একটি ম্যাট্রিক্স সমস্যার জটিলতা

নিম্নলিখিত সমস্যাটি সম্প্রতি আমার গবেষণায় হাজির। অ্যালগরিদমিক প্রশ্নগুলির বিশেষজ্ঞ না হওয়ায় উপযুক্ত সমস্যাগুলি হ্রাস করার জন্য অনুসন্ধানে আমি ব্যাপকভাবে গুগল করেছি। 3SAT কীভাবে কাজ করবে তা আমি দেখতে পাচ্ছি না, এবং ZOE চেতনায় সমান হলেও একটি হ্রাস সুস্পষ্ট নয়। আরেকটি সম্ভাবনা হবে বাস্তবের অস্তিত্বের তত্ত্ব। এটিও বেশ ম্যাচ বলে মনে হয় না তবে আমি সে সম্পর্কে ভুল হতে পারি।

সমস্যা: $A$ এবং $B$ উভয়ই আপনার পছন্দসই ক্ষেত্রের তুলনায় $n\times n$ mat আমরা ধরে নিই যে সূচকের একটি অবাধ সেট $A$ 0. অনুরূপভাবে, এর সূচকের একটি অবাধ সেট সেট করা হয় $B$ 0. প্রশ্ন সেট করা হয়: আমরা অবশিষ্ট সূচকের পূরণ করতে পারেন $A$ এবং $B$ যেমন যে $AB = I_n$ ?

উদাহরণ: $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$ । সম্ভব না.

এই গণনীয় জটিলতা (ইন কি $n$ )?

সাহিত্যে অনুরূপ ফলাফলের সন্ধান করতে যেখানে কোনও ইঙ্গিত বা ধারণাগুলি প্রশংসিত হবে।

সম্পাদনা (এই পোস্টটি সম্পর্কে সম্পূর্ণরূপে ভুলে গেছেন): সাম্প্রতিক কাজের মধ্যে যা আরএক্সিভ-এ উপলব্ধ রয়েছে (যদি কেউ প্রিপ্রিন্টে আগ্রহী আমাকে জানতে দিন) আমরা দেখিয়েছি যে সমস্যাটি কোনও সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের তুলনায় এনপি-হার্ড।

cc.complexity-theory

— মেগাবাইট
সূত্র

প্রদত্ত বেস ক্ষেত্রটি যথেষ্ট বড়, আপনি

A B

$AB$ বিবর্তিত করতে পারবেন কিনা তা যাচাইয়ের সমস্যাটি বহুবর্ষ পরিচয় পরীক্ষার (পরিপূরক) হ্রাস করে। কেবলমাত্র লক্ষ্য করুন যে

এর নির্ধারক

A B

$AB$ অনুপস্থিত এন্ট্রিগুলির মানগুলির মধ্যে একটি বহুপদী।

— অ্যান্ড্রু মরগান 19

এছাড়াও, কেস যেখানে আমরা

এবং

এর এন্ট্রিগুলিকে শূন্য এক হতে সীমাবদ্ধ করি এবং ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য

চেয়ে বড় হয়, দ্বিপক্ষীয় নিখুঁত মিলকে হ্রাস করে। আপনি প্রতিটি সূচক

অন্য সূচক

বেছে নেওয়ার কল্পনা করতে পারেন যাতে আপনি

এবং বাকী এন্ট্রি শূন্য সেট করেন। (এর চেয়ে বেশি বেশি রাখলে কেবল ক্ষতি হতে পারে)) তারপরে

শর্তটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ হিসাবে সূচকগুলি সহ প্রকাশ করা যেতে পারে

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ বাম দিকে, ডানদিকে

পছন্দসই বিকল্প এবং

জোড়গুলির জন্য প্রান্ত

যার জন্য আমরা

এবং

সেট করতে পারি ।

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— অ্যান্ড্রু মরগান 20

@MB: এছাড়াও, মনে রাখবেন পরীক্ষণ যদি যখন

তৈরি করা যেতে পারে বিপরীত কিনা তা পরীক্ষা করে উভয় হিসাবে একই

এবং

, আলাদাভাবে, বিপরীত তৈরি করা যেতে পারে কিনা তা পরীক্ষা করে

তৈরি করা যেতে পারে বিপরীত কিনা চেক হিসাবে একই নয়

পরিচয় তৈরি করা যেতে পারে ।

(রেস।

) অবিচ্ছিন্ন করা যায় কিনা তা যাচাই করার জন্য , আপনি বলছেন যে "এটি কার্যকরভাবে করা যায়", তবে আপনার সেটিংয়ে এটি

(রেস।

সমর্থনের মধ্যে একটি নিখুঁত মিলের জন্য পরীক্ষা করার সমতুল্য

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (একই সমস্যা, তবে অ্যান্ড্রু মরগানের দ্বিতীয় মন্তব্য থেকে কিছুটা আলাদা সেটিং)।

— জোশুয়া গ্রাচো

এই সমস্যার কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে সম্ভবত পিপিএডে যেমন লিনিয়ার পরিপূরক সমস্যা: কিনতালি.ওয়ার্ডপ্রেস.com/2009/08/04/linear-complementarity-prob? লেম সম্ভবত এটি সমাধান খুঁজে পাওয়া কঠিন বলে মনে হতে পারে।

— ডমোটরপ

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

ভাল, এখানে একটি না ভয়ঙ্কর উপরের আবদ্ধ শেষ : , অথবা রিম্যান হাইপোথিসিস অভিমানী । এটি কারণ জন্য শূন্যের কোনও নিদর্শনগুলির জন্য কেউ তৈরি করতে পারে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখছে যে ইন্টিজার বহুপদী সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সিস্টেমের in এর সমাধান রয়েছে কি না এবং এটি করা যেতে পারে এই উপরের সীমানায়, কৈরান দ্বারা। $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

আরেকটি পদ্ধতি হ'ল এটি বাস্তবে বিলিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেম is বিলিনিয়ার সমীকরণগুলি সমাধান করা লিনিয়ার সমীকরণের "র‌্যাঙ্ক 1" সমাধান অনুসন্ধানের সমতুল্য। আমি নির্ধারণ করার চেষ্টা করেছি যে সাধারণভাবে বিলিনিয়ার সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য আরও ভাল উচ্চতর সীমা রয়েছে কিনা, তবে এখন পর্যন্ত কোনও ভাগ্য নেই। এটাও সম্ভব যে কেউ সাধারণভাবে জানার চেয়ে আরও ভাল কিছু পাওয়ার জন্য এই বিলিনিয়ার সমীকরণের নির্দিষ্ট কাঠামোটি অর্জন করতে পারে ...

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

PSPACE এনপি-তে থাকা সমস্যাটি অনুসরণ করে না?

— এমবি

@ এমবি: সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির ওপরে সমস্যাটি স্পষ্টতই এনপি-তে রয়েছে (কেবল ভেরিয়েবলগুলির সেটিংটি দেখান), এটি এএম এর চেয়েও ভাল উপরের গণ্ডি even যখন ইনপুটটি পূর্ণসংখ্যার বহুভুজ হয় তবে আপনি জটিল সংখ্যায় সমাধানের জন্য জিজ্ঞাসা করেন, যখন কোনও সমাধান পাওয়া যায় তখনও এটি স্পষ্ট নয় যে আপনি এটিকে কোনও সীমাবদ্ধ মেমরির মধ্যে লিখে রাখতে পারেন, বহুত্ব-সীমিতভাবে ছেড়ে দিন।

— জোশুয়া গ্রাচো