নির্ধারকের গণনা করার জন্য গণিতের অপারেশনগুলির সর্বনিম্ন সংখ্যা

সেখানে প্রাথমিক গাণিতিক অপারেশন একটি এর নির্ধারক গনা প্রয়োজন নূন্যতম কত খোঁজার কোন কাজ হয়েছে দ্বারা ক্ষুদ্র ও সংশোধন করা হয়েছে জন্য ম্যাট্রিক্স ? উদাহরণস্বরূপ, জন্য । $n$ $n$ $n$ $n=5$

cc.complexity-theory linear-algebra determinant

— Lembik
সূত্র

আমি এ সম্পর্কে বিশেষজ্ঞদের জিজ্ঞাসা করেছি, এবং আপাতদৃষ্টিতে এটি এখনও জানা যায়নি যে 3x3 ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি গণনা করার জন্য 9 গুণ করা দরকার কিনা।

— জেফ্রি শালিট

@ জেফ্রেশালিট যদি

টি সম্ভব হয় তবে এটি ইতিমধ্যে আকর্ষণীয় (যেমন এটি উদাহরণস্বরূপ

চেয়ে কম )। কীভাবে

9

$9$

n^{3}

$n^3$

n = 4

$n=4$

— লেম্বিক

না, মোটেও আকর্ষণীয় নয়। অপ্রাপ্তবয়স্কদের দ্বারা সম্প্রসারণের পরে n = 3 এর জন্য 9 গুণগুলি। N = 4 এর জন্য আবার নাবালিকাদের দ্বারা সম্প্রসারণ 40 দেয় I 40 টিরও কম গুণে এটি কীভাবে করা যায় তা আমি জানি না।

— জেফ্রি শালিত

@ জেফ্রেশালিত ওহ আমি দেখতে পেলাম, ভালো কথা। এটি আশ্চর্যজনক (কমপক্ষে আমার কাছে) যদি নির্বিকারের চেয়ে ভাল কোনও নির্দিষ্ট

জন্য পরিচিত না হয় ।

n

$n$

— লেম্বিক

যদি কেউ জানেন, সম্ভবত তারা আমাদের বলতে পারেন।

— জেফ্রি শালিত

এটি জানা যায় যে ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির সংখ্যা , যেখানে ম্যাট্রিক্সের গুণক ধ্রুবক। উদাহরণস্বরূপ উইকিপিডিয়ায় এই টেবিলের পাশাপাশি এর পাদটীকা এবং উল্লেখগুলি দেখুন। দ্রষ্টব্য যে ম্যাট্রিক্স বিপরীতের asympotic জটিলতাও এই একই অর্থে ম্যাট্রিক্স গুণনের সমান। $n\times n$ $n^{\omega+o(1)}$ $\omega$

সমতাটি বেশ কার্যকর। বিশেষত, আপনি স্কুর পরিপূরকটি ব্যবহার করে ব্লকগুলিতে কাজ করে একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারককে পুনরাবৃত্তভাবে গণনা করতে পারেন : $n\times n$ $(n/2) \times (n/2)$

D invertible ⟹ det (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) = det (D) det (A - B D^{- 1} C) .

$\text{$D$ invertible}\qquad\implies\qquad\det \begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} = \det(D) \det(A-BD^{-1}C).$

সুতরাং, আপনি দুটি নির্ধারক গণনা করে একটি নির্ণায়ক গণনা করতে পারেন , একটি ম্যাট্রিক্সকে উল্টিয়ে দুটি জোড়া ম্যাট্রিক্স, এবং কিছু সহজ অপারেশন। নির্ধারক কলগুলি পুনরাবৃত্তভাবে প্রসারিত করে, জটিলতা ম্যাট্রিক্স গুণ এবং বিপরীত দ্বারা আধিপত্য বজায় থাকে। $n\times n$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$ $(n/2)\times (n/2)$

এটি এমনকি ছোট এবং এমনকি সাব-কিউবিক ম্যাট্রিক্স গুণিত অ্যালগরিদম ব্যবহার না করেও ভাল কাজ করে। (অবশ্যই, এটি আরো-অর-কম গসিয়ান বর্জন সমতূল্য হচ্ছে শেষ পর্যন্ত।) উদাহরণস্বরূপ, জন্য , আমরা গনা করতে দুই multiplications সঙ্গে, চার বিভাগের সঙ্গে, সঙ্গে multiplications, । দুই multiplications, এবং গুণ সঙ্গে চূড়ান্ত উত্তর সঙ্গে মোট সংখ্যা $n$ $n=4$ $\det(D)$ $D^{-1}$ $BD^{-1}C$ $2\times 8=16$ $\det(A-BD^{-1}C)$ গুণ এবং আরও বিভাগ, যাকোফ্যাক্টর সম্প্রসারণ থেকে চেয়ে কম। স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদম ব্যবহার করা এখানে দুটি গুণকে বাঁচায়, তবে আরও অ্যাসিপোটোটিকভাবে। $2+4+16+2+1=25$ $40$

$O(n^4)$ $n^{2+\omega/2+o(1)}$

— উ: রেক্স
সূত্র

আপনি কি কেবল গুণনের সংখ্যার উপর কোনও নিম্ন সীমাবদ্ধ জানেন? এমনকি এন = 3 এর জন্য?

— জেফ্রি শালিট

আপনার আবদ্ধকরণ "একটি এর নির্ধারক গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় গাণিতিক অপারেশনগুলির সংখ্যা

n \times n

$n \times n$ ম্যাট্রিক্স হয়

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega +o(1)}$ "প্রস্তাব করে যে, একটি লোয়ার বাউন্ড পরিচিত হয় কিন্তু আমি এই উদাহৃত কাজ কোনো দেখতে পাইনি অ্যাম আমি কিছু অনুপস্থিত।।?

— জেফ্রি Shallit

নীচের গণ্ডিটি ডব্লিউ.বাউর এবং ভি.ট্রেসসেনের কাগজে রয়েছে "আংশিক ডেরাইভেটিভসের জটিলতা" ( dx.doi.org/10.1016/0304-3975(83)90110-X )

— ভ্লাদিমির লাইসিকভ