সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির মধ্যে রৈখিক ডায়নামিকাল সিস্টেমে পুনঃচঞ্চলতার জটিলতা

যাক $A$ সসীম ক্ষেত্রের উপর একটি ম্যাট্রিক্স হতে $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$ এবং $x$ , $y$ স্থান ভেক্টর হতে $\mathbb{F}_2^n$ । আমি সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় সেখানে বিদ্যমান গণনীয় জটিলতা আগ্রহী $t \in \mathbb{N}$ যেমন যে $A^t x = y$ , অর্থাত্, সসীম ক্ষেত্র ওভার রৈখিক গতিশীলতার নিয়ম জন্য reachability সমস্যা।

সমস্যা পরিষ্কারভাবে হয় $\mathbf{NP}$ (অনুমান $0 \le t < 2^n$ এবং Compute $A^t$ পুনরাবৃত্তি বর্গ দ্বারা বহুপদী সময়)। আমার এবং আমার সহকর্মীরা এছাড়াও প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছি $\mathbf{NP}$ প্রতিষ্ঠার কিনা অস্তিত্ব আছে সম্পর্কিত সমস্যার -completeness $t \in \mathbb{N}$ যেমন যে $A^t x \ge y$ , যেখানে $\ge$ componentwise বৈষম্য নেই।

এই সমস্যাটি বেশ স্বাভাবিক বলে মনে হচ্ছে, তবে আমি সাহিত্যে এর কম্পিউটেশনাল জটিলতার উল্লেখ খুঁজে পাইনি, সম্ভবত কারণ আমি সঠিক পরিভাষা সম্পর্কে অবগত নই। আপনি কি জানেন যে সমতা নিয়ে সমস্যাটি $\mathbf{NP}$ কমপ্লিট হয় বা এটি আসলে হয় কিনা $\mathbf{P}$ ?

cc.complexity-theory reference-request linear-algebra

— আন্তোনিও ই পোরেরকা
সূত্র

যে কোনওটি

পরিবর্তিত হয় না এমন ক্ষেত্রে হ্রাস করতে পারে । লক্ষ্য করুন যে

এর চিত্রগুলি উপ-স্পেসগুলির একটি অবিস্মরণীয় চেইন, এবং ফলস্বরূপ স্থির স্থান

(বাস্তবে প্রথম

পদক্ষেপের মধ্যে)। তারপরে

হ'ল

একটি বিভাজ্য রৈখিক রূপান্তর ।

যখন সহজেই বিশেষ কেসগুলি পরীক্ষা করতে পারে , তারপরে এটি কেবল

এবং

সীমাবদ্ধ

সমস্যার সমাধান করে চলেছে

A

$A$

A^{1}, A^{2}, \dots

$A^1, A^2, \ldots$

W

$W$

n

$n$

A

$A$

W

$W$

t = 1, 2, \dots, n

$t=1,2,\ldots,n$

A

$A$

W

$W$

x

$x$

দ্বারা প্রতিস্থাপিত ।

A^{n} x

$A^n x$

— অ্যান্ড্রু মরগান

স্পষ্টতার জন্য, আমি আপনার প্রশ্নটিকে এর নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে পরিবর্তে বৈশিষ্ট্যযুক্ত (বেস ফিল্ড ) হতে বেশি করতে সাধারণ করতে যাচ্ছি । আমি স্থির হিসাবে এবং নেব ; আমি এই প্যারামিটারগুলির উপর নির্ভরশীলতাটি কী তা নির্ধারণ করার জন্য এটি পাঠকের কাছে রেখে দেব, কারণ এখানে কিছু ট্রেড অফ রয়েছে যা তৈরি করা যেতে পারে। এখানে শেষ ফলাফলটি হ'ল আপনার সমস্যাটি চরিত্রগত এর সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির জন্য পৃথক লগ সমস্যার সাথে সমান । $p > 0$ $\mathbb{F}_q$ $p=q=2$ $p$ $q$ $p$

আরো নির্দিষ্ট হবে, দিন সাধারণ বিযুক্ত লগ সমস্যা এর এক্সটেনশন উপর করা দেওয়া একটি এক্সটেনশন ক্ষেত্র এর , এবং , খুঁজুন কোনো পূর্ণসংখ্যা যাতে , অথবা রিপোর্ট কেউ বিদ্যমান । যাক শক্তিশালী এর এক্সটেনশন উপর বিযুক্ত লগ সমস্যা করা দেওয়া আগের মতই ইন্টিজার এটি যাতে $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F},a,b$ $z,m$ একটি পূর্ণসংখ্যা জন্য iff, অথবা রিপোর্ট কোনোবিদ্যমান। তারপরে নিম্নলিখিত হ্রাসগুলি বিদ্যমান: $a = b^t$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $t$

আপনার সমস্যার জন্য এর এক্সটেনশনের জন্য পৃথক লগ থেকে একটি ম্যাপিং হ্রাস রয়েছে । $\mathbb{F}_q$
এর এক্সটেনশনের উপর শক্তিশালী পৃথক লগ সমস্যার সমাধান করার জন্য অ্যাক্সেস দেওয়া হলে একটি দক্ষ, ডিটারিস্টেমিক অ্যালগরিদম রয়েছে যা আপনার সমস্যার সমাধান করে । $\mathbb{F}_q$

তদনুসারে, আমি এটিকে অসম্ভব বলে বিবেচনা করব যে নিকট ভবিষ্যতে কেউ hard -তারতার প্রমাণ বা আপনার সমস্যা in তে রয়েছে এমন একটি প্রমাণ পোস্ট করবে । $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

মন্তব্য: এর এক্সটেনশন উপর শক্তিশালী বিযুক্ত লগ সমস্যা নিম্নলিখিত বাহ্যত দুর্বল ফর্মে টুরিং-কমে যাবে (যদিও এখনো সাধারণ বিযুক্ত লগ সমস্যা চেয়ে আপাতদৃষ্টিতে শক্তিশালী): একটি এক্সটেনশন ক্ষেত্র প্রদত্ত এর , এবং , সর্বনিম্ন, অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা যাতে । এই সত্যটি থেকে অনুসরণ করে যে ক্রম এক প্লাস ক্ষুদ্রতম অ নেতিবাচক যাতে । $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}_q$ $a,b \in \mathbb{F}$ $t$ $a = b^t$ $b$ $t$ $b^{-1} = b^t$

প্রথম হ্রাস: দাবিটি হ'ল ম্যাপিং-এর প্রসারণের তুলনায় সাধারণ স্বতন্ত্র লগ সমস্যা এই সমস্যাটিকে কমিয়ে দেয়। এটি এই সত্যটি অনুসরণ করে যে রৈখিক রূপান্তর হয় যখন আমরা কে উপরে একটি মাত্রিক ভেক্টর স্থান হিসাবে । অত: পর ফর্ম একটি প্রশ্ন উপর হয়ে উপর , যেখানে হয় -dimensional ভেক্টর, এবং একটি হল $\mathbb{F}_{q}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $n$ $\mathbb{F}_q$ $a = b^t$ $\mathbb{F}_{q^n}$ $\vec{a} = B^t\vec{e}$ $\mathbb{F}_q$ $\vec{a},\vec{e}$ $n$ $B$ $n\times n$ ম্যাট্রিক্স, পুরো । ভেক্টর সহজে থেকে নির্ণিত করা যেতে পারে , থেকে , এবং শুধু উপস্থাপনা , যা দক্ষতার নিচে লেখা যেতে পারে । এটি এখনও সাধারণ বিচ্ছিন্ন লগ সমস্যার একটি শক্ত পরিস্থিতি হিসাবে দেখা যাচ্ছে, এমনকি (তবে ক্রমবর্ধমান , অবশ্যই)। বিশেষত, লোকেরা এখনও এটি কতটা দূরে গণনা করতে পারে তা দেখার জন্য প্রতিযোগিতা করছে। $\mathbb{F}_q$ $\vec{a}$ $a$ $B$ $b$ $\vec{e}$ $1 \in \mathbb{F}_{q^n}$ $p=q=2$ $n$

দ্বিতীয় হ্রাস: দাবিটি হ'ল আপনার সমস্যাটি এর এক্সটেনশানগুলির শক্তিশালী স্বতন্ত্র লগ সমস্যা হ্রাস করে । এই হ্রাস এর কয়েক টুকরা রয়েছে, সুতরাং দৈর্ঘ্যটি ক্ষমা করুন। ইনপুট হতে দিন -dimensional ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্স , সর্বাঙ্গে ; লক্ষ্যটি যাতে । $\mathbb{F}_q$ $n$ $x,y$ $n\times n$ $A$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $y = A^tx$

মৌলিক ধারণা লিখতে হয় মধ্যে জর্ডান ক্যানোনিকাল গঠন (JCF), যা থেকে আমরা পরীক্ষার কমে যায় কিছু সহজবোধ্য বীজগণিত সঙ্গে শক্তিশালী বিযুক্ত লগ সমস্যা। $A$ $y = A^tx$

ম্যাট্রিক্সের সাদৃশ্যের অধীনে ক্যানোনিকাল ফর্মটি ব্যবহার করার একটি কারণ হ'ল যদি , তবে । অত: পর আমরা রুপান্তর করতে পারেন থেকে , যেখানে এখন নির্বিচারে চেয়ে অনেক nicer ফর্ম্যাটে আছে । জেসিএফ একটি বিশেষত সরল রূপ, যা বাকী অ্যালগোরিদমকে সক্ষম করে। সুতরাং এখন থেকে, ধরে নিন যে ইতিমধ্যে জেসিএফ-এ রয়েছে, তবে সেই এবং এর একটি এর একটি এক্সটেনশন ক্ষেত্রে প্রবেশ করতে পারে । $A = P^{-1}JP$ $A^t = P^{-1}J^tP$ $y = A^tx$ $(Py) = J^t(Px)$ $J$ $A$ $A$ $x,y,$ $A$ $\mathbb{F}_q$

মন্তব্য: জেসিএফের সাথে কাজ করার ফলে কিছু সূক্ষ্মতা রয়েছে। বিশেষত, আমি ধরে নেব যে আমরা এক সময়ের পদক্ষেপে (যে পরিমাণে হোক না কেন) মধ্যে ফিল্ড অপারেশন করতে পারি এবং আমরা দক্ষতার সাথে গণনা করতে পারি। একটি অগ্রাধিকার , এটি অবাস্তব, কারণ জেসিএফের সাথে কাজ করার জন্য এক্সটেনশনাল ডিগ্রির এক্সটেনশন ফিল্ডে (চরিত্রগত বহুভুজের বিভাজন ক্ষেত্র) কাজ করা প্রয়োজন। যাইহোক, কিছু যত্ন সহকারে এবং আমরা একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর কাজ করছি এই সত্যটি ব্যবহার করে আমরা এই সমস্যাগুলিকে নষ্ট করতে পারি। বিশেষত, আমরা প্রতিটি জর্ডান ব্লকের সাথে একটি ডিগ্রি ডিগ্রি সর্বাধিক ওভার $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}'$ $n$ $\mathbb{F}_q$ যাতে জর্ডান ব্লক সমস্ত এন্ট্রি এবং সংশ্লিষ্ট উপাদানের , মধ্যে সব লাইভ । ক্ষেত্র ব্লক থেকে ব্লকের মধ্যে পৃথক হতে পারে, তবে এই `` মিশ্র উপস্থাপনা' ব্যবহার করে জেসিএফ-এর দক্ষ বিবরণ দেয়, তদ্বিরত দক্ষতার সাথে এটি পাওয়া যায়। এই বিভাগের অবশিষ্টাংশে বর্ণিত অ্যালগরিদমকে কেবল একবারে একটি ব্লকের সাথে কাজ করা দরকার, সুতরাং যতক্ষণ না এটি ক্ষেত্রের সাথে সম্পর্কিত ক্ষেত্র , আলগোরিদম দক্ষ হবে। [শেষ মন্তব্য] $x$ $y$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$

জেসিএফ ব্যবহার আমাদের জর্ডান ব্লকের সাথে সম্পর্কিত প্রতিটি সমীকরণের সাথে নীচের ফর্মের সমীকরণ দেয়:

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$

অ্যালগরিদম প্রতিটি ব্লক পৃথকভাবে পরিচালনা করবে। সাধারণ ক্ষেত্রে, প্রতিটি ব্লক জন্য, আমরা আমাদের শক্তিশালী বিযুক্ত লগ ওরাকল জন্য ক্যোয়ারী, যা থেকে ওরাকল আমাদের একটি modularity এর অবস্থা, বলতে হবে আছে । আমরা একটি সেট যাতে রাখতে হবে । সমস্ত ব্লক প্রক্রিয়াকরণের পর, আমরা একটা চয়েস নেই চেক করতে হবে মাফিক এই সব অবস্থার conjunctions। এই করে কাজ করা যেতে পারে নিশ্চিত আছে একটি সাধারণ উপাদান সব সেটে যাতে সমীকরণ এবং $t = z \pmod{m}$ $S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$ $\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$ $t$ $s$ $S$ $t = s \pmod p$ $t = z_j \pmod{m_j}$ সব একযোগে, সন্তুষ্ট হয় যেখানে ব্লক ওভার রেঞ্জ। $j$

এছাড়াও কিছু বিশেষ মামলা রয়েছে যা পুরো প্রক্রিয়াজুড়ে দেখা দেয়। এই ক্ষেত্রে, আমরা ফর্ম শর্ত পাবেন কিছু মান , অথবা আকারে কিছু নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যা জন্য , নির্দিষ্ট ব্লকগুলো থেকে, অথবা আমরা এমনকি যে কোন পেতে পারে বিদ্যমান পারেন । এগুলি ইস্যু ছাড়াই সাধারণ ক্ষেত্রে যুক্তিতে যুক্ত করা যেতে পারে। $t > \ell$ $\ell$ $t = s$ $s$ $t$

আমরা এখন প্রতিটি জর্ডান ব্লক পরিচালনা করার জন্য উপ-প্রক্রিয়াটি বর্ণনা করি। যেমন একটি ব্লক ঠিক করুন।

ব্লকের সর্বশেষ স্থানাঙ্কের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে শুরু করুন। শর্ত যে প্রয়োজন । অন্য কথায়, এটি কোনও ক্ষেত্রে এর ক্ষেত্রের এক্সটেনশনে আলাদা লগ সমস্যার একটি উদাহরণ । আমরা তখন এটা কোন সমাধান সমাধান করতে, যা হয় ফলাফল একটি ওরাকল ব্যবহার, বা অন্য একটি modularity এর শর্ত দেয় । যদি "কোনও সমাধান" ফেরত না পাওয়া যায় তবে আমরা এ জাতীয় ইঙ্গিত দিচ্ছি। অন্যথায়, আমরা একটি শর্ত পেতে , যা সমতূল্য । $y = A^tx$ $y_k = \lambda^t x_k$ $\mathbb{F}_q$ $t$ $t = z \pmod{m}$ $y_k = \lambda^t x_k$

অন্যান্য স্থানাঙ্কগুলি পরিচালনা করতে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি দিয়ে শুরু করি (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, এখানে ):

{[\begin{matrix} λ & 1 \\ λ & 1 \\ λ & 1 \\ ⋱ \\ λ & 1 \\ λ \end{matrix}]}^{t} = [\begin{matrix} λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & (\binom{t}{2}) λ^{t - 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) λ^{t - k + 1} \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) λ^{t - k + 2} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ λ^{t} & (\binom{t}{1}) λ^{t - 1} \\ λ^{t} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$ d ddots & \ ddots & d vdots \\ & & & & \ lambda & t & \ binom {t} {1 \ mb ল্যাম্বদা ^ {t-1} \\ & & & & \ ল্যাম্বদা ^ t \ শেষ {বিম্যাট্রিক্স । প্রথমে আসুন আমরা কেসের ক্ষেত্রে যত্ন নিই

x_{k} = 0

$x_k = 0$ । যেহেতু আমাদের ইতিমধ্যে শর্ত রয়েছে যা বোঝায় আমরা ও ধরে নিতে পারি । তবে তারপরে আমরা কেবল এবং এর প্রথম এন্ট্রি এবং জর্ডান ব্লকের উপরের বাম দিকে সাবমেট্রিক্সকে কেন্দ্র করে কেবল হ্রাস করতে পারি । সুতরাং এখন থেকে, ধরে নিন যে ।

y_{k} = λ^{t} x_{k}

$y_k = \lambda^t x_k$

y_{k} = 0

$y_k = 0$

k - 1

$k-1$

x

$x$

y

$y$

(k - 1) \times (k - 1)

$(k-1)\times (k-1)$

x_{k} \neq 0

$x_k \ne 0$

দ্বিতীয়ত, আমরা কেসটি হ্যান্ডেল করব যেখানে । এই ক্ষেত্রে, জর্দান ব্লকের ক্ষমতার একটি বিশেষ ফর্ম রয়েছে, এবং অন্য কোনও শর্ত ছাড়াই কিছু বা অন্য জন্য । আমি কেসগুলি বেলবো না, তবে এটির জন্য যথেষ্ট যে প্রত্যেকটির দক্ষতার জন্য পরীক্ষা করা যায়। (বিকল্পভাবে, আমরা এ ক্ষেত্রে হ্রাস করতে পারি যেখানে পরিবর্তিত হয় না; প্রশ্নটিতে আমার মন্তব্য দেখুন)) $\lambda = 0$ $t = z$ $z \le k$ $t > k$ $A$

অবশেষে, আমরা সাধারণ ক্ষেত্রে পৌঁছে। যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে modularity এর অবস্থায় বোঝা আছে , আমরা অনুমান করতে পারেন শর্ত ঝুলিতে, এবং ব্যবহার একটি হিসাবে স্ট্যান্ড-ইন । আরো সাধারণভাবে, আমরা ব্যবহার করতে পারি প্রতিনিধিত্ব করতে । সুতরাং আমরা যদি নিম্নলিখিত সিস্টেমের কিছু পছন্দ জন্য ঝুলিতে চেক করতে হবে : $y_k = \lambda^t x_k$ $y_k x_k^{-1}$ $\lambda^t$ $y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$ $\lambda^{t-z}$ $t$

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ ⋮ \\ y_{k - 1} \\ y_{k} \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & (\binom{t}{2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 2} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 1)} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} & \dots & \dots & (\binom{t}{k - 2}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- (k - 2)} \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ y_{k} x_{k}^{- 1} & (\binom{t}{1}) y_{k} x_{k}^{- 1} λ^{- 1} \\ y_{k} x_{k}^{- 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{k - 1} \\ x_{k} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$ y_kx_k ^ {- 1 \ \ end {bmatrix \ \ start {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ d vdots \\ x_ {k-1 \\ \\ x_ {k} \\ \ end {bmatrix serve পর্যবেক্ষণ করুন সমীকরণটি হ'ল কেবল on এর উপর নির্ভর করে ; এই কারণ উপর নির্ভরতা , শুধুমাত্র বহুপদী হয়

t (\mod p)

$t \pmod{p}$

t

$t$

t

$t$ অবশ্যই পূর্ণসংখ্যার হতে হবে এবং উপরের সমীকরণগুলি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রের ওপরে । তাই আমরা কেবলমাত্র প্রতিটি মান আলাদাভাবে চেষ্টা করতে পারি। সেট আমরা ফিরে আসবে শুধু পছন্দ হয় , যার জন্য সিস্টেম সন্তুষ্ট হয়।

p

$p$

t \in {0, 1, \dots, p - 1}

$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$

S

$S$

t

$t$

তাই এখন, কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে ছাড়া, প্রতি-ব্লক subprocedure একটি modularity এর শর্ত পাওয়া গেছে , এবং একটি সেট যাতে এক কিছু রাখা আবশ্যক । এই শর্তগুলি এই নির্দিষ্ট জর্ডান ব্লকের মধ্যে এর সমতুল্য । সুতরাং আমরা এগুলিকে উপ-প্রক্রিয়া থেকে ফিরে আসি। বিশেষ ক্ষেত্রে হয় এই উপসংহারে কোনো বিদ্যমান পারেন (যে ক্ষেত্রে subprocedure অবিলম্বে যে একটি ইঙ্গিত ফেরৎ), অথবা অন্যথায় আমরা একটি modularity এর শর্ত আছে মত কিছু বিশেষ শর্ত একটি পূর্ণসংখ্যা জন্য , বা some কিছু পূর্ণসংখ্যার জন্য $t = a \pmod{m}$ $S$ $t = s \pmod{p}$ $s \in S$ $y = A^tx$ $t$ $t = a \pmod{m}$ $t = s$ $s$ $t > \ell$ $\ell$ । যে কোনও ক্ষেত্রে, জড়িত শর্তাদি এই জর্দান ব্লকের মধ্যে সমস্ত সমতুল্য । সুতরাং, উপরে উল্লিখিত হিসাবে, উপশক্তিটি কেবল এই শর্তগুলি প্রদান করে। $y = A^tx$

এটি প্রতি-ব্লক সাবপ্রসিসিওডার এবং সামগ্রিকভাবে অ্যালগরিদমের স্পেসিফিকেশন সমাপ্ত করে। এটি পূর্ববর্তী আলোচনা থেকে যথার্থতা এবং দক্ষতা অনুসরণ করে।

দ্বিতীয় হ্রাসে জেসিএফ ব্যবহারের সূক্ষ্মতা: দ্বিতীয় হ্রাসে উল্লিখিত হিসাবে, জেসিএফের সাথে কাজ করার ফলে কিছু সূক্ষ্মতা রয়েছে arise এই সমস্যাগুলি প্রশমিত করার জন্য কয়েকটি পর্যবেক্ষণ রয়েছে:

সসীম ক্ষেত্র এক্সটেনশানগুলি হল স্বাভাবিক । এর অর্থ এই যে যদি একটি একটি সরলীকরণযোগ্য বহুপদী উপর , তারপর কোন এক্সটেনশন একটা মূল ধারণকারী রয়েছে সব মূল । অন্য কথায়, একটি সরলীকরণযোগ্য বহুপদী বিভাজন ক্ষেত্র ডিগ্রী ডিগ্রী শুধুমাত্র হয়েছে উপর । $P$ $\mathbb{F}_q$ $\mathbb{F}_q$ $P$ $P$ $P$ $d$ $d$ $\mathbb{F}_q$
জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্মের একটি সাধারণীকরণ রয়েছে, যাকে প্রাথমিক যুক্তিবাদী ক্যানোনিকাল ফর্ম (পিআরসিএফ) বলা হয়, যার ক্ষেত্রে ক্ষেত্রের এক্সটেনশনগুলি লিখিত হতে হবে না। বিশেষ করে, যদি এন্ট্রিগুলির সঙ্গে একটি ম্যাট্রিক্স হয় , তাহলে আমরা লিখতে পারি কিছু ম্যাট্রিক্স জন্য এন্ট্রিগুলির সঙ্গে , যেখানে পরন্তু পিআরসিএফ-এ রয়েছে। উপরন্তু, যদি আমরা যে এন্ট্রি সাজা একটি ক্ষেত্র লাইভে ব্যাপ্ত যার সব eigenvalues রয়েছে , তারপর $A$ $\mathbb{F}_q$ $A = P^{-1}QP$ $P,Q$ $\mathbb{F}_q$ $Q$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}_q$ $A$ $Q$ আসলে জেসিএফ হতে হবে। সুতরাং আমরা এর JCF কম্পিউটিং দেখতে পারেন কম্পিউটিং PRCF একটি বিশেষ কেস হিসাবে। $A$
PRCF ফর্ম ব্যবহার করে, আমরা হিসাবে JCF হিসাবে গণনা ফ্যাক্টর করতে পারেন $A$
1. কম্পিউটিং এর PRCF ওভার $A$ $\mathbb{F}_q$
2. প্রতিটি ব্লক PRCF কম্পিউটিং এর PRCF মধ্যে (উইকিপিডিয়া নিবন্ধ থেকে স্বরলিপি ধার) , একটি এক্সটেনশন ক্ষেত্রের উপর , যেখানে সব eigenvalues ধারণ নির্বাচিত $C$ $A$ $\mathbb{F}'$ $\mathbb{F}'$ $C$
এই অনুকরণের মূল সুবিধাটি হ'ল ব্লক এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদীগুলি সমস্ত অপ্রয়োজনীয় হবে এবং তাই আমাদের প্রথম পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে আমরা ডিগ্রি (most নিতে পারি এর আকার (যা সর্বাধিক ) ওভার । খারাপ দিকটি হ'ল এখন আমাদের জেসিএফের প্রতিটি ব্লকের প্রতিনিধিত্ব করতে বিভিন্ন এক্সটেনশন ক্ষেত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে, সুতরাং উপস্থাপনাটি atypical এবং জটিল। $C$ $\mathbb{F}'$ $C$ $n$ $\mathbb{F}_q$

সুতরাং, দক্ষতার সাথে PRCF গণনা করার ক্ষমতা দেওয়া, আমরা JCF এর একটি উপযুক্ত এনকোডিং দক্ষতার সাথে গণনা করতে পারি, এবং এই এনকোডিংটি যাতে জেসিএফের কোনও নির্দিষ্ট ব্লকের সাথে কাজ করা সর্বাধিক ওভার ডিগ্রির একটি বর্ধিত ক্ষেত্রের মধ্যে করা যায় । $n$ $\mathbb{F}_n$

PRCF, কাগজ "কম্পিউটিং দক্ষতার হিসাবে একটি মূলদ ক্যানোনিকাল ফরম অ্যালগরিদম যখন চারিত্রিক বহুপদী এর গুণকনির্ণয়" (কে আর ম্যাথিউজ, গণিত। Bohemica 117 (1992) 315-324) একটি দক্ষ অ্যালগরিদম PRCF গনা দেয় পরিচিত হয় । নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত (যেমন আমাদের কাছে রয়েছে), সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির তুলনায় অবিচ্ছিন্ন বহুবর্ষগুলি ফ্যাক্টরিং নির্ধারণমূলক বহুবর্ষ সময়ে করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, " পলিনোমিয়ালস ওভার ফিনিট ফিল্ডস " (এইচ। নীডেরিটার এবং আর গটফার্ট, ম্যাথ অফ এর একটি নতুন ফ্যাক্টোরাইজেশন অ্যালগরিদম অন দেখুন) । গণনা 64 (1995) 347-353))), যাতে পিআরসিএফ দক্ষতার সাথে গণনা করা যায়। $A$

— অ্যান্ড্রু মরগান
সূত্র

জেসিএফকে কী দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে? যাইহোক, এর অস্তিত্বের জন্য ক্ষেত্র প্রসারিত হতে পারে।

— এমিল জেব্যাক

@ এমিলজেবেক ধন্যবাদ - আমি মনে করি যে আমি অনুমিত ধারণা অনুধাবন করে কাজ করেছি যে এটি সহজ ছিল, তবে আমি আসলে তার বিশদগুলি জানি না। এটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির তুলনায় অবিচ্ছিন্ন বহুবর্ষকে ফ্যাক্টর করার সাথে দৃ strongly়ভাবে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে , যা কমপক্ষে উইকিপিডিয়া অনুসারে উপরোক্ত উদ্দেশ্যে দক্ষতার সাথে পর্যাপ্তভাবে করা যেতে পারে । ...

— অ্যান্ড্রু মরগান

সুতরাং আমার অনুমান যে জেসিএফ দক্ষতার সাথে পাওয়া যেতে পারে তবে আমি পুরোপুরি নিশ্চিত নই। আপনি ক্ষেত্রটি প্রসারিত করার কথা উল্লেখ করেছেন- এটি হ্রাস করার জন্য প্রয়োজনীয় (ধ্রুব আকারের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির উপর পৃথক লগ সহজ), সুতরাং এটি অবাক হওয়ার মতো নয়। যদিও আমি এক্সটেনশনের ডিগ্রি নিয়ে উদ্বিগ্ন- যদিও ইগেনভ্যালুগুলির কেবলমাত্র ডিগ্রি , তবে এবং মানগুলি ইগেনভ্যালুগুলির ক্ষমতার রৈখিক সংমিশ্রণ, তাই তাদের আকারের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে থাকতে হবে। আমি আমার উত্তরে এই সম্ভাব্য অসুবিধাগুলির একটি নোট করব, যদিও আমি মনে করি এটি এখনও থাকার জন্য যথেষ্ট ধারণা অবদান রাখে।

n

$n$

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

n!

$n!$

— অ্যান্ড্রু মরগান

ঠিক। উপাদানগুলি ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুবর্ষের বিভাজন ক্ষেত্রে বাস করে, যা ডিগ্রি n এর একটি স্বেচ্ছাসেবী বহুপদী হতে পারে, সুতরাং বিভাজন ক্ষেত্রটি মোটামুটি ডিগ্রি বেশি থাকতে পারে (যদি আমার হিসাব ঠিক আছে)। তবে সম্ভবত এটি কোনওভাবে ছড়িয়ে দেওয়া যেতে পারে। আসুন চর পলিটিকে আরও কার্যকর করুন (এমনকি স্বতন্ত্র ডিগ্রি ফ্যাক্টেরাইজেশন যথেষ্ট হওয়া উচিত)। আমরা কি কোনওভাবে প্রতিটি ফ্যাক্টরের শিকড়ের সাথে মিল রেখে ইগেনস্পেসগুলি সনাক্ত করতে পারি? এটি হ'ল, সম্পূর্ণ জেসিএফের পরিবর্তে, আমরা মূল ক্ষেত্রের উপর একটি ব্লক ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সটি পেতে চাই, যেখানে প্রতিটি ব্লকের

\exp (\sqrt{n \log n})

$\exp(\sqrt{n\log n})$

— আখেরা

... সর্বাধিক ডিগ্রির একটি এক্সটেনশনে । তারপরে আমরা সম্ভবত প্রতিটি ব্লক পৃথকভাবে প্রক্রিয়া করতে পারি। (এটি কেবল একটি অস্পষ্ট ধারণা, আমি এটি কার্যকর করার চেষ্টা করিনি))

n

$n$

— এমিল জ্যাবেক