সেট সংগ্রহের জন্য রামসির উপপাদ্য

Question

বিতরণকৃত অ্যালগরিদমগুলির জন্য নিম্ন সীমা প্রমাণ করার বিভিন্ন কৌশল অন্বেষণ করার সময়, আমার কাছে এমনটি ঘটেছিল যে রামসির উপপাদ্যের নিম্নলিখিত বর্ণগুলির প্রয়োগ থাকতে পারে - যদি এটি সত্য হয়।

---

পরামিতি: $k$ , $K$ , $n$ দেওয়া হয় এবং তারপরে $N$ যথেষ্ট পরিমাণে বড় হিসাবে বেছে নেওয়া হয়। পরিভাষা: একটি $m$ -subset আকারের একটি উপসেট $m$ ।

• আসুন $A = \{1,2,...,N\}$ ।
• যাক $B$ সব গঠিত $k$ এর -subsets $A$ ।
• যাক $C$ সব গঠিত $K$ এর -subsets $B$ ।
• একটি শোভা বরাদ্দ করুন $f\colon C \to \{0,1\}$ এর $C$ ।

এখন রামসে এর উপপাদ্য (hypergraph সংস্করণ) বলেছেন কোন ব্যাপার কিভাবে আমরা চয়ন $f$ , একটি হল একরঙা $n$ -subset $B'$ এর $B$ : সব $K$ এর -subsets $B'$ একই রঙের আছে।

আমি আরও এক ধাপ যান এবং একটি একরঙা এটি চাই $n$ -subset $A'$ এর $A$ যদি $B' \subset B$ সব নিয়ে গঠিত $k$ এর -subsets $A'$ , তারপর সব $K$ এর -subsets $B'$ একই রঙের আছে।

---

এটি সত্যি নাকি মিথ্যা? এটির কি একটি নাম আছে? আপনি কোন রেফারেন্স জানতে ঘটেছে?

এটি যদি কিছু তুচ্ছ কারণে মিথ্যা হয়, তবে কোনও দাবি দুটির মতো হওয়ার মতো কোনও দুর্বল রূপ রয়েছে কি?

Comments

$(r,s,n)$$s$$n$$r$$n$$r < s < n$

এখন একটি ফলো-আপ প্রশ্ন রয়েছে: cstheory.stackexchange.com/questions/3795

— Jukka Suomela

Answer 1

লক্ষ্য করা গেছে যে প্রশ্নটি কেবল তুচ্ছ, যখন কে, কে উভয়ই 1 এর চেয়ে বড়; কে = 1 বা কে = 1 কেসের ক্ষেত্রে এটি কেবলমাত্র সাধারণ রামসে উপপাদ্য, যা সমস্ত ক্ষেত্রেই সত্য। এছাড়াও, আমাদের কেবল সেই কেসটিই মোকাবেলা করতে হবে যে > কে, অন্যথায় উপপাদ্যটি সত্য, কারণ সেখানে একটি- ub-সুবসেট একটি 'এন-সাবসেট এ' দ্বারা নির্মিত এ এর${n \choose k}$${n \choose k}$

---

প্রথমে আমরা প্রমাণ করি যে উপপাদ্যটি সমস্ত কে> 1, কে> 1 এর জন্য মিথ্যা এবং কোনও এন সন্তুষ্ট কে < > কে> ।${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

একটি বৃহত এন এবং এ = [এন] এর জন্য কাউন্টারেরেক্স্যাম্পল তৈরি করতে, আমাদের একটি রঙিন ফাংশন তৈরি করতে হবে যেমন এ এর ​​সমস্ত এন-উপসেট এ 'এর জন্য, যদি বি' এ এর ​​সমস্ত কে-উপসর্গ সমন্বিত থাকে ' , বি 'এর কিছু কে-সাবসেটের বিভিন্ন রঙ রয়েছে। এখানে আমাদের নিম্নলিখিত পর্যবেক্ষণ আছে:

পর্যবেক্ষণ ১ , কে, কে> ১ এবং > কে> , বি এর যে কোনও কে-সাবসেটটি সর্বাধিক এক বি দ্বারা নির্মিত একটি সাবসেট by a এর n-subset A '${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

হাইপারগ্রাফ হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করে পর্যবেক্ষণটি সহজেই অনুভব করা যায়। গ্রাফ জি এর নোড হতে দিন, এ এর ​​একটি এন-সাবসেট এ 'হ'ল জি বিতে সম্পূর্ণ এন-সাবগ্রাফের নোড সেট হ'ল সম্পূর্ণ সাবগ্রাফের কে-হাইপারডিজের সেট (একটি ২-হাইপারডজ হ'ল একটি সাধারণ প্রান্ত), এবং বি'র কে-সাবসেটগুলি মোট সংমিশ্রণ (সেখানে রয়েছে, যেখানে বি -হাইপারজেডসের বি বি | | = ) । পর্যবেক্ষণে বলা হয়েছে: জি-তে যে কোনও হাই-হাইপ্রেজসের কে-টুপল সর্বাধিক একটি সম্পূর্ণ এন-সাবগ্রাফের অন্তর্গত, যা two কে < > কে> জন্য স্পষ্ট , কারণ যে কোনও দুটি সম্পূর্ণ সর্বাধিক হাইপারডিজ সহ এন-সাবগ্রাফগুলি বেশিরভাগ এন -1 নোডগুলিকে ছেদ করে ।$({|B'| \atop K})$${n \choose k}$${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

তারপরে আমরা একটি এন-সাবসেট এ দ্বারা নির্মিত নির্দিষ্ট বি'র কে-সাবসেট সি'র মধ্যে বিভিন্ন বর্ণ নির্ধারণ করতে পারি, যেহেতু সি'র কোনও উপাদান একটি এন-সাবসেট দ্বারা নির্মিত বি '' র অন্য কে-উপসেট হিসাবে উপস্থিত হবে না একজন ''। এ-এর কোনও এন-উপসেট দ্বারা নির্মিত না বি এর কোনও কে-সাবসেটের জন্য, আমরা এটিতে এলোমেলো রঙ নির্ধারণ করি। এখন আমাদের একটি রঙিন ফাংশন রয়েছে, এফের এন-সাবসেট দ্বারা নির্ধারিত কোনও বি 'একরঙা নয়, অর্থাত্ বি'র কে-সাবসেটগুলির বিভিন্ন বর্ণ রয়েছে।

---

পরবর্তী আমরা দেখিয়েছি যে উপপাদ্যটি সমস্ত কে> 1, কে> 1 এর জন্যও মিথ্যা এবং যে কোনও এন সন্তুষ্ট > কে Here এখানে কেবলমাত্র পার্থক্য হল এনকে এত বড় চয়ন করা যেতে পারে, যে কে> সত্য নয়। তবে অন্য একটি সাধারণ পর্যবেক্ষণ দ্বারা:${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

পর্যবেক্ষণ ২. এ এর একটি এন-সাবসেট এ দ্বারা নির্মিত কিছু বি যদি একরঙা হয় তবে এন '<এন'এর জন্য' এ 'এর এন-সাবসেট এ' 'দ্বারা নির্মিত প্রতিটি বি' 'একরঙাও হয়।

অতএব আমরা অনুমান করতে পারি যে উপপাদ্যটি বৃহত্তর এনকে ধরে রেখেছে, দ্বিতীয় পর্যবেক্ষণ প্রয়োগ করতে পারে এবং এন কে সন্তুষ্ট করে > কে> setting) স্থাপন করে প্রথম ক্ষেত্রে একটি বৈপরীত্যের ; যেমন এন 'অবশ্যই > কে এবং কে> বিদ্যমান থাকতে হবে, এন' অবশ্যই এন এবং কে + 1 এর মধ্যে থাকা উচিত।$({n' \atop k})$$({n'-1 \atop k})$$({n \atop k})$$({k \atop k})$

Comments

দুর্দান্ত, এমন একটি সাধারণ পাল্টা নমুনা, অনেক ধন্যবাদ! আমি ভাবছি যদি আপনার ধারণাটি স্বেচ্ছাচারিত বাড়ানো যেতে পারে । উদাহরণস্বরূপ, বা হলে এটিও অগত্যা মিথ্যা ? $k, K$$1 \ll k \ll K$$1 \ll K \ll k$

— জুলকা সুমেলা

হ্যাঁ, এটি প্রায় সব ক্ষেত্রেই মিথ্যা। আমি উত্তরটি সম্পাদনা করব।

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之 之