এফপি, এফএনপি এবং টিএফএনপি ক্লাসগুলি ঠিক কী?

13

তাঁর কম্পিউটার কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সে গ্রন্থে , এফএনপিকে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন:

ধরুন, , এনপি-র একটি ভাষা । প্রস্তাব 9.1 দ্বারা, একটি বহুপাক্ষিক-সময় সিদ্ধান্তগ্রহণযোগ্য, বহুভিত্তিক সুষম সম্পর্কযুক্ত রয়েছে যা সমস্ত স্ট্রিংয়ের জন্য : সাথে একটি স্ট্রিং থাকে এবং যদি কেবল । সঙ্গে যুক্ত ফাংশন সমস্যা , প্রকাশ , নিম্নলিখিত গণনীয় সমস্যা হল: $L$ $R_L$ $x$ $y$ $R_L(x,y)$ $x\in L$ $L$ $FL$

দেওয়া , এর মতো একটি স্ট্রিং যে এই জাতীয় স্ট্রিং উপস্থিত থাকলে ; যদি এরকম কোনও স্ট্রিং উপস্থিত না থাকে, "না" ফিরে আসুন। $x$ $y$ $R_L(x,y)$

এনপি-র সাথে ভাষার সাথে সম্পর্কিত সমস্ত ফাংশন সমস্যার শ্রেণিকে এফএনপি বলা হয় । এফপি হ'ল সাবক্লাসের ফলস্বরূপ যদি আমরা কেবল এফএনপিতে ফাংশন সমস্যাগুলি বিবেচনা করি যা বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধান করা যায়।

(...)

(...), আমরা একটি সমস্যা কল এ FNP মোট প্রত্যেক স্ট্রিং এর জন্য যদি অন্তত একটি আছে যেমন যে । সমস্ত ফাংশন সমস্যাযুক্ত FNP এর সাবক্লাসটি TFNP চিহ্নিত করা হয় । $R$ $x$ $y$ $R(x,y)$

অধ্যায় এক নজরে একটি ভেন ডায়াগ্রাম সালে Papadimitriou যে বোঝা FP TFNP FNP । $\subseteq$ $\subseteq$

আমি একটি কঠিন সময় বুঝতে কেন ঠিক ঝুলিতে আছে FP TFNP যেহেতু সমস্যা FP মোট কোনটাই হতে হবে না। $\subseteq$

আরও ভাল বোঝার জন্য, আমি সাফল্য ছাড়াই, এফপি , এফএনপি এবং প্রকারের জলরোধী সংজ্ঞা পেতে সাহিত্যের মাধ্যমে জোড় বেঁধে চলেছি ।

আমার খুব (নম্র) মতে, আমি মনে করি যে এই বিষয়গুলির সামান্য (সঠিক!) প্রাসঙ্গিক উপাদান রয়েছে।

সিদ্ধান্তগত সমস্যার জন্য, ক্লাসগুলি ভাষাগুলির সেট (যেমন স্ট্রিংগুলির সেট)।

ফাংশন সমস্যার জন্য ক্লাসগুলি ঠিক কী? তারা কি সম্পর্কের সেট, ভাষা, ...? একটি কঠিন সংজ্ঞা কি?

complexity

— Auberon
সূত্র

4

সাধারণ স্বরলিপিটি কিছুটা নিবিড়। প্রথমত, এনপি অনুসন্ধান সমস্যার প্রেক্ষাপটের বাইরে পলি-টাইম ফাংশনগুলির শ্রেণি (সুতরাং মোট) বোঝাতে এফপি ব্যবহৃত হয়েছিল এবং যেখানে এটির নতুন সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে। দ্বিতীয়ত, বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধানযোগ্য প্রতিটি অনুসন্ধানের সমস্যাটি বহুবর্ষের সময়ে সমাধানযোগ্য মোট বর্ধনশীল থাকে, সুতরাং সেই অর্থে, এফপির মোট এবং অপরিবর্তিত সংজ্ঞাটির মধ্যে খুব প্রকৃত পার্থক্য নেই, সুতরাং দু'টি ভাষার অপব্যবহারের দ্বারা সঙ্কুচিত।

— এমিল জেবেক

11

এমিল জেরাবাকের মন্তব্যটি একটি দুর্দান্ত সংক্ষিপ্তসার, তবে আমি এটি উল্লেখ করতে চেয়েছিলাম যে আরও সংক্ষিপ্ত ধারণাটি আরও কম বা কম ধারণ করে এমন ক্লিয়ার স্পষ্ট সংজ্ঞা সহ এমন আরও কিছু শ্রেণি রয়েছে এবং এই সমস্ত বিষয়ের মধ্যে সম্পর্ক স্পষ্ট করার জন্য।

[সতর্কতা: যদিও আমি বিশ্বাস করি যে আমি সংজ্ঞাগুলি সঠিকভাবে অর্জন করেছি, নীচের কিছু জিনিস আমার ব্যক্তিগত পছন্দগুলি প্রতিফলিত করে - আমি কোথায় ছিল সে সম্পর্কে পরিষ্কার হওয়ার চেষ্টা করেছি।]

নির্ণায়ক বিশ্বে একটি ফাংশন শ্রেণি হ'ল ফাংশনগুলির একটি সংগ্রহ (সাধারণত, "ফাংশন" শব্দের গাণিতিক অর্থে, যা একটি মানচিত্র )। মাঝেমধ্যে আমরা "আংশিক ফাংশনগুলিকে" অনুমতি দিতে চাই, যার আউটপুট নির্দিষ্ট ইনপুটগুলির জন্য "অপরিজ্ঞাত"। (সমতুল্যভাবে, ফাংশন যে একটি উপসেট উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় এটা সব বদলে।) $\Sigma^* \to \Sigma^*$ $\Sigma^*$

দুর্ভাগ্যক্রমে, চারদিকে ভাসমান জন্য দুটি পৃথক সংজ্ঞা রয়েছে এবং যতদূর আমি বলতে পারি সেগুলি সমতুল্য নয় (যদিও তারা "নৈতিকভাবে" সমতুল্য)। $\mathsf{FP}$

(সংজ্ঞা 1) হ'ল ফাংশনগুলির শ্রেণি যা বহু-কালীন সময়ে গণনা করা যায়। আপনি যখনই এবং এর প্রেক্ষাপটেদেখতে পাচ্ছেননা, যেখানে লোকেরা সম্পর্কে কথা বলছেন, আমি এটিই সংজ্ঞায়িত করি। $\mathsf{FP}$ $\mathsf{FP}$ $\mathsf{FNP}, \mathsf{TFNP}$

নিরক্ষুবাদী বিশ্বে জিনিসগুলি কিছু মজার হয়। সেখানে, "আংশিক, বহু-মূল্যবান ক্রিয়াকলাপগুলি" অনুমতি দেওয়া সুবিধাজনক। প্রাকৃতিক হবে যেমন একটা জিনিস একটি কল করার বাইনারি সম্পর্ক , যে একটি উপসেট । তবে জটিলতার দৃষ্টিকোণ থেকে দার্শনিক ও মানসিকভাবে প্রায়শই এই বিষয়গুলিকে "অবিচ্ছিন্নবাদী কার্যাদি" হিসাবে ভাবা যায়। আমি মনে করি এই সংজ্ঞাগুলির অনেকগুলি নিম্নলিখিত শ্রেণীর দ্বারা স্পষ্ট করা হয়েছে (যার সংজ্ঞাগুলি পুরোপুরি মানহীন, যদি খুব পরিচিত না হয়): $\Sigma^* \times \Sigma^*$

: বহুবর্ষীয় সময়ে একটি ননডেটারিস্ট্যান্টিক মেশিন দ্বারা গণনাযোগ্য "আংশিক, বহু-মূল্যবান ফাংশন" এর শ্রেণি। এর মানে কি আছে একটি বহু-টাইম nondeterministic মেশিন, এবং ইনপুট , প্রতিটি nondeterministic ডালে তা গ্রহণ করা চয়ন করতে পারেন এবং কিছু আউটপুট করতে, বা প্রত্যাখ্যান এবং কোন আউটপুট আছে। "বহু-মূল্যবান" এ ইনপুট আউটপুট তাহলে সব nondeterministic শাখা সমস্ত আউটপুট সেট যখন দেওয়া হয় ইনপুট হিসাবে। মনে রাখবেন যে এই সেটটি খালি থাকতে পারে, সুতরাং "বহু-মূল্যবান ফাংশন" হিসাবে এটি কেবল আংশিক হতে পারে। যদি আমরা এটি বাইনারি সম্পর্কের নিরিখে বিবেচনা করি তবে এটি relation $\mathsf{NPMV}$ $x$ $x$ $x$ । $\{(x,y) : y \text{ is output by some branch of the computation on input } x\}$
: মোট "ফাংশন" এ , যে, প্রতিটি ইনপুট, অন্তত একটি শাখা গ্রহণ (এবং একটি আউটপুট করে তোলে, সংজ্ঞা দ্বারা) $\mathsf{NPMV}_t$ $\mathsf{NPMV}$ $x$
$\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV}$ $\Sigma^*$
$\mathsf{NPSV}_t$ $\mathsf{NPSV}$ $\Sigma^* \to \Sigma^*$ $\mathsf{NPSV}_t = \mathsf{FP}^{\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}}$

$\mathsf{NPMV} \not\subseteq \mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV}$ $\subseteq_c$ $f$ $g$ $x$ $g$ $f$ $f$ সর্বদা আউটপুট একটি উপসেট হয় । যথাযথ প্রশ্নটি তখন প্রতিটি। "ফাংশন" এর একটি পরিশোধন রয়েছেযদি তাই হয়, আমরা লিখতে । $g$ $\mathsf{NPMV}$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$

$\mathsf{PF}$ (কিছুটা কম স্ট্যান্ডার্ড) হ'ল বহু-সময়কালে (সম্ভাব্য আংশিক) ফাংশনগুলির শ্রেণি। অর্থাৎ একটি ফাংশন ( ) রয়েছে যদি একটি বহু-টাইম নির্ণায়ক মেশিন যেমন যে, ইনপুট উপর মেশিন আউটপুট , এবং ইনপুট -তে মেশিন কোনও আউটপুট দেয় না (/ প্রত্যাখ্যান করে / বলে "না" / তবে আপনি এটি বাক্যাংশটি বলতে চান)। $f\colon D \to \Sigma^*$ $D \subseteq \Sigma^*$ $\mathsf{PF}$ $x \in D$ $f(x)$ $x \notin D$

$\mathsf{FNP}$ "" ফাংশন সমস্যা "(ফাংশনের শ্রেণির চেয়ে) এর একটি শ্রেণি। আমি একটি "রিলেশনাল ক্লাস" , তবে সত্যই আপনি এটি বর্ণনার জন্য যে কোনও শব্দ ব্যবহার করেন না কেন আপনার পরে নিজেকে পরিষ্কার করা দরকার, এ কারণেই আমি এই সংজ্ঞাটির পক্ষে বিশেষভাবে আংশিক নই। যে কোনও বাইনারি সম্পর্কের সাথে সাথে একটি "ফাংশন সমস্যা" রয়েছে। একটি ফাংশন সমস্যা কি? ভাষা / ফাংশন / সম্পর্কের জন্য আমি যেভাবে করি তার পরিষ্কার গাণিতিক সংজ্ঞা নেই; বরং এটি একটি বৈধ সমাধান যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়: সম্পর্কিত ফাংশন সমস্যার একটি বৈধ সমাধান কোনও (সম্ভাব্য আংশিক) ফাংশন যেমন যে $\mathsf{FNP}$ $R \subseteq \Sigma^* \times \Sigma^*$ $R$ $f$ $(\exists y)[R(x,y)]$ $f$ যেমন কোনও আউটপুট দেয় এবং অন্যথায় কোনও আউটপুট দেয় না। সম্পর্ক যুক্ত ফাংশন সমস্যার ক্লাস হয় যেমন যে (যখন যুগলের একটি ভাষা হিসেবে বিবেচিত) এবং P-সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। সুতরাং functions একটি ফাংশন, বা ভাষার একটি শ্রেণি নয়, "ফাংশন সমস্যাগুলির একটি শ্রেণি", যেখানে "সমস্যা" এখানে সমাধান করার অর্থ কী তার দিক দিয়ে প্রায় সংজ্ঞায়িত করা হয়। $y$ $f$ $\mathsf{FNP}$ $R$ $R \in \mathsf{P}$ $\mathsf{FNP}$
$\mathsf{TFNP}$ in এ ফাংশন সমস্যার শ্রেণীর শ্রেণি - উপরের মতো একটি সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত - যেমন মোট, এই অর্থে যে প্রতিটি জন্য একটি উপস্থিত থাকে যে । $\mathsf{FNP}$ $R$ $R$ $x$ $y$ $R(x,y)$

"যদি প্রতি ( , ) ফাংশন সমস্যার সমাধান থাকে তার জন্য ( ।, হয় সংজ্ঞা), তারপরে ... "এই প্রসঙ্গে একটি এর সংজ্ঞা 2 ব্যবহার করে , যা: $\mathsf{FNP}$ $\mathsf{TFNP}$ $\mathsf{PF}$ $\mathsf{FP}$ $\mathsf{FP}$

$\mathsf{FP}$ (সংজ্ঞা 2) হ'ল function এ ফাংশন সমস্যার শ্রেণীর যা একটি বহু-সময় সমাধান রয়েছে। কেউ অনুমান করতে পারেন যে সমাধানটি (= ফাংশন) এখানে একটি বিশেষ স্ট্রিং বাছাই করে মোট যা কোনও জন্য বৈধ নয় এবং ফাংশন আউটপুট থাকলে অন্যথায় কোনও বৈধ হবে না । (যদি প্রয়োজন নেই, আমরা সম্পর্ক পরিবর্তন করতে পারেন প্রত্যেক prepending দ্বারা একটি 1, এবং তারপর নিতে স্ট্রিং 0 হতে; এই জড়িত কিছু জটিলতা পরিবর্তন করে না)। $\mathsf{FNP}$ $y_0$ $y$ $x$ $y_0$ $y$ $R$ $y$ $y_0$

এই বিভিন্ন সংজ্ঞাটি একে অপরের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা এখানে রয়েছে, (সংজ্ঞা 2, যা আপনি অনুমান করা উচিত কারণ এটি এমন একটি প্রসঙ্গে যেখানে এটি with এর সাথে তুলনা করা হচ্ছে ) সমতুল্য থেকে । (ডিফ 2) (ডিফ 1) এর সমতুল্য । $\mathsf{FNP} \subseteq \mathsf{FP}$ $\mathsf{FNP}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{PF}$ $\mathsf{TFNP} \subseteq \mathsf{FP}$ $\mathsf{NPMV}_t \subseteq_c \mathsf{FP}$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

আপনার বিস্তৃত উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এটি হজম করার চেষ্টা করছি এবং এটি এখন পর্যন্ত খুব সহায়ক হয়েছে। আমি অনুমান, কিন্তু, আপনি বোঝানো FP FNP এবং FP TFNP মধ্যে শেষ অনুচ্ছেদ?

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

— আউবারন

1

@ অবারন: না, শেষ অনুচ্ছেদটি বিভিন্ন অনুমানের মধ্যে অনুবাদ করা হচ্ছে। এরা বলছে যে , ইত্যাদি

F N P \subseteq F P \Leftrightarrow N P M V \subseteq_{c} P F

$\mathsf{FNP} \subseteq \mathsf{FP} \Leftrightarrow \mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{PF}$

— জশুয়া Grochow

@ জোশুয়া গ্রাচো বা সম্ভব বা শ্রেণিবদ্ধের পতন? এছাড়াও আছে মধ্যে বা হোল্ড বিপরীতভাবে ভাইস (এটা বিশ্বাসযোগ্য হিসাবে কোন সংশ্লেষ উভয় ক্ষেত্রেই মনে মনে)?

N P \in P^{T F N P}

$NP\in P^{TFNP}$

N P \in P^{U P}

$NP\in P^{UP}$

P^{U P}

$P^{UP}$

P^{T F N P}

$P^{TFNP}$

— টি ....

3

জোশুয়ার বিস্তৃত উত্তর ছাড়াও, আমি এলেন রুচ তার অটোমাতা, সংযোগযোগ্যতা এবং জটিলতা থেকে নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলি যুক্ত করতে চাই ।

ক্লাস এফপি : বাইনারি রিলেশন in এ থাকে যদি একটি নির্বিচারে বহুবর্ষের সময় অ্যালগরিদম থাকে যে একটি স্বেচ্ছাসেবীর ইনপুট দেওয়া হয়, কিছু যেমন খুঁজে পেতে পারে । $Q$ $\mathsf{FP}$ $x$ $y$ $(x,y) \in Q$

ক্লাস FNP : একটি বাইনারি সম্পর্ক রয়েছে একটি নির্ণায়ক বহুপদী সময় যাচাইকারী আছে, একটি অবাধ ইনপুট যুগল দেওয়া iff , কিনা তা নির্ধারণ করে । Equivalentely, হল iff সেখানে একটি nondeterministic বহুপদী সময় অ্যালগরিদম যে দেওয়া একটি অবাধ ইনপুট , কিছু জানতে পারেন যেমন যে $Q$ $\mathsf{FNP}$ $(x,y)$ $(x,y) \in Q$ $Q$ $\mathsf{FNP}$ $x$ $y$ $(x,y) \in Q$

এই সংজ্ঞা থেকে এটা স্পষ্ট যে । তিনি বাইরে সমস্যা সম্পর্কে করে সংক্ষিপ্তভাবে আলোচনা । $\mathsf{FP} \subseteq \mathsf{TFNP} \subseteq \mathsf{FNP}$ $\mathsf{FNP}$

আমার জন্য, এটি সবচেয়ে সন্তোষজনক সংস্থান যা আমি দীর্ঘকাল থেকে খুঁজে পেয়েছি এমন একক পৃষ্ঠার সমন্বিত।

— Auberon
সূত্র

আমি এই সংজ্ঞাটি কিছুটা চিন্তাভাবনা করার পরে, আমার সন্দেহ হয় যে of এর দুটি 'সমতুল্য' সংজ্ঞা মোটেও সমান নয় ...

F N P

$\mathsf{FNP}$

— আউবারন

আমি সমানতা এক চাহিদা সম্পর্ক অনুমান করা পেতে মনে P-বেষ্টিত (যে, সেখানে একটি বহুপদী হয় যেমন যে যদি যেমন যে যেমন একটি, তারপর আছে সঙ্গে )। এছাড়াও, একটিকে " খুঁজে বের করার জন্য ননডেস্টেরিনিস্টিক অ্যালগরিদম" এর অর্থ কী তা নির্দিষ্ট করতে হবে - অর্থাৎ, একটি আউটপুট তৈরি করার জন্য ননডেটেরিস্টিক অ্যালগরিদমের অর্থ কী? আমি সংজ্ঞাগুলির এনপিএমভি পরিবারকে কেন পছন্দ করি তার এই অংশ ...

p

$p$

\exists y

$\exists y$

(x, y) \in Q

$(x,y) \in Q$

y

$y$

| y | \leq p (| x |)

$|y| \leq p(|x|)$

y

$y$

— জোশুয়া গ্রাচো