পৃথক সময় ক্লাস

Question

আমার এক ছাত্র সম্প্রতি নিম্নলিখিত প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছেন:

$$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n)).$$ $h(n)$ $$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(h(n)) \subsetneq DTIME(g(n))?$$

এটি সম্ভবত একটি h (n) তৈরি করে সত্য হিসাবে দেখাতে পারে $h(n)$যদি $f,g$ সময়-গঠনমূলক হয়। তবে সাধারণভাবে, আমি অনুভব করি যে এটি DSPACE (o (\ লগ (\ লগ (এন)))) = ডিএসপিএসিই (1) এর মতোই মিথ্যা হওয়া উচিত $DSPACE(o(\log(\log(n)))) = DSPACE(1)$।

Comments

এটি সুনির্দিষ্ট মডেলের উপর নির্ভর করতে পারে।

বোরোডিনের ব্যবধানের উপপাদ্যটি এখানে বর্ণিত হতে পারে প্রাসঙ্গিক: cstheory.stackexchange.com/questions/8583/…

— মাইকেল ওয়েহার

আপনি কি $f(n),g(n)=O(1)$ ? কারণ তারপরে কিছু উদাহরণ অবশ্যই প্রথম স্থান ব্যতীত শূন্যের কয়েকটি ফাংশনের জন্য উপস্থিত থাকতে হবে। যাইহোক, এই প্রশ্নটি যদি $f\equiv g$ সব জায়গাতেই একটি এন বাদে বোঝায় না $n$?

— ডমোটরপ

তোমার দর্শন লগ করা দুঃখিত আমি বেশ সমস্যাটির অনুসরণ আত $f(n),g(n) = O(1)$ সংজ্ঞা দ্বারা যেমন $DTIME(f(n))=DTIME(g(n))$ ?

— এস পেক

এর জন্য দুঃখিত, আমি প্রশ্নটি ভুলভাবে পড়েছি এবং আমার আগের মন্তব্যটি খুব একটা বোঝায় না। আমি এটি সরিয়েছি। ধন্যবাদ.

— মাইকেল ওয়েহার

Answer 1

যদি ডি টি আমি এম ই ( চ ( এন ) ) মধ্যে নির্ধার্য সব ভাষার শ্রেণী হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় হে ( চ ( এন ) ) সময় দুই টেপ টুরিং মেশিন দ্বারা, তারপর আমি সন্দেহ যে উত্তর নেই। অন্য কথায়, আমি মনে করি যে এখানে সবসময় একটি কঠোরভাবে অন্তর্বর্তী সময় জটিলতা শ্রেণীর উপস্থিতি নেই।$DTIME(f(n))$$O(f(n))$

দ্রষ্টব্য: এই উত্তরটি আপনি ঠিক যা খুঁজছেন তা নাও হতে পারে কারণ আমি অ-গণনীয় ফাংশন বিবেচনা করছি এবং আমি যুক্তির প্রতিটি বিবরণ অন্তর্ভুক্ত করি না। তবে, আমি অনুভব করেছি যে এটি একটি ভাল শুরু। দয়া করে মুক্ত মনে কোন প্রশ্ন জিজ্ঞেস করুন। হয়তো আমি এই বিবরণটি আরও কিছু সময় পূরণ করতে পারি বা সম্ভবত এটি আগ্রহী পাঠকের কাছ থেকে আরও ভাল উত্তরের দিকে নিয়ে যাবে।

ফর্ম কার্যাবলী বিবেচনা চ : এন → এন । আমরা এই ফাংশনগুলিকে প্রাকৃতিক সংখ্যা ফাংশন হিসাবে উল্লেখ করি।$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

দাবি 1: আমি দাবি করি যে আমরা খুব ধীর গতিতে ক্রমহ্রাসমান প্রাকৃতিক সংখ্যা (অ-গণনীয়) ফাংশন তৈরি করতে পারি const ( n ) যেমন:$\varepsilon(n)$

(1) ε ( n ) কমছে না$\varepsilon(n)$

(2) $\varepsilon(n) = \omega(1)$

(3) সমস্ত আনবাউন্ডেড কম্পিউটেবল এফ : এন → এন , সেট { $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$|ε ( এন ) ≤ চ ( এন ) } অসীম।$\{ n \; \vert \; \varepsilon(n) \leq f(n) \}$

আমরা ধীরে ধীরে ক্রমবর্ধমান অ-হ্রাস পদক্ষেপ ফাংশন হিসাবে ε ( n ) তৈরি করি । আসুন আমরা সমস্ত আনবাউন্ডেড কম্পিউটেবল ফাংশন { f i } i ∈ N গণনা করি । আমরা আঁকতে চান ε ( এন ) এমনভাবে যে প্রতি জন্য আমি এবং প্রতি ঞ ≤ আমি , মি আমি এন { $\varepsilon(n)$$\{ f_i \}_{i \in \mathbb{N}}$$\varepsilon(n)$$i$$j \leq i$|ε ( কে ) ≥ আমি } ≥ এম আমি এন { কে|f j ( k ) ≥ i } । অন্য কথায়, আমরা ম্যাপ অপেক্ষা করুন ε ( এন ) থেকে আমি পর্যন্ত প্রথম আমি শুমার ইন ফাংশান চেয়ে একটি মান বৃহত্তর ম্যাপ আছে বা এর সমান আমি একবার অন্তত। তারপরে, ε ( n ) গণনাতে প্রথম i + 1 ক্রিয়াকলাপটিকমপক্ষে একবার i + 1 এর চেয়ে বড় বা সমান মান হিসাবে ম্যাপ না করাঅবধি আই ম্যাপ করা অবিরতকরবেএবং এই মুহুর্তে এটি i + 1 এ ম্যাপিং শুরু করবে$min\{ k \; \vert \; \varepsilon(k) \geq i\} \geq min\{ k \; \vert \; f_{j}(k) \geq i \}$$\varepsilon(n)$$i$$i$$i$$\varepsilon(n)$$i$$i+1$$i+1$$i+1$। যদি আমরা ite ( n ) নির্মাণের জন্য এই পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়াটি অব্যাহত রাখি তবে কোনও প্রদত্ত আনবাউন্ডেড কম্পিউটেবল ফাংশনের জন্য, যদিও ε ( এন ) সর্বদা ছোট নাও হতে পারে তবে এটি প্রায়শই কমপক্ষে ছোট হবে।$\varepsilon(n)$$\varepsilon(n)$

দ্রষ্টব্য: আমি দাবি 1 এর পিছনে কিছু স্বজ্ঞাত সরবরাহ করেছি, আমি কোনও বিশদ প্রমাণ সরবরাহ করিনি। নীচে আলোচনায় যোগ দিতে নির্দ্বিধায় দয়া করে।

যেহেতু ε ( এন ) এটি একটি ধীর গতিতে ক্রমযুক্ত ক্রিয়াকলাপ, আমাদের নিম্নলিখিতগুলি রয়েছে:$\varepsilon(n)$

দাবি 2: সমস্ত গণনীয় প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য ফ ( এন ) এবং এইচ ( এন ) , যদি h ( n ) = Ω ( চ ( এন $f(n)$$h(n)$ε ( n ) )এবংh(n)=O(f(n)), তারপরেh(n)=Θ(f(n))।$h(n) = \Omega(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)})$$h(n) = O(f(n))$$h(n) = \Theta(f(n))$

For claim 2, if there existed a computable function $h(n)$ between $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}$ and $f(n)$ such that $h(n) \neq \Theta(f(n))$, then we would be able to compute an unbounded natural number function that grows more slowely than $\varepsilon(n)$ which isn't possible.

Let me explain some relevant details. Suppose for sake of contradiction that such a function $h(n)$ existed. Then, $\lfloor \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor$ is unbounded.

Note: The preceding function is computable because $f(n)$ and $h(n)$ are computable.

Since $h(n) = \Omega(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)})$, we have $\lfloor \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor = O(\varepsilon(n))$. It follows that there is some constant $\alpha$ such that for all $n$ sufficiently large, $\lfloor \alpha \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor < \varepsilon(n)$. Since this function is unbounded and computable we may apply Claim 1 to get that $\varepsilon(n) \leq \lfloor \alpha \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor$ infinitely often which contradicts the previous statement.

Claim 3: For a time constructible function $f(n)$, we have that $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(f(n))$, yet there does not exist $h(n)$ such that $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)} \leq h(n) \leq f(n)$ and $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(h(n)) \subsetneq DTIME(f(n))$.

In order to just show that, $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(f(n))$ we need to use a stronger time hierarchy theorem and this is where we use the assumption that the number of tapes is fixed (we said two tapes above). See "The tight deterministic time hierarchy" by Martin Furer.

Since there are no computable natural number functions between $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}$ and $f(n)$ other than those that are $\Theta(f(n))$, we have that for every function $h(n)$ such that $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)} \leq h(n) \leq f(n)$ and $h(n) \neq \Theta(f(n))$, $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) = DTIME(h(n))$.

Comments

Yes, this is exactly what I had in mind too, but then got confused somewhere along the way. I just want to note, that $\epsilon(n)$ needn't be small at all; a similar argument shows that the lower function $\frac{f(n)}{\epsilon(n)}$ can be replaced with a function that is always either $f(n)$ or $0$, and the upper function $f(n)\epsilon(n)$ can be replaced with a function that is always either $f(n)$ or $\infty$.

— domotorp

(3) needs to restrict to unbounded functions $\hspace{.04 in}f$. ​ ​

@RickyDemer Yes, you are right! Thank you very much for catching that. I edited my answer to add the word unbounded. :)

— Michael Wehar

Im not entirely convinced about Claim 1. Consider $f_i(n) = 1$ if $n \leq i$, $n-i$ otherwise. Considering this enumeration, is $\epsilon(n) = \Theta(1)$?

— S. Pek

I have two more concerns of this proof: 1) In claim 2 you said that the contradiction arises from the fact that there cannot exist a computable $\epsilon(n)$ as it equals $|h(n)-f(n)|$. I believe this to be a typographical error, as it should say there exist a $k'$ such that $\epsilon(n) = |h(n) - k'\cdot f(n)|$. But note that $k'$ need not be computable, so the argument need not hold. 2) You used the result by Furer in Claim 3. However, the result only holds for time-constructable functions, but $\frac{f(n)}{\epsilon(n)}$ need not be time-constructable.

— S. Pek

Answer 2

If this result is true, it would strengthen the best-known deterministic time hierarchy theorem. [This is more of a comment than an answer, but too long for a comment. It leaves open the direct construction of a counterexample.] Recall that the best Deterministic Time Hierarchy Theorem we currently have is that if $f(n), g(n)$ are time-constructible, and $g(n) \leq o( f(n) / \log f(n) )$, then $\mathsf{DTIME}(g(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(f(n))$.

Now suppose your desired result is true, and let $g(n)$ be a time-constructible function that is close to, but still little-oh of, $f(n) / \log(f(n))$, say, $g(n) = f(n) / (\log f(n))^{3/2}$. (This $g$ may not be time-constructible for arbitrary time-constructible $f$, but surely for many time-constructible $f$ this $g$ is also time-constructible.) Now, your desired result produces an $h$ such that $\mathsf{DTIME}(g(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(h(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(f(n))$. In order to avoid improving the current-best time hierarchy theorem, we would need both $g(n) = o( h(n) / \log(h(n)) )$ and $h(n) = o(f(n) / \log(f(n))$. These two together imply that $g(n) \leq o( f(n) / (\log(f(n)) \log(h(n)))$. Since $h(n) \geq g(n)$, we have $g(n) \leq o( \frac{f(n)}{\log(f(n)) \log(g(n))})$, or equivalently $g(n) \log g(n) \leq o(f(n) / \log(f(n)))$. But $g(n) \log(g(n)) = f(n) / (\log(f(n))^{3/2} [\log(f(n)) - (3/2) \log \log(f(n)] \sim f(n) / \sqrt{\log(f(n))}$, which is not $o(f(n) / \log(f(n))$.

Comments

Cool! Also, note that there is a better time hierarchy theorem if the number of tapes is fixed. See "The tight deterministic time hierarchy" by Martin Furer.

— Michael Wehar

@MichaelWehar: Thanks for the pointer! Indeed, when one gets so tight as to only require $g(n) = o(f(n))$, as Furer shows when the number of tapes is fixed, then my argument goes away. (And for basically the same reason, my argument goes away if this question were about space hierarchy instead of time: for space we have a perfectly tight hierarchy theorem even if # tapes isn't fixed.)

— Joshua Grochow

Answer 3

I think such a behaviour is true for 1-Tape-DTMs. On the one hand, we have $\mathrm{DTIME}_1(O(n)) = \mathrm{DTIME}_1(o(n \log n))$. Unfortunately, the only reference I know is in German: R. Reischuk, Einführung in die Komplexitätstheorie, Teubner, 1990, Theorem 3.1.8.

On the other hand, it should be possible to separate $\mathrm{DTIME}_1(O(n))$ and $\mathrm{DTIME}_1(O(n \log n))$ by the language $\{ x \#^{2^{|x|}} x \mid x \in \{0,1\}^* \}$ using a standard crossing sequence argument.