সীমিত ব্যাসের পয়েন্টের বৃহত্তম সেট সন্ধান করা

Question

প্রদত্ত পয়েন্ট মধ্যে আর ঘ এবং একটি দূরত্ব ঠ এই পয়েন্ট যেমন যে তাদের কোন দুই Euclidian দূরত্ব অতিক্রম করে সর্ববৃহৎ উপসেট এটি ঠ ।$p_1,\ldots,p_n$$\mathbb{R}^{d}$$l$$l$

এই সমস্যার জটিলতা কী?

দুটি পয়েন্টের দূরত্ব সর্বাধিক হলে যে পয়েন্টগুলির উপরের গ্রাফটিতে সমস্যাটি সর্বাধিক চক্র সন্ধানের সমতুল্য। কথোপকথনটি ধরে রাখতে পারে না, কারণ প্রতিটি গ্রাফ এইভাবে পাওয়া যায় না (উদাহরণস্বরূপ স্টার কে 1 , ডি = 2 এর জন্য 7 )। সুতরাং সম্পর্কিত সম্পর্কিত প্রশ্ন: গ্রাফগুলির এই শ্রেণীর সম্পর্কে কী জানা যায়?$l$$K_{1,7}$$d=2$

Comments

মনে রাখবেন যে স্থির হয়ে থাকলে, একটি "তুচ্ছ" পি-টাইম অ্যালগরিদম রয়েছে: যেহেতু এই ধরনের সেটটি এল / 2 এর ব্যাসার্ধের একটি বলের মধ্যে আবদ্ধ থাকে এবং সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই বলটি ন্যূনতম হয় (অর্থাত্ ডি + 1 পয়েন্টগুলি স্পর্শ করে ), সমস্ত সাবসেটের উপর কেবল গণনা করুন। আপনি আরও ভাল করতে পারেন, তবে জটিলতার দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্যাটি "সহজ"। $d$$l/2$$d+1$

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি এটি সত্য বলে মনে করি না যে সর্বোত্তম সেটটি অবশ্যই ব্যাসার্ধের এল / 2 এর বলের সাথে আবদ্ধ। প্লেনে উদাহরণস্বরূপ, পাশের দৈর্ঘ্যের l এর সমতুল্য ত্রিভুজের তিনটি উল্লম্বটি এতটা বদ্ধ নয়।

— ডেভিড এপস্টিন

আহ সত্য। তবে গণনাটি নির্বিশেষে কাজ করা উচিত।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আপনি বলগুলির অভ্যন্তরে সাবসেটগুলি গণনা করতে পারেন, তবে আপনি যদি এল / 2 ব্যাসার্ধটি তৈরি করেন তবে আপনি কিছু কম ব্যাসের সাবসেট পাবেন না এবং যদি আপনি এর থেকে ব্যাসার্ধকে আরও উচ্চতর করেন তবে এটি কীভাবে সাবসেটগুলি নীচে ছাঁটাবেন তা স্পষ্ট নয় they কম ব্যাস আছে।

— ডেভিড এপস্টিন

আমি কেন সাবসেটগুলি গণনা করতে পারি না, একটি মিনিট ঘেরের বল খুঁজে পাই এবং প্রত্যেকটির জন্য কার্ডিনালটির গণনা করতে পারি?

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 1

একটা ব্যাপার জেফ এরিকসন সঙ্গে আমার কাগজে এই সমস্যার দ্বি-মাত্রিক সংস্করণের জন্য সময় অ্যালগরিদম, " iterated প্রতিবেশীদের নিকটতম এবং সংক্ষিপ্ত polytopes খোঁজার ", ডিস্ক। বন্দীরা। Geom। 11: 321-350, 1994. প্রকৃতপক্ষে কাগজটি দ্বৈত সমস্যাটিকে প্রধানত দেখায়: সাবসেটের পয়েন্টগুলির সংখ্যা দেওয়া, সম্ভাব্যতম ব্যাসটি সন্ধান করুন; তবে এটি আপনাকে সাববুটিন হিসাবে বর্ণনা করা সমস্যাটি ব্যবহার করে। সময় আমরা এটা লিখেছে অন্তত এ, আমরা উচ্চতর মাত্রা জন্য কিছু subexponential জানেন না (যদিও যদি উপসেট শুধুমাত্র করেছে k এটা পয়েন্ট সূচকীয় পক্ষ থেকে নির্ভরশীল তৈরি করা যেতে পারে ট বদলে $O(n^3\log n)$$k$$k$$n$ একই কাগজে কৌশল ব্যবহার করে)।

Answer 2

আপনি যদি সর্বাধিক সাথে ব্যাসযুক্ত ক্ষুদ্রতম উপসেটটিতে আগ্রহী হন তবে অনুমিতকরণ খুব সহজ । গ্রিড ব্যবহার করে একটি রৈখিক সময়ের অ্যালগরিদম এখন "স্ট্যান্ডার্ড"। ধ্রুবকটি সম্ভবত 2 ও ( 1 / ϵ d ) এর মতো কিছু হবে ।$(1+\epsilon)l$$2^{O(1/\epsilon^d)}$

কে পয়েন্ট সমন্বিত ক্ষুদ্রতম বলটি সন্ধান করার জন্য কিছু কাজ রয়েছে তবে ব্যাসের সমস্যাটি সহজাতভাবে আরও শক্ত। কেন তা দেখতে, একটি ভাল সূচনা পয়েন্ট হ'ল ক্লার্কসন-শোর কাগজটি 3 ডি তে ব্যাস গণনা করার জন্য।

বিটিডাব্লু, উচ্চ মাত্রার জন্য, বল সমস্যাটি কর্সেট ব্যবহার করে (তবে মাত্রায় নয়!) (বা কিছু অনুরূপ গোলমাল) এর সময় সূচকগুলিতে আনুমানিক । আমি সন্দেহ করি যে এই সমস্যাটি এই সমস্যায় বাড়ানো যেতে পারে তবে আমি ভুল হতে পারি। $O(1/\epsilon^2)$