লগারিদমিক দৈর্ঘ্যের সাক্ষীর উদাহরণ অনুসন্ধানের চেয়ে যাচাই করা সহজ

Question

একটি সহজ পর্যবেক্ষণ হল যে যদি একটি সমস্যা একটি বহুপদী টাইম nondeterministic ব্যবহার প্রোগ্রামের দ্বারা নির্ধার্য হয় nondeterministic বিট (অর্থাত, সব সাক্ষী দৈর্ঘ্য লগারিদমিক হয়), তারপর ।$A$$O(\log n)$$A \in \mathsf{P}$

যদি কেউ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে, "সাক্ষীর সন্ধানের চেয়ে সাক্ষী যাচাই করা কি সহজ?" এই জাতীয় সমস্যাগুলির জন্য, এবং এককটি বহু বহুতল চলমান সময়কে সমতুল্য মনে করে, তবে উত্তরটি হ'ল না, যেহেতু একজন সম্ভাব্য সমস্ত সাক্ষীর সন্ধানের মাধ্যমে বহু সময়েই এই জাতীয় সাক্ষী খুঁজে পেতে পারেন।

তবে যদি আমরা বহুপুত্রের চলমান সময়ের মধ্যে সূক্ষ্ম ধরণের পার্থক্য বিবেচনা করি? আমি ভাবছি a এ প্রাকৃতিক সমস্যার উদাহরণ রয়েছে যাতে দৈর্ঘ্যের সাক্ষী রয়েছে যা খুঁজে পাওয়ার চেয়ে যাচাই করা সহজ, যেখানে "সহজ" এর অর্থ একটি ছোট বহুবর্ষ চলমান সময়।$\mathsf{P}$

উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফগুলিতে নিখুঁত মিলের জন্য পরিচিত অ্যালগরিদমগুলি বহুপদী সময় নেয় তবে নোড সহ গ্রাফের চেয়ে বেশি সময় লাগে । তবে জোড়া নোডের একটি সেট দেওয়া (একটি সাক্ষী), সময় এটি মিলে যাওয়া যাচাই করা সহজ । যাইহোক, মিলটি নিজেই এনকোড করার জন্য বিটের প্রয়োজন।$O(n)$$n$$n/2$$O(n)$$\Omega(n)$

এমন কিছু প্রাকৃতিক সমস্যা রয়েছে যা যাচাইকরণ বনাম যাচাইয়ের ক্ষেত্রে একটি অনুরূপ (আপাত) গতি অর্জন করে, যেখানে সাক্ষীর লোগারিথেমিক দৈর্ঘ্য রয়েছে?

Comments

কোনও বিট ইনপুট স্ট্রিং সমস্ত জিরো স্ট্রিংয়ের সমান নয় কিনা তা গণনা করার সমস্যাটি বিবেচনা করুন । এটি করতে সময় লাগে , তবে একটি সাইজের সাক্ষী ( নির্দেশ করে ) এটিকে অনেক সহজ করে তোলে (একটি এলোমেলো এক্সেস মেশিনে)। $n$$\Theta(n)$$\log n$$1$

— রবিন কোঠারি

প্রশ্নটি বিশেষত আকর্ষণীয় যদি আমরা একটি এলোমেলো অ্যাক্সেস মেশিনে কমপক্ষে রৈখিক যাচাইয়ের সময় নিয়ে সমস্যাগুলি বিবেচনা করি। Web.stanford.edu/~rrwill/improved-algs-lbs2.pdf এর ৪ নং বিভাগে ননডেটেরিনিজমবাদ সহ বিস্তৃত অনুসন্ধানের তুলনায় সর্বজনীন উন্নতির কিছু আকর্ষণীয় পরিণতি দেওয়া হয়েছে । (ধারা 5 এমনকি কিছু শর্তহীন নিম্ন সীমানা প্রমাণ করে।)$O(\log n)$

— রায়ান উইলিয়ামস

Answer 1

সিদ্ধান্ত সমস্যার কথা বিবেচনা করুন যা সিদ্ধান্ত দেয় যে প্রদত্ত বাইনারি ইনপুট এর দৈর্ঘ্য n একটি নন-প্যালিনড্রোম কিনা ।$x$$n$

একটি চমত্কার স্ট্যান্ডার্ড যোগাযোগ জটিলতার প্রমাণ রয়েছে যে এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য একটি একক টেপ টিএম কমপক্ষে সময় প্রয়োজন।$O(n^2)$

অন্যদিকে, আমরা আপনাকে একটি সঙ্গে একটি nondeterministic অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে এই সমস্যার সমাধান করতে পারে দৈর্ঘ্য সাক্ষী আমি : অ্যালগরিদম গ্রহণ যখনই আমি তম শুরু থেকে বিট এক্স থেকে পৃথক আমি শেষ প্রান্ত থেকে তম বিট এক্স । একটি দৈর্ঘ্য n বিটস্ট্রিংয়ের শুরু বা শেষ থেকে i তম বিট সনাক্তকরণটি একটি টেপ TM তে ও ( এন লগ এন ) সময়ে সম্পন্ন করা যায় ।$\log(n)$$i$$i$$x$$i$$x$$i$$n$$O(n \log n)$

Comments

ভাল লাগল, আপনি মূলত ননডেটারেস্টিক এবং ডিটারনিস্টিক যোগাযোগের জটিলতার (দুটি স্ট্রিংয়ের সমতার জন্য) ননডেটারেস্টিক এবং ডিটারমিনিস্টিক ওয়ান-টেপ টিএম পৃথক করার পার্থক্যটিকে "উত্তোলন" করছেন।

— রায়ান উইলিয়ামস