একটি এন্ট্রি পরিবর্তন করা বহুপদী শ্রেণিবিন্যাসের ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্ব হ্রাস পায় কিনা তা সিদ্ধান্ত নিচ্ছেন?

নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন: প্রদত্ত একটি ম্যাট্রিক্স $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ , সূচকগুলি $i,j\in\{1,\dots,n\}$ এবং একটি পূর্ণসংখ্যা $a$ । প্রতিস্থাপন $M[i,j]$ দ্বারা $a$ এবং নতুন ম্যাট্রিক্স কল । ইস $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$ ?

বহুবর্ষীয় শ্রেণিবিন্যাসে এই সমস্যাটি কি?

permanent

— টি ....
সূত্র

এটি একটি # পি ওরাকলকে দুটি কল দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে ... এটি যদি পিএইচ তে থাকে তবে এটি বোঝায় যে পিপিও পিএইচতে রয়েছে ... তবে, পিপি যদি পিএইচ থাকে তবে পিএইচটি ধসে যায়। সুতরাং আমি মনে করি এটি পিএইচ-তে রয়েছে এমন সম্ভাবনা কম।

— তাইফুন

@ টেফুনপে আমি এই যুক্তিটি সঠিক বলে মনে করি না। সমস্যাটিকে # পি-তে 2 কল দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে, তবে এটি এত সহজে অস্বীকার করা যায় না যে এটি একটি সহজ অ্যালগরিদম যা এটি পিএইচতে দেখায়। আপনাকে এটির জন্য এটি # পি এর পক্ষে শক্ত করে দেখাতে হবে, উদাহরণস্বরূপ এটিতে স্থায়ীভাবে হ্রাস করে।

— জানু জোহানসেন

আপনি যদি স্থায়ী সংজ্ঞাটি প্লাগ করেন এবং ফলস্বরূপ বৈষম্যকে সহজতর করেন, তবে আপনার সমস্যাটি এই প্রশ্নটিতে উত্থিত হয় যে কোনও প্রদত্ত (এন-1) -বি- (এন -1) ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্ব কঠোরভাবে ইতিবাচক কিনা question

— গামো

@ গামো এবং অন্যান্য উপায়ে, অর্থাত্ সিদ্ধান্ত নিচ্ছেন যে

এই সমস্যাটি হ্রাস করা যায়। একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া

, কনস্ট্রাক্ট

উপরে একটি লাইন এবং উপরে বাম কোণায় একটি 1 এবং 0 অন্যথায় সঙ্গে বাঁদিকে একটি কলাম যোগ করে। এখন দিন

হতে ম্যাট্রিক্স

যেখানে শীর্ষ বাম এন্ট্রি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে

। তারপরে

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

বহুতরফা এবং প্রথম কলামটি বিকাশ করে

। এভাবে

টার্বো উপর সমস্যা iff

এবং

আয় সত্য।

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$

— হল্ফ

@ হোল্ফ: আমি মনে করি আপনার উত্তর হিসাবে এটি পোস্ট করা উচিত। এটি বেশ স্পষ্টতই প্রশ্নের উত্তর দেয় এবং তারপরে প্রশ্নটি আর "উত্তরহীন" হিসাবে উপস্থিত হবে না।

— জোশুয়া গ্রাচো

আপনার সমস্যা দেওয়া পরীক্ষামূলক সমতূল্য, $M$ , কিনা $PER(M) > 0$ ।

প্রুফ : ধরে নিন আপনাকে $M$ দেওয়া হয়েছে এবং আপনি $PER(M) > 0$ কিনা তা সিদ্ধান্ত নিতে চান । আমরা গঠন করা $M'$ নিম্নরূপ:

[\begin{matrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 \\ ... & এম \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$ এটি দেখতে সহজ। এখন, সংজ্ঞায়িত

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$ হতে

M^{'}

$M'$ যেখানে আমরা প্রতিস্থাপন

(0, 0)

$(0,0)$ এর এন্ট্রি

M^{'}

$M'$ দ্বারা

- 1

$-1$ । বহুমাত্রিকতার দ্বারা এটি

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$ । সুতরাং

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$ যদি এবং কেবলমাত্র

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$ ।

এখন অনুমান আপনি দেওয়া হয় $M$ , $(i,j)$ এবং $a$ এবং সংজ্ঞায়িত , আপনার প্রশ্ন হলো, সেটা হিসাবে পরিবর্তন করে থেকে । আমরা আশা করি আপনি $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} পি ই আর (এম) > & পি ই আর (\hat{এম}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{এন} \hat{M} [ট, σ (ট)] iff \\ \underset{σ, σ (আমি) = ঞ}{Σ} এম [আমি, ঞ] Π_{ট \neq আমি}^{এন} এম [ট, σ (ট)] > & \underset{σ, σ (আমি) = ঞ}{Σ} একটি Π_{ট \neq আমি}^{এন} এম [ট, σ (ট)] iff \\ (এম [আমি, ঞ] - একটি) \cdot \underset{σ, σ (আমি) = ঞ}{Σ} Π_{ট \neq আমি}^{এন} এম [ট, σ (ট)] > & 0 iff \\ (এম [আমি, ঞ] - একটি) \cdot পি ই আর ({এম}^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

যেখানে $M'$ হয় $(n-1) \times (n-1)$ থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স $M$ লাইন সরিয়ে $i$ এবং কলাম $j$ । $\square$

— holf
সূত্র

ভাল উত্তর, তবে ওপি'র প্রশ্নের উত্তরটিও স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা ভাল worth

— স্টেলা বিডারম্যান