সেমিডেফাইনেট প্রোগ্রামিং (এসডিপি) এর দ্বৈত ব্যবধান কখন শূন্য?

Question

আমি সাহিত্যে এসডিপি দ্বৈতত্বের ব্যবধানটি নষ্ট করার একটি নিখুঁত বৈশিষ্ট্য খুঁজে পাইনি। বা, "দৃ d় দ্বৈততা" কখন ধারণ করে?

উদাহরণস্বরূপ, যখন কেউ লাসেরে এবং এসওএস এসডিপির মধ্যে পিছনে পিছনে যায় তখন নীতিগতভাবে একটির দ্বৈত ব্যবধান থাকে। যাইহোক, কোনওভাবে এই ব্যবধানটি নেই বলে কিছু "তুচ্ছ" কারণ বলে মনে হচ্ছে।

স্লেটারের অবস্থা যথেষ্ট বলে মনে হচ্ছে তবে প্রয়োজনীয় নয় এবং এটি সমস্ত উত্তল প্রোগ্রামের জন্য প্রযোজ্য। আমি আশা করছি যে এসডিপিগুলির জন্য বিশেষত কোনও শক্তিশালী কিছু সত্য হতে পারে। দ্বৈত ব্যবস্থার অদৃশ্যতা প্রমাণের জন্য স্লেটারের শর্তটি ব্যবহার করার কোনও স্পষ্ট উদাহরণ দেখে আমিও সমানভাবে খুশি হব ।

Answer 1

এসডিপিগুলির জন্য দ্বৈতবাদের আরও জটিল তত্ত্ব রয়েছে যা সঠিক: স্লটারের অবস্থার মতো 'অতিরিক্ত শর্ত' নেই condition এটি রমনার কারণে । (এসওএসের সাথে জড়িত অন্যটির জন্য , দেখুন [কেএস 12] ।) সত্যি কথা বলতে, আমি এই কাগজপত্রগুলি কখনও বোঝার চেষ্টা করি নি এবং যদি কেউ আমার কাছে এগুলি নিস্তেজ করে দেয় তবে খুশি হব।

এই কাজের একটি উল্লেখযোগ্য ফলাফল হ'ল কোনও প্রদত্ত এসডিপি সম্ভাব্য কিনা তা পরীক্ষা করার সমস্যাটি যদি এনপি তে থাকে এবং কেবল এটি সিএনপি থাকে। (তবে, আমি মনে করি বিশেষজ্ঞরা সমস্যাটি দুজনের মধ্যেই নেই বলে আশা করছেন known

Comments

খুব সহায়ক জবাবের জন্য অনেক ধন্যবাদ! আমাকে এটি চেহারা দিন! (কী কাকতালীয় বিষয় যে আমি গত সপ্তাহগুলিতে ড্যানিয়েল কেনের সাথে আপনার নিখরচায় গভীর নেট সার্কিটের নিচে কাজ করার চেষ্টা করছিলাম! এটি এমন একটি শিক্ষামূলক কাগজ! আমি ভাবছিলাম যে এলটিএফের জন্য আপনি যা করেন তার জন্য আরও কিছু ঘটে? রিলু। এর মত বাস্তববাদী ক্রিয়াকলাপ)

— গ্রেডস্টুডেন্ট

Answer 2

এসডিপির জন্য স্ট্যান্ডার্ড আকারে স্লেটারের পরিস্থিতি হ্রাস করে একটি ইতিবাচক নির্দিষ্ট এর অস্তিত্ব যা affine প্রতিবন্ধকতাগুলি পূরণ করে । আমি অনুমান করব যে এটি যে কোনও এসডিপির জন্য সন্তুষ্ট যা আপনি সম্মিলিত অপ্টিমাইজেশন / আনুমানিক অ্যালগরিদম সাহিত্যে খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, গোমানস-উইলিয়ামসন ম্যাক্স-কাট এসডিপি-র জন্য, সম্ভাব্যতা সীমাবদ্ধতাগুলি এবং পরিচয় ম্যাট্রিক্স একটি ইতিবাচক নির্দিষ্ট সম্ভাব্য সমাধান।

$$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$$ $X\succ 0$$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

স্কোয়ারস শ্রেণিবিন্যাসের লাসেরে / সামের দিক পর্যন্ত লাসেরে দেখিয়েছেন যে বহুবর্ষীয় সীমাবদ্ধতার দ্বারা নির্ধারিত সম্ভাব্য সেটটির যদি অভ্যন্তরীণ বিন্দু থাকে তবে দ্বৈততার কোনও ব্যবধান নেই। আপনি এই কাগজে একটি দুর্বল অবস্থা খুঁজে পেতে পারেন ।

Comments

রেফারেন্সের জন্য অনেক ধন্যবাদ! তাহলে কি রূপান্তরিত স্লটারের অবস্থাও এসডিপির জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত? বা অন্য প্রয়োজনীয় শর্ত আছে? (আপনি যে কাগজপত্রগুলি উল্লেখ করেছেন তা আমি শীঘ্রই দেখতে যাচ্ছি তবে আমি ভাবছিলাম যে আপনি "দুর্বল পরিস্থিতি" বলতে কী বোঝাতে চেয়েছিলেন সে সম্পর্কে আপনি কিছু বলতে পারলেন? আপনি দ্বিতীয় কাগজের শর্তটি এখনও পর্যাপ্ত শর্ত এবং প্রয়োজনীয় নয় শর্ত তবে প্রথম কাগজে পর্যাপ্ত শর্তের চেয়ে সহজ?)

— গ্রেডস্টুডেন্ট

এটি স্ট্যান্ডার্ড স্লটার শর্ত, আমি কেবল এসডিপিগুলিতে বিশেষীকরণ করেছি, যা বিষয়গুলি সহজতর করে কারণ সমস্ত সীমাবদ্ধতাগুলি পিএসডি সীমাবদ্ধতা ব্যতীত সীমাবদ্ধ। এই শর্তটি প্রয়োজনীয় নয়। আমি মনে করি না যে কোনও এসওএস শর্তটিও প্রয়োজনীয়, তবে "দুর্বল" ব্যক্তির কোনও অভ্যন্তর বিন্দুর অস্তিত্বের প্রয়োজন নেই, তাই এটি যাচাই করা আরও সহজ হতে পারে।

— সাশো নিকোলভ

ধন্যবাদ! তাহলে কোন প্রয়োজনীয় শর্ত জানা যায় না?

— গ্রেডস্টুডেন্ট

Answer 3

দৃ strong় দ্বৈততা যখন ধারণ করে বা all \ \ সবকটি} উদ্দেশ্যমূলক ক্রিয়ায় ব্যর্থ হয় তার একটি দুর্দান্ত (আমার মনে হয় ....) বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

আমরা বলি যে সেমিডেফাইনেট {\ ইম সিস্টেম}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

এখানে খারাপ উদ্দেশ্যমূলক আচরণ করা হয় যদি এখানে কোনও উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন হয় যার জন্য এসডিপি$c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

একটি সীমাবদ্ধ সর্বোত্তম মান রয়েছে, তবে ডুয়াল এসডিপিতে একই মান সহ কোনও সমাধান নেই: অর্থাত্ শক্তিশালী দ্বৈততা কিছু জন্য ব্যর্থ হয়$c.$

$(P_{SD})$ হয় ভাল ভদ্র যদি এটা খারাপ ব্যবহার করেছেন করা হয় না। এটি হ'ল প্রতিটি উদ্দেশ্যমূলক কার্যের জন্য দৃ d় দ্বৈততা ধারণ করে। ( অর্থাত্ , প্রতিটি জন্য, যার জন্য প্রাথমিক এসডিপির সীমাবদ্ধ অনুকূল মান রয়েছে, দ্বৈতটির একই মান সহ একটি সমাধান রয়েছে)।$c$

অবশ্যই, যদি স্লেটারের শর্তটি ধরে রাখে, তবে ভাল আচরণ করা হয় তবে সত্য নয়।$(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

কাগজ শীঘ্রই সিয়াম পর্যালোচনা প্রকাশিত হবে। আমি আশা করি লোকেরা এটি পছন্দ করবে :)