পি / পলি বনাম ইউনিফর্ম জটিলতা ক্লাস

এনএক্সপি পি / পলিতে রয়েছে কিনা তা জানা যায়নি। প্রকৃতপক্ষে প্রমাণ করে যে এনএক্সপি পি / পলিতে নেই, ড্যারানডমাইজেশনে কিছু অ্যাপ্লিকেশন থাকতে পারে।

সবচেয়ে ছোট ইউনিফর্ম শ্রেণি সি কোনটির জন্য এটি প্রমাণ করতে পারে যে সি পি / পলিতে নেই?
পি / পলিতে কো-এনএক্সপি অন্তর্ভুক্ত নেই তা দেখানো হবে কি এনএক্সপি বনাম পি / পলির মতো কিছু জটিল জটিল তাত্ত্বিক পরিণতি রয়েছে?

দ্রষ্টব্য: আমি সচেতন $SP_2$ এটি অন্তর্ভুক্ত না জানা হয় $Size[n^k]$ প্রতিটি স্থির ধ্রুবক জন্য $k$ (এটি এমএ-তে 1 বিট পরামর্শ দিয়েও দেখানো হয়েছিল)। তবে এই প্রশ্নে আমি স্থির ফলাফলের জন্য আগ্রহী নই $k$ । এই ক্লাসগুলি খুব বড় হলেও, আমি পি / পলির থেকে পৃথক ক্লাসে সত্যই আগ্রহী।

complexity

— Springberg
সূত্র

আপনি জেনারেল সার্কিটের জন্য সুপারপলিনিমিয়াল আকারের নিম্ন সীমাতে মূলত কোনও সমস্যা জিজ্ঞাসা করছেন।

— কাভেঃ

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ না থাকার জন্য পরিচিত

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ । সংক্ষিপ্ত প্রমাণের জন্য উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি দেখুন ।

— রবিন কোঠারি

পি / পলিটি পরিপূরক হিসাবে বন্ধ থাকে, সুতরাং এটিতে এনএক্সপি রয়েছে এবং যদি এটিতে কোএনএক্সপি থাকে only

— এমিল জেবেক

এমিল, রবিন এবং অ্যান্ড্রু আপনার উত্তরগুলির জন্য ধন্যবাদ। আমি মনে করি আমার প্রশ্নের উত্তর এখনই বিবেচনা করা যেতে পারে। কেউ কি এটি একটি উত্তরে লিখবেন যাতে আমি এটি গ্রহণ করতে পারি?

— স্প্রিংবার্গ

আমি বিশ্বাস করি যে

M A_{e x p}

$MA_{exp}$ পরিচিত অতিমানবিক নিম্ন সীমানা ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ) সহ ক্ষুদ্রতম ইউনিফর্ম শ্রেণি এবং এটি

O_{2}^{P}

$O^P_2$ নির্বিচারে বহুপদী নিম্ন সীমানা ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ) সহ সবচেয়ে ছোটটি lest

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

$\let\mr\mathrm$ সাহিত্যে বিভিন্ন ফল জানায় একটি নির্দিষ্ট শ্রেণী যে আছে সন্তুষ্ট কোন , এবং সাধারণত এটা প্যাড সহজবোধ্য তাদের যে কোনো সবে দেখানোর জন্য এর superpolynomially প্রসারিত সংস্করণ নেই । $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

আমাকে বলে যে যাক একটি হল superpolynomial আবদ্ধ যদি এটা সময় অঙ্কনযোগ্য, এবং । উদাহরণস্বরূপ, একটি সুপারপোলিমনিয়াল বাউন্ড। আসলে, একটি শিক্ষামূলক ব্যায়াম শো যদি কোন সীমাবদ্ধ একঘেয়েমি গণনীয় ফাংশন, একটি superpolynomial আবদ্ধ হয় যেমন যে । $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

প্রথমত, সরাসরি তির্যকটি দেখায় যে যে কোনও জন্য । একই যুক্তি দেয়: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

তাহলে কোনো superpolynomial আবদ্ধ, তারপর । $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

প্রুফ স্কেচ: যে কোনও , এর আকার এর অভিধানের প্রথম সার্কিট হোক যা ভেরিয়েবলের মধ্যে বুলিয়ান ফাংশনটি গণনা করে আকারের একটি সার্কিট দ্বারা গণনাযোগ্য নয় । তারপরে, ভাষাটি by দ্বারা সংজ্ঞায়িত । $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

একটি সুপরিচিত উন্নতিতে বলা হয়েছে যে যে কোনও জন্য এস । একইভাবে, $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

তাহলে কোনো superpolynomial আবদ্ধ, তারপর । $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

প্রুফ স্কেচ: যদি তা না হয় তবে নির্দিষ্টভাবে , সুতরাং । প্যাডিং আর্গুমেন্ট দ্বারা, , কোড । $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

দ্বিধাবিভক্ত ক্লাসগুলি আরও ভাল করে। অপূর্ব ভাগবতের উত্থাপিত আপত্তিটি বিবেচনা করে, আসুন । তারপরে যে কোনও জন্য , এবং একই যুক্তি ফল দেয়: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

তাহলে কোনো superpolynomial আবদ্ধ, তারপর । $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

প্রুফ স্কেচ: যদি , তবে প্যাডিংয়ের মাধ্যমে, which, যা । তারপরে আমরা আগের মতো এগিয়ে চলি। $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

এমএ জড়িত ফলাফল রয়েছে। প্রায়শই উল্লিখিত ফলাফল যে । একটি ওভারকিল। Santhanam প্রমাণিত কোন , এবং একটি অনুরূপ যুক্তি দেয়: $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

যদি এর কোনও সুপারপলিনোমিয়াল বাউন্ড হয়, তবে এমআর $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
প্রুফ স্কেচ করা: Santhanam এর থিম 11 (যে আদর্শ বস্তুত নিশিত সংস্করণ যা , সেখানে একটি PSPACE-সম্পূর্ণ ভাষাটির PSPACE prover সঙ্গে) এবং এলোমেলোভাবে বহু-টাইম ওরাকল টি এম যেমন যে ইনপুট , কেবলমাত্র দৈর্ঘ্যের ওরাকল প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে; যদি , তবে সম্ভাব্যতা সহ গ্রহণ করে ; আর যদি , যেকোনো ওরাকল জন্য , সম্ভাব্যতা সঙ্গে গ্রহণ । $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

উপযুক্ত একঘেয়ে পলিনোমিয়াল , A_ দ্বারা সংজ্ঞায়িত প্রতিশ্রুতি সমস্যা হতে দিন যাক একটি বহুপদী হ্রাস হতে তার সম্পূরক, এবং দিন প্রতিশ্রুতি সমস্যা হতে $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in A_{Y E S} \land (h (x), s) \in A_{N O}, \\ (x, s) \in B_{N O} & ⟺ (x, s) \in A_{N O} \land (h (x), s) \in A_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ তাহলে উপযুক্ত বড়, নির্বাচিত সুতরাং, আসুন আমরা বিযুক্তির জন্য ধরে নিই যে এর বহুপক্ষীয় আকারের সার্কিট রয়েছে, বলুন, সাইজ । আসুন ক্ষুদ্রতম বর্তনী কম্পিউটিং আকার বোঝাতে দৈর্ঘ্য ইনপুট উপর , এবং করা ; আরও স্পষ্টভাবে, তারপর $p(n)$ $B \in p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (n) = min {m : p (s (n)) \leq f (m)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ হ'ল থেকে হ্রাস , সুতরাং , যার অর্থ কিন্তু যেহেতু হয় superpolynomial, আমরা । এটি যথেষ্ট পরিমাণে জন্য বৈপরীত্য দেয় । $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (n) \leq t (n)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

আমরা এম এ, একটি অ প্রতিশ্রুতি সংস্করণের সাথে ফলে চান Miltersen, Vinodchandran এবং Watanabe প্রমাণিত half একটি অর্ধ-তাত্পর্যপূর্ণ ফাংশনের জন্য । আমরা এটিকে দুটি উপায়ে উন্নত করতে পারি: প্রথমত, এটি কোনও ধ্রুবক জন্য এক্সপোশনাল সীমানা ধরে রাখে এবং দ্বিতীয়ত, এটি বিস্মৃত শ্রেণির জন্য। এখানে, একটি এক্সপোনালিয়াল ফাংশন, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে একটি ফাংশন যেমন

M A - T I M E (f (n)) \cap c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ । সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞার জন্য মিলটারসেন – বিনোদচন্দ্রন – ওয়াটানাবে কাগজ এবং তার উল্লেখ দেখুন; এটিতে , একটি ভাল আচরণের পরিবার জড়িত , যেমন , , এবং । এছাড়াও, যদি এবং , তবে । তারপর আমাদের আছে:

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ কোনও । $\alpha>0$

প্রুফ স্কেচ: অন্যথায় অনুমান করুন। একটি পূর্ণসংখ্যা যেমন । আমাকে সংক্ষেপে Let প্যাডিংয়ের মাধ্যমে, আমাদের কাছে যেকোন জন্য উপরন্তু, উদাহরণস্বরূপ, ১১ ব্যবহার করে, আমাদের অন্তর্ভুক্ত তুচ্ছ , পুনরাবৃত্তি প্রয়োগ (1) এবং (2) এর দেখায় , $k$ $1/k<\alpha$
$O c O M T (f) = O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) \cap c o O M A - T I M E (p o l y (f (p o l y (n))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O c O M T (e_{β + 1 / k}) \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & P S P A C E \subseteq S I Z E (e_{β} (p o l y (n))) ⟹ P S P A C E \subseteq O c O M T (e_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , , এবং আরও অনেক কিছু। পদক্ষেপের পরে , আমরা আরও একবার প্যাডিং ব্যবহার করে আমরা যা উপরের ফলাফলগুলিকে বিপরীতমুখী করে , a একটি অতিপরিচয় বাউন্ড। $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $P S P A C E \subseteq P / p o l y and P S P A C E = O M A \cap c o O M A .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $D S P A C E (e_{1 / k}) \subseteq O c O M T (e_{1 / k}) \subseteq P / p o l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— এমিল জেবেক
সূত্র

যেহেতু কেউ উত্তর পোস্ট করেনি, তাই আমি নিজেই মূল প্রশ্নের পোস্ট করা মন্তব্যে প্রশ্নের উত্তর দেব answer রবিন কোঠারি, এমিল জের্যাবেক, অ্যান্ড্রু মরগান এবং অ্যালেক্স গোলভনেভকে ধন্যবাদ জানাই।

$MA_{exp}$ এটি পরিচিত অতিমানবিক নিম্ন সীমানা সহ সবচেয়ে ছোট ইউনিফর্ম শ্রেণি বলে মনে হচ্ছে।

$O_2^P$ ক্ষুদ্রতম পরিচিত থাকার আকারের সার্কিট না বর্গ হবে বলে মনে হয় প্রতিটি নির্দিষ্ট জন্য । $n^k$ $k$

Diagonalization, এটি অনুসরণ করে যে কোনো সুপার বহুপদী (এবং স্থান-অঙ্কনযোগ্য) ফাংশন জন্য , বহুপদী আকার সার্কিট আছে না। বনাম এখনও খোলা আছে। $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ , সম্পূরক অধীনে বন্ধ করা হয়, যাতে এটা রয়েছে যদি এবং কেবল যদি এটা রয়েছে । $NEXP$ $coNEXP$

— Springberg
সূত্র

আমি ভুল হলে দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন, তবে যতদূর আমি বলতে পারি, আমরা জন্য স্থির-বহু-আকারের নিম্নতর জানি না । এটি কারণ কার্প- সাধারণ যুক্তি জন্য যায় না , যেহেতু আমরা জানি না যে (আসলে, এটি জিজ্ঞাসার সমতুল্য )। যাইহোক, আমরা জানি যে, অন্তর্ভুক্ত করা হয় না কোন , যেমন Chakaravarthy এবং রায় দেখানো হয়েছে। $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— অপূর্ব ভাগবত
সূত্র