্ত করতে চান তবে প্রথমে সাহিত্যের সন্ধান করা বুদ্ধিমানের কাজ। এই উত্তর বা আরও ভাল কিছু ইতিমধ্যে সাহিত্যে হাজির হলে আমি অবাক হব না।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি: ক্রোবাক দেখিয়েছেন যে অ-ভাষার ভাষার জন্য একটি এন-রাষ্ট্রীয় ডিএফএ q স্ক্র্যাট জন্য একটি এম-স্টেট এনএফএ দ্বারা অনুকরণ করা যায় । ভাষাটি অবিচ্ছিন্ন হলে আপনার নির্মাণটি কঠোর। [Chr86] দেখুন: cs.ust.hk/mjg_lib/Library/Chro86.pdf$m=O(e^{\sqrt{n\log n}})$

— Hsien-Chhh चांग 張顯 之

Answer 2

10/12/06 এডিট করুন:

ঠিক আছে, এটি আমি অর্জন করতে পারি এটি বেশ ভাল নির্মাণ, দেখুন কেউ ভাল ধারণা নিয়ে আসে কিনা।

উপপাদ্য। প্রতিটি জন্য একটি স্টাট এনএফএ বর্ণমালার উপর রয়েছে সহ যে মধ্যে সংক্ষিপ্ততম স্ট্রিং দৈর্ঘ্যের ।$n$$(5n+12)$$M$$\Sigma$$|\Sigma|=5$$L(M)$$(2^n-1)(n+1)+1$

এটি আমাদের ।$f(n) = \Omega(2^{n/5})$

শালিটের মতোই নির্মাণটি বেশ একই রকম , আমরা প্রথমে নিয়মিত প্রকাশের মাধ্যমে ভাষার প্রতিনিধিত্ব করার পরিবর্তে সরাসরি এনএফএ তৈরি করি না। দিন

$\Sigma = \{{0 \brack 0},{0 \brack 1},{1 \brack 0},{1 \brack 1},\sharp\}$ ।

প্রতিটি জন্য আমরা একটি এনএফএ তৈরি করতে যাচ্ছি স্বীকৃত ভাষা , যেখানে নিম্নলিখিত ক্রম ( উদাহরণস্বরূপ নিন):$n$$\Sigma^*-\{s_n\}$$s_n$$n=3$

$s_3 = \sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 1}{1 \brack 0}\sharp \ldots \sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$ ।

ধারণাটি হ'ল আমরা একটি এনএফএ নির্মাণ করতে পারি যা পাঁচটি অংশ নিয়ে গঠিত;

• একটি স্টার্টার , যা স্ট্রিংটি দিয়ে শুরু করে তা নিশ্চিত করে ;$\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp$
• একটি টার্মিনেটর , যা স্ট্রিংটি দিয়ে শেষ হয় তা নিশ্চিত করে ;$\sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$
• একটি পাল্টা , যা দুটি হিসাবে প্রতীক সংখ্যা রাখে ;$\sharp$$n$
• একটি অ্যাড-ওন চেকার , যা গ্যারান্টি দেয় যে কেবলমাত্র আকারের চিহ্নগুলি উপস্থিত রয়েছে; পরিশেষে,$\sharp{x \atop x+1}\sharp$
• একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ পরীক্ষক , যা গ্যারান্টি দেয় যে কেবলমাত্র আকারের চিহ্নগুলি একই সাথে উপস্থিত হতে পারে।$\sharp{x \atop y}\sharp{y \atop z}\sharp$

নোট করুন যে আমরা পরিবর্তে স্বীকার করতে চাই না , সুতরাং একবার যদি আমরা খুঁজে যে ইনপুট ক্রম উপরের আচরণগুলির একটি অমান্য করছে, আমরা তত্ক্ষণাত ক্রমটি গ্রহণ করি। অন্যথায় পরে পদক্ষেপগুলি, এনএফএ একমাত্র সম্ভাব্য প্রত্যাখ্যানকারী অবস্থায় থাকবে। এবং যদি ক্রমটি চেয়ে দীর্ঘ হয় এনএফএও গ্রহণ করে। সুতরাং যে কোনও এনএফএ উপরোক্ত পাঁচটি শর্ত পূরণ করে কেবল প্রত্যাখ্যান ।$\Sigma^*-\{s_n\}$$\{s_n\}$$|s_n|$$|s_n|$$s_n$

কঠোর প্রমাণের পরিবর্তে সরাসরি নিম্নলিখিত চিত্রটি পরীক্ষা করা সহজ হতে পারে:

আমরা উপরের-বাম অবস্থায় শুরু করি। প্রথম অংশটি হল স্টার্টার এবং কাউন্টার, তারপরে ধারাবাহিক পরীক্ষক, টার্মিনেটর, অবশেষে অ্যাড-ওয়ান চেকার। কোনও টার্মিনাল নোডবিহীন সমস্ত চাপ নীচে-ডানদিকে নির্দেশ করে, যা সর্বকালের গ্রহণযোগ্য। কিছু প্রান্ত জায়গাগুলির অভাবে লেবেলযুক্ত না থাকলেও সেগুলি সহজে পুনরুদ্ধার করা যায়। একটি ড্যাশ লাইন প্রান্তযুক্ত রাজ্যের ক্রম উপস্থাপন করে ।$n-1$$n-2$

আমরা (বেদনাদায়কভাবে) যাচাই করতে পারি যে এনএফএ কেবল প্রত্যাখ্যান করে , যেহেতু এটি উপরের পাঁচটি বিধি অনুসরণ করে। সুতরাং একটি এনএফএ সহ হয়েছে, যা উপপাদকের প্রয়োজনীয়তাকে সন্তুষ্ট করে।$s_n$$(5n+12)$$|\Sigma|=5$

যদি নির্মাণে কোনও অস্পষ্টতা / সমস্যা থাকে তবে দয়া করে একটি মন্তব্য দিন এবং আমি এটি ব্যাখ্যা / ঠিক করার চেষ্টা করব।

---

এই প্রশ্নটি জেফরি ও শ্যালিট এট আল দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছে , এবং প্রকৃতপক্ষে সর্বোত্তম মানটি এখনও জন্য উন্মুক্ত । (অখণ্ড ভাষা হিসাবে, স্যুওশির উত্তরে মন্তব্যগুলি দেখুন )$f(n)$$|\Sigma|>1$

সর্বজনীনতার বিষয়ে তাঁর আলোচনার 46-51 পৃষ্ঠায় তিনি এমন একটি নির্মাণ প্রদান করেছিলেন:

উপপাদ্য। জন্য কিছু বৃহৎ যথেষ্ট, একটি হল -state NFA বাইনারি বর্ণমালার উপর যেমন যে সবচেয়ে কম নেই স্ট্রিং দৈর্ঘ্য হল জন্য ।$n\geq N$$N$$n$$M$$L(M)$$\Omega(2^{cn})$$c=1/75$

সুতরাং অনুকূল মানটি কোথাও এবং । আমি নিশ্চিত নই যে সাম্প্রতিক বছরগুলিতে শ্যালিতের ফলাফলের উন্নতি হয়েছে কিনা।$f(n)$$2^{n/75}$$2^n$

Comments

আমি শালিতের কাজ নিয়ে খেলছি, near কাছাকাছি আরও ভাল একটি আবদ্ধ হওয়ার প্রত্যাশা । তাদের নির্মাণ আকর্ষণীয় বলে মনে হয়, দৈর্ঘ্য কিছু ক্রম উল্লেখ দ্বারা যা দৈর্ঘ্যের একটি "ছোট" রেগুলার এক্সপ্রেশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যাবে না , এবং দৈর্ঘ্য প্রতিটি রেগুলার এক্সপ্রেশন আকারের এনএফএ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে । বর্তমানে আমি দিতে সক্ষম হয়েছি , তবে একটি চৌকস ধারণাটি কাছাকাছি আসা দরকার । $2^n$$\hat{\Omega}(2^n)$$cn+o(n)$$f(n)$$f(n)+1$$c \leq 22$$2^n$

— Hsien-Chhh चांग 張顯 張顯

আমি মনে করি না যে এই সমস্যাটি অধ্যয়নের জন্য এটি আরও অন্তর্দৃষ্টি দেয়, তবে শালিতের আলাপের জন্য যথাযথ পণ্ডিতের উল্লেখটি হ'ল: কে.এলুল, বি। ক্রায়েটজ, জে শালিট, এম ওয়াং: নিয়মিত প্রকাশ: নতুন ফলাফল এবং ওপেন সমস্যা। অটোমাতা, ভাষা ও সংমিশ্রনের জার্নাল 10 (4): 407-437 (2005)

— হারমান গ্রুবার

@ হারমান: রেফারেন্সের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, বর্তমানে আমি কাগজে অ্যাক্সেস করতে পারছি না, তবে আমি এর উপায় খুঁজে পাব।

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之 之

আমি মনে করি কাউন্টার ব্যবহার করে আমরা 2-রাষ্ট্রের ক্ষুদ্র মেশিন দ্বারা স্টার্টার এবং টার্মিনেটর প্রতিস্থাপন করতে পারি । সুতরাং এটি আরও এর আকার কমিয়ে দেয় । $3n+O(1)$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之 之

উল্লেখিত জেএলসি কাগজের লেখকের প্রিপ্রিন্ট সংস্করণটি এখানে রয়েছে: cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/re3.pdf আবদ্ধ, এবং প্রমাণ মুদ্রিত সংস্করণে একই।

— হারমান গ্রুবার