হার্ড গণনা সংস্করণগুলির সাথে সহজ সমস্যা

20

উইকিপিডিয়া এমন সমস্যার উদাহরণ প্রদান করে যেখানে গণনা সংস্করণ শক্ত, তবে সিদ্ধান্ত সংস্করণটি সহজ। এর মধ্যে কয়েকটি নিখুঁত ম্যাচিং গণনা করছে, -SAT- র সমাধানের সংখ্যা এবং টপোলজিকাল বাছাইয়ের সংখ্যা গণনা করছে। $2$

অন্য কোন গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণি রয়েছে (জাল, গাছ, সংখ্যা তত্ত্বের উদাহরণ বলুন)? এই ধরনের সমস্যার একটি সংমিশ্রণ আছে?

অনেক ধরণের সমস্যা রয়েছে যার -হান্ট গণনা সংস্করণ রয়েছে। $P$ $\#P$

সেখানে একটি প্রাকৃতিক সমস্যার একটি সংস্করণ যে আরো সম্পূর্ণরূপে বোঝা বা সাধারণ দ্বিপাক্ষিক নিখুঁত ম্যাচিং চেয়ে সহজ (বিস্তারিত বিবরণ অন্তর্ভুক্ত করুন কেন সহজ ধরনের হচ্ছে provably সর্বনিম্ন ক্লাসের -hierarchy ইত্যাদি) কিছু অন্যান্য এলাকায় (যেমন সংখ্যার তত্ত্ব, জালাগুলি) বা কমপক্ষে কোনও সাধারণ সাধারণ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের জন্য, যার গণনা সংস্করণ -হার্ড? $P$ $NC$ $\#P$

জাল, পলিটোপস, পয়েন্ট গণনা, সংখ্যা তত্ত্বের উদাহরণগুলি প্রশংসা করা হবে ।

— টি ....
সূত্র

1

সম্ভবত আপনি প্রাকৃতিক সমস্যা চান , যেহেতু [# এসএটি থেকে হ্রাসের মাধ্যমে, # পি-হার্ড এর অধীনে যে সমস্যাগুলি [একটি শূন্য নম্বরের দ্বারা উত্তরগুলি হ'ল] এইচপি-হার্ড সিদ্ধান্তের সমস্যা রয়েছে] এবং [পরিচয় ফাংশন দ্বারা, {x: x হল 1+ (সংখ্যা_মুখে_ভ্যারেবল_ ( )) টি বা [শূন্যের পরে একটি সন্তুষ্টিজনক কার্য ]} পরবর্তী-কঠোর ধরণের হ্রাসের অধীনে # পি-হার্ড, তবে এর সিদ্ধান্ত সংস্করণটি তুচ্ছ]।

ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

@ রিকিডিমার আপনার লেখা সংক্ষিপ্ত হ্যাঁ আমি প্রাকৃতিক সমস্যা চাই।

— টি ....

আমরা কি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে নিখুঁত ম্যাচগুলি পুরোপুরি বুঝতে পারি না? এছাড়াও, সমস্যার জন্য একটি আরএনসি 2 অ্যালগরিদম রয়েছে।

— সাশো নিকোলভ

1

হ্যাঁ আমরা না। আমাদের কাছে কোনও ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম নেই।

N C

$NC$

— টি ....

8

এখানে সত্যই একটি দুর্দান্ত উদাহরণ রয়েছে (আমি পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারি)।

আংশিক অর্ডারযুক্ত সেট দেওয়া হয়েছে:
ক) এর কোনও লিনিয়ার এক্সটেনশন রয়েছে (অর্থাত্ আংশিক অর্ডারের সাথে মোট আদেশ)? তুচ্ছ: সমস্ত পোষ্টের কমপক্ষে একটি রৈখিক এক্সটেনশন থাকে
খ) এর কতটি আছে? # এটি নির্ধারণের জন্য পি-সম্পূর্ণ (ব্রাইটওয়েল এবং উইঙ্কলার, লিনিয়ার এক্সটেনশনগুলি গণনা , আদেশ, 1991)
গ) আমরা কী দ্রুত এগুলি উত্পন্ন করতে পারি? হ্যাঁ, অবিচ্ছিন্ন মোড়িত সময়ে (প্রুইস এবং রুস্কি, লিনিয়ার এক্সটেনশানগুলি দ্রুত তৈরি করা , সিয়াম জে কম্প 1994)

— গ্যারা প্রুসি
সূত্র

3

+1: আমি সম্মত হচ্ছি এটি একটি দুর্দান্ত উদাহরণ (এটি নিজে পোস্ট করার কথা ভাবছিলাম এবং তারপরে এই উত্তরটি দেখেছি)। এছাড়াও, পাছে কেউ "কমপক্ষে অন্য একটি রৈখিক এক্সটেনশান রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার বিষয়ে কি বলবে না ", সেই সমস্যাটিও সম্পূর্ণ তুচ্ছ: মোট আদেশের 1 টি এক্সটেনশান রয়েছে, অন্য সমস্ত পোজ রয়েছে> 1. এবং ঠিক 2 এক্সটেনশন সনাক্ত করাও সহজ (এটি যদি ঘটে যায় তবে অনুপম উপাদানগুলির একজোড়া ঠিক আছে)। প্রকৃতপক্ষে, 7 টি পর্যন্ত রৈখিক এক্সটেনশান সহ পোসেটগুলির একটি সম্পূর্ণ শ্রেণিবদ্ধকরণ রয়েছে (দেখুন হনামুরা-ইওয়াটা, আইপিএল 2011 ))

— জোশুয়া গ্রাচো

এটি প্রকৃতপক্ষে একটি চমৎকার উদাহরণ। একই ধরণের বৈশিষ্ট্যগুলি উপভোগ করার ক্ষেত্রে অনেকগুলি "সরল" সমস্যা রয়েছে (এই বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করার জন্য এটি প্রায় তুচ্ছ sense একটি ডিএনএফের সন্তুষ্টিজনক কার্যের সংখ্যা গণনা: ক) প্রতিটি খালি-খালি ডিএনএফ সন্তুষ্টযোগ্য খ) গণনাটি # পি-সম্পূর্ণ (# এসএটি-তে হ্রাস) গ) গণনাটি বহুবর্ষীয় বিলম্বের সাথে সম্পন্ন করা যেতে পারে (সম্ভবত একটি ধ্রুবক বিহীন সময় হতে পারে) এটি সম্পর্কে ভাবতে)

— হল্ফ

আমি ডিএনএফ সন্তুষ্টিজনক অ্যাসাইনমেন্ট অবিচ্ছিন্ন সময় (সিএটি) তৈরি করা যেতে পারে কিনা তা জানতে আমি আগ্রহী। ১৯৯৪ সালে ফ্র্যাঙ্কের সাথে আমার কাগজটিতে লিনিয়ার এক্সটেনশানগুলি প্রথম "প্রাকৃতিকভাবে সংজ্ঞায়িত" অবজেক্ট ছিল যার জন্য গণনা শক্ত ছিল এবং প্রজন্ম যত দ্রুতগতি সম্পন্ন হয়েছিল, ততক্ষণে (যেমন ক্যাট) পরিণত হয়েছিল। ডিএনএফ সমাধানগুলিও এর সম্ভাব্য প্রার্থীর মতো বলে মনে হচ্ছে। কারও কি রেফারেন্স আছে?

— গারা প্রুভিস

@ গারাপ্রুস এর কাছে আমার কাছে রেফারেন্স নেই। মনোোটোন-ডিএনএফের জন্য, এটি হাইপারগ্রাফের হিট সেট গণনা করার সমতুল্য এবং বিলম্বকে উন্নত করার জন্য কিছু কৌশলগুলি কীসুক মুরাকামি এবং টেকাকি ইউনো dl.acm.org/citation.cfm দ্বারা "বৃহত আকারের হাইপারগ্রাফগুলিকে দ্বৈতকরণের জন্য দক্ষ আলগোরিদিম" উপস্থাপন করা হয়েছে ? আইডি = 2611867 । এটি ক্যাট দেয় কিনা তা আমাদের খতিয়ে দেখা উচিত। ডিএনএফ-এর জন্য, আমার অন্তর্নিহিততাটি হ'ল যদি একটি ছোট্ট ধারা থাকে তবে আপনার কাছে ইতিমধ্যে ব্রুট জোর করার যথেষ্ট সমাধান রয়েছে। অন্যথায়, আপনার কাছে কেবলমাত্র বৃহত্তর ধারা রয়েছে এবং এটির পরে সংঘর্ষ হওয়ার সম্ভাবনা বেশি এবং এটি একটি ক্যাট অ্যালগরিদম ডিজাইন করতে ব্যবহৃত হতে পারে।

— হল্ফ

17

সংখ্যা তত্ত্বের একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ চারটি স্কোয়ারের যোগফল হিসাবে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে প্রকাশ করা। এটি এলোমেলো বহুবর্ষীয় সময়ে তুলনামূলকভাবে সহজে করা যায় ( https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713 এ রবিনের সাথে আমার 1986 নিবন্ধটি দেখুন ), এবং আমি যদি সঠিকভাবে মনে রাখি তবে এখন সেখানে একটি নির্জনবাদী বহুবর্ষ-সময়ও রয়েছে সমাধান। তবে এই জাতীয় উপস্থাপনার সংখ্যা গণনা করা আপনাকে বিভাজনগুলির ফাংশন গণনা করতে দেয় , যা এলোমেলোভাবে বহু-কাল-সময়ের ফ্যাক্টরিং সমতুল্য । সুতরাং গণনা সমস্যা সম্ভবত কঠিন। $\sigma(n)$ $n$

— জেফ্রি শালিট
সূত্র

"সুতরাং গণনা সমস্যা সম্ভবত কঠিন" আপনি বোঝাচ্ছেন সম্ভবত কঠিন? আপনার কি প্রমাণ আছে?

# P

$\#P$

— টি ....

"সম্ভবত শক্ত" দ্বারা আমার অর্থ এটি এলোমেলো বহু-সময়-সংখ্যার পূর্ণসংখ্যার গুণক হিসাবে সমান to

— জেফ্রি শ্যালিট

3

সুতরাং, এটা স্পষ্ট করতে: সমস্যা না # পি-কঠিন (যদি না সব নরকে বিরতি শিথিল)।

— এমিল জেবেক

@ জেফ্রি শ্যালিট এখানে কি উদাহরণ আছে?

# P

$\#P$

— টি ....

আমি মনে করি নিম্নলিখিত একটি এমনকি সহজ উদাহরণ: "নেই চেয়ে সঠিক ভাজক বৃহত্তর আছে " বনাম "কত তার চেয়ে অনেক বেশী সঠিক ভাজক নেই আছে?"। সিদ্ধান্ত সংস্করণে সমতুল্য " যৌগিক হয়" তাই এটি আছে কিন্তু কাউন্টিং সংস্করণ ফ্যাক্টরিং ছাড়া সহজ দেখাচ্ছে না।

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— ড্যান ব্রুমলেভ

17

গ্রাফ থিওরির একটি খুব সুন্দর এবং সাধারণ উদাহরণ একটি অপ্রচলিত গ্রাফে ইউুলারিয়ান সার্কিটের সংখ্যা গণনা করা।

সিদ্ধান্ত সংস্করণটি সহজ (... এবং কেনিগসবার্গের সাতটি সেতুর কোনও সমাধান নেই :-)

গণনা সংস্করণটি হল # পি-হার্ড: গ্রাহাম আর ব্রাইটওয়েল, পিটার উইঙ্কলার: ইউলরিয়ান সার্কিট গণনা হচ্ছে # পি-সম্পূর্ণ । অ্যালেক্স / আনালোকো 2005: 259-262

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

এই কাগজের "আমাদের দৃষ্টিভঙ্গিটি দেখাতে হবে যে, এমন একটি ওরাকলের সাহায্যে যা ইউুলেরিয়ান সার্কিটকে গণনা করে, একটি ট্যুরিং মেশিন পারে ... এবং" আমরা ইউলরিয়ান অভিমুখগুলির সংখ্যাটি গণনা করতে চাই । "অনুচ্ছেদ-বিরতি" আমরা যেকোন বিজোড় প্রাইম , একটি গ্রাফ যার সংখ্যা মডুলো সমতুল্য । "এবং" আমরা প্রতিটি প্রাইম পি এর জন্য প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি করি এবং , যেখানে , এবং ... "অবশ্যই পরামর্শ দেয় যে তারা কেবলমাত্র একটি জিজ্ঞাসা হ্রাসের চেয়ে কেবল একটি সমান্তরাল হ্রাস দেয়।

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@ মারজিওডিবিয়াসি কি এনসির ইউলরিয়ান সার্কিটের সিদ্ধান্ত?

— টি ....

1

@AJ। আপনাকে কেবল প্রতিটি নোডের ডিগ্রির সমতা গণনা করতে হবে এবং সেগুলি সব সমান কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে। অবশ্যই এনসিতে থাকবেন বলে মনে হচ্ছে।

— সাশো নিকোলভ

4

আপনি আকারের সূত্র বা গভীরতা রৈখিক আকারের সার্কিট ব্যবহার করে বিটের সমতা নিতে পারেন । সুতরাং যদি আপনার গ্রাফটি সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স হিসাবে দেওয়া হয় তবে প্রতিটি সারিটির সমতা গণনা করুন, উপেক্ষা করুন এবং একটি AND নিন। এবং বিটের একটি লিনিয়ার আকারের সূত্র দিয়ে করা যেতে পারে, সুতরাং সামগ্রিকভাবে, আপনি একটি আকারের বুলিয়ান সূত্র এবং একটি আকারের বুলিয়ান সার্কিট (উপরের অংশে এবং- OR ভিত্তিতে)। সুতরাং সমস্যাটি আসলে ।

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— সাশো নিকোলভ

2

আসলে, সমস্যাটি ।

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— এমিল জ্যাব্যাক মনিকা 24

6

আপনার দ্বিতীয় প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত, যেমন মনোোটোন-2-স্যাট (ধারা অনুসারে সর্বাধিক 2 ধনাত্মক আক্ষরিক সিএনএফ-সূত্রের সন্তোষজনকতার সিদ্ধান্ত নেওয়া) সম্পূর্ণ তুচ্ছ (আপনি কেবল আপনার সূত্রটি খালি কিনা তা যাচাই করতে হবে) তবে গণনা সমস্যা # পি-হার্ড। এমনকি এই জাতীয় সূত্রের সন্তুষ্টিজনক কার্যের সংখ্যার প্রায় কাছাকাছি করাও কঠিন (আনুমানিক যুক্তির কঠোরতায় ড্যান রোথ, কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা, 1996 দেখুন)।

— holf
সূত্র

5

থেকে [Kayal, সিসিসি 2009] : স্পষ্টভাবে কিছু সময়ে প্রধ্বংসী polynomials মূল্যায়নের

বিমূর্ত থেকে: `` এটিই একমাত্র প্রাকৃতিক গণনা সমস্যা যেখানে কোনও জিনিসের অস্তিত্ব নির্ধারণ করা (আমাদের ক্ষেত্রে ধ্বংসাত্মক বহুপদী) দক্ষতার সাথে সম্পন্ন করা যায় তবে বস্তুর প্রকৃত গণনা সম্ভবত শক্ত। '

যাক একটি ক্ষেত্র এবং হতে একটি সেট হতে -many degree- over এর উপরে বহু-বহুভুজএকটি -Annihilating বহুভুজ যেকোন (অ-তুচ্ছ) সেন্ট $\mathbb{F}$ $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ: যে কোনও ক্ষেত্রের উপরে, এবং যে কোনও বহুপদী - হলে জন্য জাতীয় ধ্বংসাত্মক । ((একটি মাত্রা গণনা যুক্তির মাধ্যমে।)) $k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

গণনা শক্ত: কিছু বিন্দুতে ধ্বংসাত্মক বহুবর্ষের মূল্যায়ন করার কার্যকরী সমস্যা হিসাবে অ্যানিহাইলেটিং-এভালকে সংজ্ঞায়িত করুন : একটি মৌলিক এবং একটি সেট দেওয়া হয়েছে যার ন্যূনতম মনিক নির্মূল করে আউটপুট পূর্ণসংখ্যা $p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

অ্যানিহাইলেটিং-এভাল হ'ল hard ভেঙে ফেলা বহুপদী একটি ছোট সার্কিট উপস্থাপনা নেই । $\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— ড্যানিয়েল আপন
সূত্র

1

মারজিওর উদাহরণের মতো, এই কাগজের 1515 দাবির প্রমাণটি ইঙ্গিত দেয় যে তারা কেবলমাত্র তুলনায় সমান্তরাল হ্রাসের অধীনে কঠোরতা দেখায়, হ্রাস।

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

আমি যে সংস্থানগুলি খুঁজে পেতে পারি সেগুলি সংজ্ঞাগুলির সাথে একমত নয় বলে মনে হয়। আপনার উত্তরের আলোচনাটি এই সমস্যা হতে দিন। (... চালিয়ে যাচ্ছিল)

1

(অব্যাহত ...) আমি আরো স্পষ্ট করে কি বেস ক্লাসের তারা ব্যবহার কাজ করার চেষ্টা করে নি, তবে যদি তাদের ফলাফলের চেয়ে #P = ভাল ছিল হবে বেশ বিস্মিত হতে LO DLOGTIME- ইউনিফর্ম টিসি । (... চালিয়ে যাচ্ছিল)

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$

1

(অব্যাহত ...) যতদূর দেখতে পাচ্ছি, এটা নেই না অনুসরণ যে LWPP এমপি বহু ।

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$

1

আরও সাধারণত, যথেচ্ছ ( চেয়ে কম ) এর জন্যও জ্যাকবীয় মানদণ্ডের কারণে সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ, তাই না? (নোট করুন যে জ্যাকবীয় মানদণ্ডটি কেবল বৈশিষ্ট্য> ; ক্ষুদ্র ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যে -স্যাক্সেনা-স্কিচিচেনারের কারণে একটি পরিবর্তিত জ্যাকবীয় মানদণ্ড রয়েছে , তবে এটি সম্ভবত সিদ্ধান্তের জন্য decision অ্যালগরিদম ...)

k

$k$

n

$n$

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

— জোশুয়া গ্রাচো