Subexponentially সমাধানযোগ্য হার্ড গ্রাফ সমস্যা

25

অরোরা, বারাক এবং স্টিয়ারারের সাম্প্রতিক ফলাফলের আলোকে, ইউনিক গেমস এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলির জন্য সুব্যাক্সফেনশিয়াল অ্যালগরিদম , আমি গ্রাফ সমস্যাগুলিতে আগ্রহী যেগুলি সুব এক্সপশনিয়াল সময়ের অ্যালগোরিদমযুক্ত তবে বহুবিধ সমাধানযোগ্য নয় বলে বিশ্বাসী। একটি বিখ্যাত উদাহরণ গ্রাফ isomorphism যার subexponential অ্যালগরিদম আছে $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ রান-টাইম। আর একটি উদাহরণ লগ-ক্লাইক সমস্যা যা আধা-বহু-কালীন সময়ে সমাধানযোগ্য ( $n^{O(\log n)}$ )।

আমি আকর্ষণীয় উদাহরণ এবং স্বেচ্ছাসেবীয় হার্ড গ্রাফ সমস্যার জরিপগুলির জন্য একটি উল্লেখ হিসাবে সন্ধান করছি (অগত্যা $NP$ কমপ্লিট নয়)। এছাড়াও, সুব এক্সপোনশিয়াল টাইম অ্যালগোরিদমগুলির সাথে কোনও $NP$ কমপ্লিট গ্রাফের সমস্যা আছে?

ইম্পাগলিয়াজো, পাটুরি এবং জেন দেখিয়েছেন যে এক্সপোনেনশিয়াল টাইম হাইপোথিসিস ইঙ্গিত দেয় যে ক্লাইক, কে-কলরেবিলিটি এবং ভার্টেক্স কভারের জন্য $2^{\Omega(n)}$ সময় প্রয়োজন।

cc.complexity-theory reference-request

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

2

কেবল সম্পূর্ণতার জন্য: লগ-ক্লিকিউ =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— এমএস দৌস্তি

20

উপায় দ্বারা সর্বোচ্চ চক্র সমস্যা সম্পূর্ণ সাধারণভাবে, সময় সময়ে সমাধান করা যেতে পারে যেখানে $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ আকার। $N$

এই তুচ্ছ যদি গ্রাফ, একটি সন্নিহিত অবস্থা ম্যাট্রিক্স মাধ্যমে প্রতিনিধিত্ব করা হয় কারণ তখন , এবং একটি জোরদার অনুসন্ধানে সময় লাগবে । $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

তবে গ্রাফটি চলমান সময় একটি অ্যালগরিদমের মাধ্যমে সংলগ্ন তালিকার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হলেও আমরা একই বাউন্ড পেতে পারি can। কীভাবে তা দেখতে, আসুন একটি $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ এনপি-সম্পূর্ণ সিদ্ধান্ত সমস্যার জন্য সময়ের অ্যালগরিদম যেখানে আমাদের গ্রাফএবংএবং আমরা জানতে চাই যে সেখানে আকার $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$ ।

অ্যালগরিদম কেবল ডিগ্রী সব ছেদচিহ্ন সরিয়ে ফেলা হবে এবং তাদের উপর প্রান্ত ঘটনা যতক্ষণ না আমরা একটি উপসেট উপর একটি প্রান্তবিন্দু ইনডিউসড subgraph চাপে পড়ে গেলাম;, তাহলে এটি আবার করে, এবং তাই ছেদচিহ্ন এর, প্রতিটি ডিগ্রী , বা খালি গ্রাফ সহ। পরেরটির ক্ষেত্রে, আমরা জানি যে আকার কোন উপদল বিদ্যমান পারেন। পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে, আমরা মোটামুটি সময়ে একটি নিষ্ঠুর-শক্তি অনুসন্ধান চালিয়ে যাচ্ছি । নোট করুন এবং $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ , যাতে যে , এবং তাই একটি বলপূর্বক অনুসন্ধান সময় চলমান আসলে সময় চলছে $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ । $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— লুকা ট্রেভিসান
সূত্র

12

প্রকৃতপক্ষে, এই ধরণের কারণগুলির জন্য ইমপাগলিয়াজো, পাতুরি এবং জেন যুক্তি দিয়েছিলেন যে

বনাম

জটিলতা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করার সময় আপনাকে সাক্ষীর আকার হিসাবে

সেট করতে হবে (যার অংশ হিসাবে আপনি সংজ্ঞা দিতে হবে) সমস্যাটি). ইন

-clique ক্ষেত্রে সাক্ষী আকারের হয়

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

ছোট

, যখন, যেমন আপনি বলতে, আপনি অনুমান করতে পারেন wlog সেখানে অন্তত হয়

প্রান্ত এবং ইনপুট আকার সাক্ষীর আকারের চেয়ে অনেক বড়।

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— বোয়াজ বারাক

22

যেহেতু প্রতি প্ল্যানার গ্রাফ কোণ রয়েছে treewidth $n$ ,গাছের প্রস্থের গ্রাফের জন্য সর্বাধিক tree(যেমন অনেকগুলি সমস্যা রয়েছে) এরজন্যসময়ের মধ্যেসলভযোগ্য সমস্ত সমস্যাগুলির ধ্রুবক-গুণককে গণনা করে প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে সুস্পষ্ট-সময়-সংক্রান্ত অ্যালগরিদম থাকে এবং তারপর treewidth অ্যালগরিদম চলমান, ফর্মের রানটাইম ফলে (ইঁদুর-হত্যাকারী আলগোরিদিম সঙ্গে branchwidth কম্পিউটিং উদাহরণস্বরুপ) বহুপদী টাইমে treewidth করার পড়তা $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ শীর্ষেগ্রাফের জন্য। উদাহরণস্বরূপ প্ল্যানার ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট এবং প্ল্যানার ডমিনিটিং সেট, যা অবশ্যই এনপি-সম্পূর্ণ। $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— বার্ট জ্যানসেন
সূত্র

15

সাব- এক্সপেনশনাল টাইম সলভ্যাবিলিটি (এসইউবিপিটি) এবং ফিক্সড প্যারামিটার ট্র্যাকটেবিলিটি (এফপিটি) এর মধ্যে একটি ঘনিষ্ঠ সংযোগ রয়েছে । তাদের মধ্যে লিঙ্কটি নিম্নলিখিত কাগজে সরবরাহ করা হয়েছে।

সুবেস এক্সফোনশিয়াল এবং প্যারামিটারাইজড জটিলতা তত্ত্ব , ইজিয়া চেন এবং মার্টিন গ্রোহ, 2006 এর মধ্যে একটি আইসোমরফিজম ।

সংক্ষেপে, তারা মিনিয়েচারাইজেশন ম্যাপিং নামে একটি ধারণা প্রবর্তন করে , যা একটি প্যারামিটারাইজড সমস্যা কে অন্য প্যারামিটারাইজড সমস্যার মানচিত্র করে । ইনপুট আকারের মাধ্যমে প্যারামিটারাইজড সমস্যা হিসাবে একটি সাধারণ সমস্যা দেখে, আমাদের নিম্নলিখিত সংযোগ রয়েছে। (কাগজে উপপাদ্য 16 দেখুন) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

উপপাদ্য । এফপিটি- তে থাকলে ইফফ সাবউপিতে রয়েছে । $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

এখানে সংজ্ঞাগুলি যত্নবান হন। সাধারণত আমরা দেখতে -clique সমস্যা স্থিতিমাপ যেমন , তাই এটা সূচকীয় সময় হাইপোথিসিস অভিমানী জন্য কোন উপ-সূচকীয় সময় অ্যালগরিদম হয়। তবে এখানে আমরা সমস্যাটিকে ইনপুট আকার দ্বারা পরামিতি করতে দেই , এভাবে এ সমস্যার সমাধান করা যায় $k$ $k$ $O(m+n)$ , যা একটি উপ-এক্সফোনেনশিয়াল টাইম অ্যালগরিদম। এবং উপপাদ্যটি আমাদের জানায় যেক্লিক সমস্যাটি প্যারামিটারএর কয়েকটি মোড়ের অধীনে প্যারামিটার ট্র্যাকটেবল স্থির করা হয়েছে, যা যুক্তিসঙ্গত। $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

সাধারণভাবে, এসইআরএফ-হ্রাস (সাব-এক্সপেনসিয়াল হ্রাস পরিবার) এর অধীন এসইউপিইটি-র সমস্যাগুলি এফপিটি-হ্রাসের অধীনে এফপিটিতে সমস্যায় রূপান্তরিত হতে পারে। (কাগজে উপপাদ্য ২০) তদ্ব্যতীত, সংযোগগুলি আরও দৃ are় হয় যেহেতু তারা ঘনিষ্ঠ সময় জটিলতা তত্ত্ব এবং প্যারামিটারাইজড জটিলতা তত্ত্বের সমস্যার পুরো শ্রেণিবিন্যাসের মধ্যে একটি আইসোমর্ফিজম উপপাদ্য সরবরাহ করেছিল। (উপপাদ্য ২৫ এবং ৪)) যদিও আইসোমর্ফিজমটি সম্পূর্ণ হয়নি (তাদের মধ্যে কিছু অনুপস্থিত লিঙ্ক রয়েছে) তবে এই সমস্যাগুলি সম্পর্কে একটি পরিষ্কার চিত্র পাওয়া খুব ভাল এবং আমরা প্যারামিটারাইজড জটিলতার মাধ্যমে সাব-এক্সপেনসিয়াল সময়ের অ্যালগরিদমগুলি অধ্যয়ন করতে পারি।

দেখুন জরিপ Jörg Flum এবং মার্টিন Grohe, একসঙ্গে জাকোবো Torán, জটিলতা কলামের সম্পাদক আরও তথ্যের জন্য সঙ্গে দ্বারা।

— হিসিয়েন-চিহ চাং 張顯之
সূত্র

হ্যাঁ। বিটিডব্লিউ, ফ্লাম এবং গ্রোহ জরিপটি লিখেছেন; তোরণ জটিল জটিল কলাম সম্পাদক।

— অ্যান্ডি ড্রাগার

@ অ্যান্ডি: সংশোধন করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি সেই অনুযায়ী নিবন্ধটি পরিবর্তন করব।

— Hsien-Chhh चांग 張顯之

12

অন্য উদাহরণ হ'ল কপ এবং ডাকাত খেলা হতে পারে, এটি এনপি-হার্ড তবে সময় অনুসারে দ্রবণীয় এন উল্লম্ব সহ গ্রাফগুলিতে। এক্সএমএল ফেদর ভি। ফমিন, পেটর এ গোলোচাচ, জ্যান ক্রাটোচভিল, নিকোলাস নিস, কারোল সুচান: বিবিটেক্সের গ্রন্থপঞ্জি রেকর্ড Theor। Comput। সী। 411 (7-9): 1167-1181 (2010) $2^{o(n)}$

— XXYYXX
সূত্র

3

ওফস , এটি লজ্জাজনক হতে পারে তবে আমার অনেক দিন ধরে বিশ্বাস ছিল যে

-সমস্যার সমস্যাগুলির মধ্যে উপ-এক্সপেনশনাল সময় অ্যালগোরিদম নেই, কেবলমাত্র এক্সফোনেনশিয়াল টাইম হাইপোথিসিসের কারণে। :(

N P

$\mathsf{NP}$

— Hsien-Chhh चांग 張顯之

6

কোনও লজ্জা নেই ... তবে, এটি দেখার একটি সহজ উপায় হ'ল কোনও

-ভাষা ভাষা

এবং তারপরে একটি 'প্যাডড' সংস্করণ

করা যা 'হ্যাঁ' উদাহরণগুলি ফর্মের

,

সহ কিছু স্থির

। তারপরে

হ'ল

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

7

$n/\text{polylog } n$ $n$

$n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$ approximation for clique is as good as polynomial-time algorithms would ever do.

But approximation of $n/\text{polylog } n$ for clique can easily be done in quasi-polynomial time.

An NP-hard problem is a problem that has a polynomial-time reduction from SAT. Even if SAT needs time $2^{\Omega(n)}$ , this may translate to time $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ for the problem we reduce to. If the latter has input size N, it may be the case that $N=n^{1/\epsilon}$ for a small constant $\epsilon$ .

— Dana Moshkovitz
সূত্র