সাধারণ তথ্য প্রকারের তুলনায় আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলির সংজ্ঞা দেওয়া

আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর নির্ভর করে। তবে মনে হয়, ধারণাটি অন্যান্য ডেটা ধরণের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা উচিত, যাতে কাউকে উদাহরণস্বরূপ বাইনারি গাছগুলিতে ম্যাপের তালিকাভুক্ত আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি সম্পর্কে কথা বলতে দেয়। সাদৃশ্য অনুসারে, প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর আংশিক পুনরাবৃত্তির কাজগুলি যে কোনও ডেটা টাইপের গণনাযোগ্য ফাংশনগুলিতে দুর্দান্তভাবে সাধারণকরণ করে এবং আমি বুঝতে চাই যে আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলির জন্য একই ধরণের সাধারণীকরণ কীভাবে করা যায়।

স্বজ্ঞাতভাবে, যদি আমি একটি সাধারণ আবশ্যক ভাষা সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলিকে মঞ্জুরি দেয় তবে তালিকাগুলি বলুন (যেমন কনটেন্টেশন, মাথা এবং লেজ নেওয়া, উপাদানগুলির তুলনা) এবং একধরণের পুনরাবৃত্তি যা আগে থেকেই জেনে রাখা দরকার যে কতগুলি পুনরাবৃত্তি ঘটবে ( যেমন একটি অপরিবর্তনীয় তালিকার উপাদানগুলির উপরে পুনরাবৃত্তি করা), তবে এই জাতীয় ভাষার সর্বাধিক তালিকার উপর আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি গণনা করতে সক্ষম হওয়া উচিত। তবে আমি কীভাবে এটি আনুষ্ঠানিকভাবে এবং আরও স্পষ্টভাবে বুঝতে পারি, কীভাবে আমি প্রমাণ করব যে আমার ভাষা সমস্ত আদিম পুনরাবৃত্তি ফাংশনগুলিকে তালিকার তুলনায় গণনা করে এবং সেগুলির কেবলমাত্র একটি উপসেট নয়?

স্পষ্টতই, আমি আদিম পুনরাবৃত্ত ক্রিয়াকলাপগুলি ফাংশনগুলির একটি সু-সংজ্ঞায়িত শ্রেণি হিসাবে বুঝতে আগ্রহী (যদি তারা প্রকৃতপক্ষে হয়), বরং আদিম পুনরাবৃত্তির ক্রিয়াকলাপের চেয়ে বরং সোজা মনে হয়। আমি সাধারণ ডেটা স্ট্রাকচারের তুলনায় আদিম পুনরাবৃত্তির উপর লিখিত বা প্রাকৃতিক সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোনও প্রসঙ্গে পয়েন্টারগুলিতে আগ্রহী হব।

আপডেট: ম্যাকএলেস্টার এবং আরকৌদাসের ওয়ালথার রিকার্সন নামে একটি গবেষণাপত্রে আমি একটি উত্তর পেয়েছি। ( CADE 1996 এর প্রক্রিয়া ।) এটিতে আদিম পুনরাবৃত্তির একটি সাধারণ সংস্করণ এবং আরও শক্তিশালী ওয়ালথার পুনরাবৃত্তি রয়েছে বলে মনে হয়। আমি একবার হজম হয়ে গেলে একটি স্ব-উত্তর লেখার ইচ্ছা করি তবে এর মধ্যে এই নোটটি একই প্রশ্নের সাথে অন্যদের পক্ষে সহায়ক হতে পারে।

computability

— নাথানিয়েল
সূত্র

আপনি ঠিক কী খুঁজছেন তা আমার কাছে পরিষ্কার নয়। দেখে মনে হচ্ছে আপনি কেবল ডাব্লু-টাইপগুলি সন্ধান করার চেষ্টা করছেন তবে এটি এটি নাও হতে পারে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

এটি সম্ভবত দরকারী যে "সাধারণ" (গাছের মতো) ডেটাটাইপগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যায় খুব সোজা পদ্ধতিতে এনকোড করা যেতে পারে এবং তারপরে প্রাকৃতিক অঞ্চলে পিআর ফাংশনগুলি আপনি যা চান তা খুব সুন্দর উপস্থাপনা। অন্যথায়, আপনি গডেলের সিস্টেম টি ব্যবহার করতে পারেন "স্বাভাবিক" পুনরাবৃত্তিকারীদের সাথে কঠোর ইতিবাচক ফার্স্ট-অর্ডার ডেটা ধরণের প্রসারিত।

— কোডি

আপনি যদি এই "বৈশিষ্ট্যটি" মুছে ফেলতে চান তবে আপনি মুছে ফেলারগুলির আউটপুট প্রকারকে মৌলিক ধরণের হিসাবে সীমাবদ্ধ করতে পারেন।

— কোডি

এটি এখনও আমার কাছে মনে হয় যে আপনি সন্ধান করছেন এমন একধরণের সীমাবদ্ধ ডাব্লু টাইপ। সীমাবদ্ধ শাখা সহ ডাব্লু-টাইপের মতো এবং অন্যান্য সীমাবদ্ধ ডাব্লু-টাইপের মধ্যে সীমাবদ্ধ পুনরাবৃত্তিকারীদের।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

CADE সম্মেলন 1996 এখানে যান: dblp.org/db/conf/cade/cade96

— জন ফিশার

উত্তর:

সাধারণভাবে, ডেটাটাইপ সহ একটি ভাষায় (যেমন তালিকাগুলি, গাছ ইত্যাদির মতো) ফাংশনগুলির একটি ভাষা বর্ণনা করা সহজ যা আচরণ করে আমরা আদিম পুনরাবৃত্তি আশা করি ঠিক এর মতো আচরণ করে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি ডেটাটাইপটি , এবং টাইপ করে থাকে $D$ $c_1,\ldots, c_n$

c_{i} : T_{1}^{i} \to T_{2}^{i} \to \dots \to T_{k_{1}}^{i} \to D \to \dots \to D

$c_i : T_1^i\rightarrow T_2^i\rightarrow \ldots\rightarrow T_{k_1}^i\rightarrow D\rightarrow\ldots\rightarrow D$

তারপরে আউটপুট টাইপ জন্য পুনরাবৃত্তিকারী গণিত টাইপ থাকবে $\mathrm{rec}_D^O$ $O$

{r e c}_{D}^{O} : (T_{1}^{1} \to \dots T_{k_{1}}^{1} \to D \to \dots \to D \to O \to \dots \to O) \to \dots \to D \to O

$\mathrm{rec}^O_D:(T_1^1\rightarrow\ldots T^1_{k_1}\rightarrow D\rightarrow \ldots\rightarrow D\rightarrow O\rightarrow \ldots\rightarrow O)\rightarrow\ldots\rightarrow D\rightarrow O$

এবং অপারেশনাল শব্দার্থকতা হবে:

{r e c}_{D}^{O} f_{1} \dots f_{n} (c_{i} t_{1} \dots t_{k_{i}} d_{1} \dots d_{m}) \to f_{i} t_{1} \dots t_{k_{i}} ({r e c}_{D}^{O} f_{1} \dots f_{n} d_{1}) \dots ({r e c}_{D}^{O} f_{1} \dots f_{n} d_{m})

$\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ \ldots\ f_n\ (c_i\ t_1\ldots t_{k_i}\ d_1\ldots d_m)\rightarrow\\ f_i\ t_1\ldots t_{k_i}\ (\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ldots\ f_n\ d_1)\ldots (\mathrm{rec}^O_D\ f_1\ldots f_n\ d_m)$

প্রত্যেকের জন্য । $i$

মুখভর্তি কিছু! কমপক্ষে প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য আমরা indeed

{r e c}_{N}^{O} : (N \to O \to O) \to O \to N \to O

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}^O:(\mathbb{N}\rightarrow O\rightarrow O)\rightarrow O\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow O$

{r e c}_{N}^{O} f_{0} f_{1} 0 \to f_{1} 0

$\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ 0 \rightarrow f_1\ 0$ এবং

{r e c}_{N}^{O} f_{0} f_{1} (S n) \to f_{0} n ({r e c}_{N}^{O} f_{0} f_{1} n)

$\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ (S\ n)\rightarrow f_0\ n\ (\mathrm{rec}^O_{\mathbb{N}}\ f_0\ f_1\ n)$

যেমনটি প্রত্যাশিত ছিল (নোট করুন যে শূন্য কনস্ট্রাক্টরের শূন্য আর্গুমেন্ট রয়েছে!)।

তাহলে এখন আমরা ধ্রুবক ফাংশন এবং বিশ্লেষণ জন্য অনুমতি, এবং অবাধ ব্যবহারের অনুমতি দেয় জন্য অ ফাংশন ধরনের , তাহলে আপনি ঠিক আদিম পুনরাবৃত্তির আছে। $\mathrm{rec}^O_D$ $O$

আশ্বাসজনকভাবে, সমস্ত - যদি অ-কার্যকরী হয় তবে ড্যাটাটাইপের সাধারণ গডেল এনকোডিং একই আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশন দেয়। $T^j_i$

যদিও এই প্রক্রিয়াটির আরও মার্জিত বর্ণনা থাকলে ভাল লাগবে। কার্লোসের উত্তর এটাই ছিল: এই ডেটাটাইপগুলিকে নির্দিষ্ট তর্কগুলিতে প্রাথমিক বীজগণিত হিসাবে শ্রেণি তত্ত্বে আরও মার্জিতভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে , প্রায়শই তাকে বহুবর্ষীয় ফান্টাকর বলা হয় । পুনরাবৃত্তিকারী তখন এই বীজগণিতের প্রাথমিক আকারটি কেবল (একটি বৈকল্পিক) হয়, কখনও কখনও জিনিসগুলিকে বিভ্রান্ত করার চেষ্টা করে লোকেদের দ্বারা একটি ছদ্মরূপ বলে । প্রাথমিক বীজগণিত তৈরির মাধ্যমে এই রূপটি বিদ্যমান।

একটি প্যারামারফিজম হ'ল আমি উপরে বর্ণিত বিশেষ বৈকল্পিক।

— কোডি
সূত্র

আমি ভীত এটি আমার কিছুটা ছাড়িয়ে গেছে। আমরা কেন আশা করছিলাম হিসাবে স্বাক্ষর টাইপ? এর অর্থ কি স্বয়ংক্রিয়ভাবে এটি আদিম পুনরাবৃত্তির প্রতিনিধিত্ব করে? (কেবলমাত্র কোনও ফাংশনের ধরণ থেকে কীভাবে এটি পড়তে পারে তা কল্পনা করতে আমার খুব কষ্ট হয়।) আমি হ্যাস্কেলে যে পরিমাণ প্রোগ্রাম করতে পারি তা টাইপ তত্ত্বের সাথে আমি পরিচিত, তবে আপনি যে আনুষ্ঠানিকতার সাথে পরিচিত তা আমি জানি না ' এখানে আবার ব্যবহার করছি। আপনি যা লিখেছেন তা বুঝতে আমি যথেষ্ট পটভূমি পড়তে কোথায় যেতে পারি?

{r e c}_{N}^{O} : (N \to O \to O) \to O \to N \to O

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}^O:(\mathbb{N}\rightarrow O\rightarrow O)\rightarrow O\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow O$

— নাথানিয়েল

উপরের আরও সাধারণ স্কিমা থেকে নিম্নলিখিত ধরণেরএটি আদিম পুনরাবৃত্তির প্রতিনিধিত্ব করে কারণ অপারেশনাল শব্দার্থকগুলি পিআর ফাংশনগুলির সংজ্ঞা থেকে পুনরাবৃত্তি অপারেশনকে প্রতিনিধিত্ব করে। আমি যদিও অপারেশনাল শব্দার্থবিজ্ঞানের ব্যাখ্যা করিনি, তাই আমি আমার মন্তব্যটি প্রসারিত করব।

{r e c}_{N}

$\mathrm{rec}_{\mathbb{N}}$

— કોડি

আমার কাছে কোনও প্রাথমিক রেফারেন্স নেই, যদিও আমি অনুমান করি যে এই স্লাইডগুলি একটি দুর্দান্ত নরম পরিচয় দেয় এবং রাল্ফ ম্যাটেসের থিসিসের তৃতীয় অধ্যায়টি বিশাল প্রযুক্তিগত বিশদে চলে যায়, যদিও এটি "প্রথম আদেশ" প্রেরণামূলক প্রকারগুলিকে মঞ্জুরি দেয়।

— કોડি

আমি সম্প্রতি এটি খুব প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি, এবং আমি আগ্রহের বেশ কয়েকটি নিবন্ধ পেয়েছি:

চূড়ান্ত সূক্ষ্মভাবে উপস্থাপিত লজিকস : (ক) এমন যুক্তি সংজ্ঞায়িত করে যা কোনও নির্দিষ্ট ডেটাটাইপকে সন্তুষ্ট করে আদিম পুনরাবৃত্তির একটি জেনেরিক ধারণা সরবরাহ করে (খ) প্রমাণ করে যে এই যুক্তিটি আদিম পুনরাবৃত্ত গণিতের রক্ষণশীল এক্সটেনশন।

লুপ প্রোগ্রামগুলির জটিলতা : প্রমাণ করে যে তাদের লুপ প্রোগ্রামের ধারণাটি আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনের সমতুল্য।

আদিম পুনরাবৃত্তিমূলক সেটের জন্য লজিক প্রোগ্রামগুলি : তাদের যুক্তি প্রোগ্রামের শ্রেণিটি প্রমাণ করে যে আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনের সমতুল্য।

আদিম পুনরাবৃত্তাকার সেট ফাংশনগুলির একটি প্রুফ-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য : প্রমাণিত একটি সেটের উপরে সমস্ত আদিম পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলি খুব দুর্বল সেট তত্ত্বের মধ্যে কেবল সেইগুলিই সংজ্ঞাযোগ্য।

— স্টিফেন স্কেরিক
সূত্র

সম্ভবত আপনি একটি প্যারামারফিজম ধারণাটি ভাবছেন ?

কলা, লেন্স, খাম এবং কাঁটাতারের সাথে ক্রিয়ামূলক প্রোগ্রামিং থেকে :

স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য paramorphism একটি ফাংশন ফর্মের $h = (b, \oplus)$

\begin{aligned} h 0 & = b \\ h (n + 1) & = n \oplus (h n) \end{aligned}

$\begin{align} h\; 0 &= b \\ h\; (n + 1) &= n \oplus (h\; n) \end{align}$

উদাহরণস্বরূপ, ফ্যাক্টরিয়াল ফাংশনে এবং । $b = 1$ $n \oplus m = (n + 1) \times m$

তালিকা, একটি paramorphism একটি ফাংশন হবে ফর্মের $h$

\begin{aligned} h nil & = b \\ h (cons a b) & = a \oplus (b, h b) \end{aligned}

$\begin{align} h\; \textsf{nil} &= b \\ h\; (\textsf{cons}\; a\; b) &= a \oplus (b, h\; b) \end{align}$

— user76284
সূত্র