সর্বাধিক আকারের ন্যূনতম ডিএফএ সংখ্যা

দিন $\Sigma$ আকারের বর্ণমালা হতে $2$ , এবং ন্যূনতম ডিএফএগুলি বিবেচনা করুন যার আকার সর্বাধিক দ্বারা আবদ্ধ $m$ । দিন $f(m)$ এই জাতীয় বিভিন্ন ন্যূনতম ডিএফএর সংখ্যা বোঝান।

আমরা এর জন্য একটি বদ্ধ-ফর্মুলা খুঁজে পেতে পারি $f(m)$ ?

যে বিবেচনা করে $|\Sigma|=2$ সর্বাধিক আকারের ডিএফএর স্থানান্তর কার্য $m$ একটি গ্রাফ যেহেতু নোড ডিগ্রি দ্বারা আবদ্ধ হয় $2$ , প্রতিটি নোডের জন্য আছে $m^2$ জোড় জোড় সম্ভাবনা (মতামত হিসাবে প্রস্তাবিত)। এই গ্রাফটিতে সর্বাধিক রয়েছে $m$ প্রাথমিক অবস্থায় এবং সর্বাধিক সর্বাধিক সম্ভাব্য পছন্দসমূহ $2^m$ চূড়ান্ত রাজ্যগুলির সম্ভাব্য পছন্দগুলি সেটগুলি। সুতরাং, সর্বাধিক আকারের ডিএফএগুলির সর্বাধিক সংখ্যা $m$ হয় $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$ ।

আমরা একটি নির্বিচার বর্ণমালায় সাধারণীকরণ করতে পারি $\Sigma$ : আবদ্ধ হয় $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ ।

তবে আমরা এখানে স্বেচ্ছাসেবী ডিএফএগুলিকে আবদ্ধ করে রেখেছি এবং আমি ন্যূনতম ডিএফএর সংখ্যা বাধতে আগ্রহী। সুতরাং, দেখে মনে হচ্ছে এই বাঁধাই আরও শক্ত হতে পারে ... কারওর থেকে আরও ভাল প্রাক্কলন থাকতে পারে?

যদি সম্ভব হয় তবে আমি এই সমস্যার সাথে সম্পর্কিত কিছু কাগজপত্র বা প্রমাণ / পাল্টা-উদাহরণের প্রশংসা করব।

— লূস
সূত্র

আমি মনে করি না যে আপনার উপরের গণ্ডিটি সঠিক। দেখে মনে হচ্ছে এটি হওয়া উচিত

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$ , বরং

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$ । প্রতিটি নোডের জন্য, সেই নোড থেকে বেরিয়ে আসা দুটি আরাক বিবেচনা করুন; সেখানে

m

$m$ প্রথম চাপটি যেখানে যায় তার সম্ভাবনা এবং

m

$m$ দ্বিতীয় চাপটি যেখানে যায় তার সম্ভাবনা, তাই

m^{2}

$m^2$ মোট সম্ভাবনা। সেখানে

m

$m$ নোড, তাই আমরা পেতে

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$ আরাকস সেট জন্য সম্ভাবনা। সাধারণীকরণ হবে

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$ ।

— ডিডাব্লু

এখানে এমন একটি উল্লেখ রয়েছে যা সম্পর্কিত হতে পারে: "এন স্ট্যাটাসের সাথে ফিনিট অটোম্যাটায়িত স্বতন্ত্র ভাষার সংখ্যার উপরে" - citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838

— মাইকেল ওয়েহার

আমার ভুল সংশোধন করার জন্য এবং আমাকে এই রেফারেন্সটি দেওয়ার জন্য আপনাকে উভয়কে ধন্যবাদ, যা প্রকৃতপক্ষে একটি সুগন্ধযুক্ত।

— লুজ

উত্তর:

Ishigami ওয়াই, tani এস (1993) এন যুক্তরাষ্ট্রের সঙ্গে সসীম অটোমাটা ভিসি-মাত্রা অনুযায়ী http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , ভিসি-মাত্রা এর ধারণা শ্রেণি $n$ আকারের বর্ণমালার উপরে স্টেট ডিএফএগুলি $k$ হয়

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$ এটি নিম্নলিখিত যে অন্তত আছে

2^{d}

$2^d$ স্বতন্ত্র

n

$n$ স্টেট অটোমেটা এ

k

$k$ লেটার বর্ণমালা এই জাতীয় সংখ্যার উপরের আবদ্ধটি একটি সাধারণ গণনা যুক্তি (কাগজে দেওয়া) থেকে অনুসরণ করে এবং সর্বাধিক হয়

2^{d}

$2^d$ ।

— Aryeh
সূত্র

ধন্যবাদ। আমি আপনার উত্তর থেকে বুঝতে পারি যে আছে

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$ -স্টেট ডিএফএগুলি (কমপক্ষে এবং সর্বাধিক)। তবে আমি ন্যূনতম ডিএফএ গণনা করতে আগ্রহী। সুতরাং আপনার উপরের আবদ্ধ আমার উত্তর দেওয়া একটি বিরোধিতা করে না, তাই না?

— লুজ

আমিও মনে করি এটি ন্যূনতম ডিএফএও গণনা করে, যেহেতু ভিসি-ডাইমেনশনটি প্রতিনিধিত্ব-স্বতন্ত্র, এটি আসলে পৃথক ভাষা গণনা করে - যা ন্যূনতম ডিএফএ-এর সাথে সামঞ্জস্য করে।

— আরেহ

ওহ :( তাহলে আপনার বাঁধাই আমার সাথে বিবাদ করছে ... যেহেতু আমার একটি বড় ডিনোমিনেটর রয়েছে

(m - 1)!

$(m-1)!$ যা এটিকে আপনার নীচে করে দেয় ... কীভাবে আসবে ??

— লুজ

আমি বিপরীতটি পুরোপুরি দেখতে পাচ্ছি না - বৃহত্তর ডিনোমিনেটর

(m - 1)!

$(m-1)!$ এখনও দ্বারা জলাবদ্ধ

m^{m}

$m^m$ সংখ্যার মধ্যে

— আরেহ

আসলে, আপনি থম এর প্রমাণ তাকান যদি। ৩.২ আমি যে কাগজে লিঙ্ক করেছি তাতে আপনি ডিনোনেটরটিতে সেই সঠিক প্রকাশ দেখতে পাবেন।

— আরেহ

(এনবি: গ্রহণযোগ্য উত্তরে প্রদত্ত উপরের সীমাটি এখানে প্রদত্ত একটির চেয়ে ভাল বা সমান)

পূর্ববর্তী একটি মন্তব্যে এই কাগজে একটি উচ্চতর আবদ্ধ প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে: " এন রাজ্যগুলির সাথে সীমাবদ্ধ স্বয়ংক্রিয়তা দ্বারা স্বীকৃত স্বতন্ত্র ভাষার সংখ্যার উপর " (২০০২, এম। ডোমারাতজকি, ডি। কিসম্যান, জে শালিত) ।

এই কাগজে:

দ্য $f_{|\Sigma|}(m)$ ফাংশনটি স্বতন্ত্র নন-আইসমোর্ফিক ন্যূনতম ডিএফএগুলির সংখ্যা সরবরাহ করে $m$ স্টেটস ওভার এ ${|\Sigma|}$ লেটার বর্ণমালা ,
দ্য $g_{|\Sigma|}(m)$ ফাংশনটি ডিএফএ দ্বারা স্বীকৃত স্বতন্ত্র ভাষার সংখ্যা দেয় $m$ উপর একটি রাষ্ট্র ${|\Sigma|}$ -letter বর্ণমালা ।

আমরা উপরের সীমানায় আগ্রহী $g_{|\Sigma|}(m)$ ফাংশন, যেহেতু আমার প্রশ্নটি সর্বাধিক সহ ন্যূনতম ডিএফএর সংখ্যার উপরের বাউন্ডের জন্য বলে $m$ (এবং ঠিক না $m$ )।

পৃষ্ঠা থেকে আমি কী বুঝতে পারি $6$ উপপাদ্য নীচে $8$ তাই কি $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ যা আমার প্রশ্নে প্রদত্ত চেয়ে উত্তম বাউন্ড (যেমন $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$ )। এটি আমার প্রশ্নের আংশিক উত্তর দেয়।

তবে কাগজটি দাবি করেছে যে এই উপরের সীমাটি তুচ্ছ এবং উন্নত করা যায়। তবে, উন্নতি শুধুমাত্র ডিল করে $f_{|\Sigma|}(m)$ (যতদূর আমি এটি বুঝতে পারি)।

— লূস
সূত্র