প্রেরণা

অন্য দিন, আমি গণপরিবহন নিয়ে শহর ঘুরে বেড়াচ্ছিলাম এবং দুটি জায়গার মধ্যে স্বল্পতম সময়ের সংযোগ সন্ধান করার সমস্যাটির মডেলিংয়ের জন্য আমি একটি আকর্ষণীয় গ্রাফ সমস্যা তৈরি করেছি।

আমরা সবাই ক্লাসিকাল "সংক্ষিপ্ত পথের সমস্যা" জানি: প্রান্ত দৈর্ঘ্য সহ একটি নির্দেশিত গ্রাফ দিয়েছি $G=(V,E)$ এবং দুটি উল্লম্ব , এবং মধ্যে সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথটি সন্ধান করুন(অর্থাত্, মোট প্রান্ত দৈর্ঘ্যকে হ্রাসকারী পথ)) অ-নেতিবাচক প্রান্ত-দৈর্ঘ্য ধরে নেওয়া, বিভিন্ন অ্যালগরিদম রয়েছে এবং সমস্যাটি সহজ। $w_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in E$ $s,t\in V$ $s$ $t$

উদাহরণস্বরূপ, আমরা যে কেসটি চালাচ্ছি তার ক্ষেত্রে এটি একটি ভাল মডেল। অনুভূমিকাগুলি আমাদের রাস্তার নেটওয়ার্কগুলিতে ক্রসরোড এবং প্রতিটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য নির্দিষ্ট - মিটারে, উদাহরণস্বরূপ। প্রান্ত-ওজন এর আরেকটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা হ'ল সেই সময় যা আমাদের এটির একটি এক থেকে অন্য কোণে যেতে সময় নেয়। এটি সেই ব্যাখ্যাটি যা এখন আমার আগ্রহী। $w_e$

সমস্যা

আমি এখন নিম্নলিখিত পরিস্থিতির মডেল করতে চাই। আমি জনপরিবহনের মাধ্যমে একটি শহরে পয়েন্ট এ থেকে পয়েন্ট বিতে ভ্রমণ করতে এবং সময়কে ন্যূনতম করতে চাই । পাবলিক ট্রান্সপোর্ট নেটওয়ার্কটি আপনার প্রত্যাশার মতো নির্দেশিত গ্রাফ হিসাবে সহজেই মডেল করা যায়। আকর্ষণীয় অংশটি হ'ল প্রান্তের ওজন (সেই মডেল সময়) - গণপরিবহন (বাস, উদাহরণস্বরূপ) কেবল কিছু বিরতিতে ছেড়ে যায়, যা প্রতিটি স্টপের জন্য আলাদা (গ্রাফের শীর্ষবিন্দু)। অন্য কথায় - প্রান্ত-ওজন ধ্রুবক নয়, আমরা প্রান্তটি যে সময়টি ব্যবহার করতে চাই তার উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়।

এই অবস্থায় মডেল কিভাবে: আমরা একটি নির্দেশ গ্রাফ আছে এবং প্রান্ত ওজন ফাংশন যে লাগে সময় তার যুক্তি এবং আয় যেমন সময় এটি ব্যবহার করার জন্য লাগে আমাদের পথে প্রান্ত। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রান্তবিন্দু থেকে বাস প্রান্তবিন্দু করার এ ছাড়বে এবং এটা লাগে সময় এবং আমরা প্রান্তবিন্দু উতরান এ $G=(V,E)$ $w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ $v$ $u$ $t=10$ $5$ $v$ $t=8$ , তারপরে হ'ল প্রান্ত-ওজন। স্পষ্টতই, । $w(vu,8)=7$ $w(vu,10)=5$

মোট পথের ওজন নির্ধারণ করা কিছুটা জটিল, তবে আমরা এটি পুনরাবৃত্তভাবে করতে পারি। যাক একটি নির্দেশ পথ হবে। তাহলে তারপর । অন্যথায়, $P=v_1v_2\ldots v_{k-1} v_k$ $k=1$ $w(P)=0$ $w(P)=w(P')+w(v_{k-1}v_k,w(P'))$ যেখানে উপ-পথ ছাড়া । এটি বাস্তব-বিশ্বের পরিস্থিতির সাথে সম্পর্কিত একটি প্রাকৃতিক সংজ্ঞা। $P'$ $P$ $v_k$

আমরা এখন ফাংশন উপর বিভিন্ন অনুমানের অধীনে সমস্যা নিয়ে অনুসন্ধান করতে পারেন । প্রাকৃতিক দায়িত্বগ্রহণ যা মডেল "জন্য অপেক্ষা সময়"। $w$

w (e, t) \leq w (e, t + Δ) + Δ for all e \in E, Δ \geq 0,

$w(e,t)\leq w(e,t+\Delta)+\Delta \text{ for all }e\in E,\Delta\geq 0,$

Δ

$\Delta$

যদি ফাংশনটি "সুন্দরভাবে আচরণ করে" তবে ক্লাসিকাল শর্টেস্ট পাথ সমস্যাটিতে এই সমস্যাটি হ্রাস করা সম্ভব। তবে আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারি যে ওজন-কার্যকারিতা বন্য হয়ে গেলে কী ঘটে happens এবং আমরা যদি অপেক্ষাটি বাদ দিয়ে থাকি?

প্রশ্নাবলি

আমার প্রশ্নগুলি নিম্নলিখিত।

এই সমস্যা আগে জিজ্ঞাসা করা হয়েছে? এটি একধরনের প্রাকৃতিক বলে মনে হচ্ছে।
এটি নিয়ে কোনও গবেষণা আছে? আমার কাছে মনে হয় যে জিজ্ঞাসা করা এবং অধ্যয়ন করার জন্য বিভিন্ন সাব-প্রবলেম রয়েছে - প্রধানত ওজন-কার্যকারণের বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পর্কে।
আমরা কি এই সমস্যাটিকে (সম্ভবত কিছু অনুমানের অধীনে) ক্লাসিকাল সংক্ষিপ্ততম পাথ সমস্যার ক্ষেত্রে হ্রাস করতে পারি?

graph-algorithms shortest-path

— JS_
সূত্র

T

$T$

V^{'} = T \times V

$V' = T \times V$

(t_{0}, v_{0}) \to (t_{1}, v_{1})

$(t_0,v_0) \to (t_1,v_1)$

t_{1} = w ((v_{0}, v_{1}), t_{0})

$t_1 = w((v_0,v_1),t_0)$

T

$T$

w

$w$

T

$T$

এই সমস্যার একটি সাধারণ বৈকল্পিক (যেখানে প্রান্তের ওজন সময়মতো লম্বাভাবে নির্ভর করে) তাকে " প্যারামেট্রিক সংক্ষিপ্ততম পথ " বলা হয়।

— নিল ইয়ং

8

$n^{\Theta(\log n)}$

এই সমস্যার জন্য ডিজকস্ট্রার অ্যালগরিদমটি সত্যই ব্যবহৃত হতে পারে, যখন অপেক্ষার নীতিটি আরোপ করা হয়, অর্থাৎ কোনও নোডে অপেক্ষা করুন যদি এটি চূড়ান্ত আগত সময়কে হ্রাস করে। অপেক্ষার নীতি ব্যতীত পরিস্থিতিটি আরও ভয়াবহ: সংক্ষিপ্ততম পথটি সহজ নাও হতে পারে, সংক্ষিপ্ত পথের উপপথটি সাবপাথের দুটি প্রান্তের মধ্যে সংক্ষিপ্ততম নাও হতে পারে, সীমাহীন সংখ্যক প্রান্তের মধ্য দিয়ে চলাচলকারী সীমানা পৌঁছতে পারে, ইত্যাদি ইত্যাদি etc আরও আলোচনার জন্য আবার অর্ডা এবং রোমের কাগজটি দেখুন।

— হিসিয়েন-চিহ চাং 張顯之
সূত্র

3

আপনি কি "সংক্ষিপ্ততম দুশ্চিন্তা পথে" সমস্যা সম্পর্কে সচেতন? এটি এর মতো মডেল পরিস্থিতিতে সংজ্ঞায়িত হয়েছিল। আপনার গঠনের তুলনায় এটি কিছুটা কম ভাবপূর্ণ হলেও এর জন্য দ্রুত অ্যালগ রয়েছে।

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

1

যদি আপনি ধরে নেন যে সময়গুলি অবিচ্ছেদ্য (যা পাবলিক ট্রানজিটের ক্ষেত্রে অর্থবোধ করে), আপনি সময়-প্রসারিত নেটওয়ার্ক তৈরি করতে পারেন, সময়ের সাথে সর্বাধিক-প্রবাহের (বা দ্রুততম প্রবাহ) জন্য ফোর্ড-ফুলকারসনের প্রস্তাবিত অনুরূপ এবং পরিবর্তে এই গ্রাফের সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথটি সন্ধান করুন।

— হীলিয়াম্
সূত্র

সময়ের ফাংশন হিসাবে দৈর্ঘ্যের সাথে স্বল্পতম দূরত্বের সমস্যা

প্রেরণা

সমস্যা

প্রশ্নাবলি